Методы оптимизации. Решения задач (2010) (1125430)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ïî êóðñó ìåòîäîâîïòèìèçàöèèMonth21 àïðåëÿ 2010 ã.ÀííîòàöèÿÏðåäñòàâëåííûé äîêóìåíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîáðàíèå ðåøåíèé íåêîòîðûõ çàäà÷,êîòîðûå äàâàëèñü ïî õîäó òå÷åíèÿ ëåêöèé ïî ìåòîäàì îïòèìèçàöèè, ÷èòàåìûõ â 20092010 ãã. íà âòîðîì ïîòîêå ôàêóëüòåòà ÂÌèÊ ÌÃÓ Ïîòàïîâûì Ì.Ì. Ïîëíûé ñïèñîêçàäà÷, êàê è ïðîãðàììó êóðñà, ìîæíî íàéòè íà ñàéòå êàôåäðû îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ(oc.cs.msu.su).Áîëüøèíñòâî ðåøåíèé ññûëàåòñÿ òîëüêî íà ôàêòû, ïðèâåäåííûå íà ëåêöèÿõ, è íàäðóãèå çàäà÷è. Èñïîëüçîâàíèå ñòîðîííèõ ôàêòîâ âñåãäà îãîâàðèâàåòñÿ.1Ñâåäåíèÿ èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà (Çàäà÷è 1-5)1.

Ïðèâåñòè ïðèìåðû íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, íå äîñòèãàþùèõ ñâîèõ íèæíèõ ãðàíåé íàîãðàíè÷åííîì, íî íåçàìêíóòîì ìíîæåñòâå; çàìíóòîì, íî íå îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå.Ïåðâûì ïðèìåðîì ñëóæèò−1/xíà2. Äîêàçàòü, ÷òî åäèíè÷íûé øàð â(0, 1),C[a, b]âòîðûì -1/xíà[1; +∞).íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ðàññìîòðèì ñåãìåíò [0, 1]. (Ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê [a, b] ñâîäèòñÿ ê[0, 1] ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (x−a)/(b−a).) Íà íåì ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèéçóáöîâ11, x = n ,2 1fn (x) = 0, x ∈ 0, 1∪ n−1 , 1 ,2n+12ëèíåéíà, èíà÷å.Èç íåå íåëüçÿ âû÷ëåíèòü äàæå ôóíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

Äåéñòâèòåëüíî,sup ||fn (x) − fm (x)|| = 1,ïðè÷åì òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõ âèäàx∈[0,1]1.2min(m,n)3. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâîC[a, b]ñî ñêàëÿðíûì ïðîèâçåäåíèåìhf, gi =rbf (t)g(t) dtaíå ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ðàññìîòðèì ñåãìåíòíîñòüfn (x) = sin(nx).[0, π].Íà íåì ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëü-Ïîêàæåì, ÷òî èç íåå íåëüçÿ âû÷ëåíèòü äàæå ôóíäàìåíòàëüíóþïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

È äåéñòâèòåëüíî,2ρ2 (fn , fm ) = kfn − fm k = hfn − fm , fn − fm i = hfn , fn i − 2 hfm , fn i + hfm , fm i = π,rπrπrπèáîsin(nx) dx = 0 sin(mx) dx = π2 , 0 sin(mx) sin(nx) dx = 0.014. Äîêàçàòü, ÷òî ïàðàëëåëåïèïåä âL2 [a, b]ñ ïîñòîÿííûìè ãðàíèöàìèα(t), β(t)íå ÿâ-ëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.Îïÿòü-òàêè ðàññìîòðèì ñåãìåíò[0, π], ðàññìîòðèì α = −1, β = 1. Òîãäà ñèñòåìà ôóíê-öèé èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, èç êîòðîé íåëüçÿâû÷ëåíèòü äàæå ôóíäàìåíòàëüíóþ.5. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâîÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì âU = {x ∈ `2 : xn 6 2−n , n = 1, 2, ...} (Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷)`2 .1Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà , äëÿ òîãî, ÷òî áûUáûëî êîìïàêòîì,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî áû áûëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:(a)Uáûëî âïîëíå îãðàíè÷åíî;(b)Uáûëî ïîëíî.Äëÿ íà÷àëà ïîêàæåì âïîëíå îãðàíè÷åííîñòü ãèëüáåðòîâà êèðïè÷à, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþU êîíå÷íîé ε-ñåòüþ, ò.å.

÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0A ⊂ U òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî u ∈ U íàéäåòñÿîçíà÷àåò âîçìîæíîñòü íàêðûòèÿcóùå-ñòâóåò êîíå÷íûé íàáîð òî÷åêòàêîéa ∈ A,÷òîρ(u, a) 6 ε.Âûáåðåì òàêîåïîëíîìî÷íîãî21−n < ε/2. Êàæäîé òî÷êå x = (x1 , . . . , xn . . .)0ïðåäñòàâèòåëÿ x = (x1 , . . . , xn , 0, .

. . 0, . . .). Ïðè ýòîìn,÷òîvvu +∞u +∞Xu Xu02txk 6 tρ(x, x ) =k=n+1ÏóñòüU0U0k=n+111ε< n−1 < .4k22- ìíîæåñòâî âñåõ "ïîëíîìî÷íûõ ïðåäñòàâèòåëåé". ßñíî, ÷òîîãðàíè÷åíî; çíà÷èò, ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî áîëüøîéÐàçîáüåì åãî íà ïîäêóáèêè ñ ðåáðîìU0Òàêèì îáðàçîì, íàÈòàê, ïóñòü íàU0ε.ε/2-ñåòü Aε ,ρ(x , a) 6 ε/2. Íî, ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêàρ(x0 , a) = ε. Çíà÷èò, A - êîíå÷íàÿ ε-ñåòü íà U .xk ∈ UU,`2U 0.n2 ε ñåòü.√x0 ∈ U 0a, ÷òîρ(x, a) 6 ρ(x, x0 ) +ñóùåñòâóåò òàêîåäëÿ ðàññòîÿíèÿ,ò.å. ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, îíà ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòóïðîñòðàíñòâîè ÷òîêóá, ñîäåðæàùèéε-ñåòü.ò.å.

äëÿ ëþáîãî0Òåïåðü äîêàæåì ïîëíîòón-ìåðíûéU 0 ⊂ RnÎíè áóäóò îáðàçîâûâàòü êîíå÷íóþâñåãäà ìîæíî çàäàòü êîíå÷íóþçàäàíàñîïîñòàâèì å¼ïîëíî, òî ñóùåñòâóåò ïðåäåëxk → x ∈ `2 .x ∈ U . Òàê êàêx ãèëüáåð-Ïðèíàäëåæíîñòüòîâó êèðïè÷ó äîêàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì â ïîêîìïîíåíòíûõ ñîîòíîøåíèÿõäëÿkx =(xk1 , xk2 , . . .

, xkn , . . .):|xkn | 6Òàêèì îáðàçîì,U21.2nâïîëíå îãðàíè÷åíî è ïîëíî, ÷òî è ãàðàíòèðóåò íàì êîìïàêòíîñòü.2 Äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ (Çàäà÷è 6-12)6. Ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîéöèðóåìîé â òî÷êå2x,f,íå ÿâëÿþùåéñÿ äâàæäû äèôôåðåí-â îêðåñòíîñòè êîòîðîé ñïðàâäëèâî ñîîòíîøåíèåf (x + h) =hf (x) − f1 h + f2+ o(h2 ).21 Ñì.,2 `íàïðèìåð, Êîëìîãîðîâà-Ôîìèíà, Ãëàâà II, ïàðàãðàô 7.2 ñõîäèìîñòüxk → xâëå÷åò ïîêîìïîíåòíóþ ñõîäèìîñòüÔîìèíà, ãëàâà II, ïàðàãðàô òðåòèé.2xkn → xn .Ñì., íàïðèìåð, Êîëìîãîðîâà-sin(x3 )â îêðåòñíîñòè òî÷êè íîëü.

Ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìîé ïðîx2âåðêîé (ðàçëîæåíèåì ñèíóñà â ðÿä).Òàêîâîé ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿJ ∈ C 2 (H); ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé hJ 0 (u + h) − J 0 (u), gi =hJ (u + th)h, gi dt.7. Ïóñòür1000F (t) = u + th. Òîãäà:*1+whJ 0 (u + h) − J 0 (u), gi = hJ 0 F (1) − J 0 F (0), gi =(J 0 F )0 (t) dt, g .Êàê è â ëåêöèÿõ, ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ03Âûíîñÿ èíòåãðàë èç-ïîä ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ó÷èòûâàÿ , ÷òîF 0 (t) = hè ïîëü-çóÿñü ôîðìóëîé äëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ êîìïîçèöèè îïåðàòîðîâ, ïîëó÷èì èñêîìîåâûðàæåíèå.8.

ÍàéòèJ 0 , J 00äëÿJ=12hAu, ui − hf, ui, A ∈ L(H → H), f ∈ H .J : H → R, îçíà÷àþùåå4 , ÷òî J 0 : H → L(H → R) ∼ H , èJ : H → L(H → L(H → R)), ò.å. ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà J 00 : H → L(H → H).Îòìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî00Íàøà çàäà÷à - âûïèñàòü ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà â âèäåJ(u + h) − J(u) = J 0 h + o(khk).(1)Ïîïðîáóåì ýòî ñäåëàòü:J(u+h)−J(u) =11(hA(u + h), u + hi − hAu, ui)−hf, u + h, +i hf, ui = (hAu, hi + hAh, ui)−hf, hi .22Êàê â (1), îòäåëüíî ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû, äåéñòâóþùèå íàíà òî, ÷òî áû áûòüh,è ÷ëåí, ïîäîçðèòåëüíûéo-ìàëûì:J(u + h) − J(u) =1hAh, hi(A + A∗ )u − f, h +.22Ïîêàæåì, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ýòî äåéñòâèòåëüíîo-ìàëîå,çàïèñàâh = khk eh ,ãäåkeh k = 1:2khk | hAeh , eh i || hAh, hi |== khk | hAeh , eh i |,khkkhk÷òî â ñèëó îãðàíè÷åííîñòèäåéñòâóþùèé íàh,A ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè khk → 0.

Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð,J 0:è åñòü èñêîìàÿJ 0 (u) =Ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ëèíåéíàÿ ïîu1(A + A∗ )u − f.2ôóíêöèÿ, ÷òî âëå÷åòJ 00 (u) =1(A + A∗ ).2Çàìå÷àíèå. Ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ çàäà÷ ïîëåçíî ïðîâåðÿòü ñåáÿ, ïîäñòàâëÿÿ âìåñòîàáñòðàêòíîãî ãèëüáåðòîâîãî ïðîñòðàíñòâàHâåùåñòâåííóþ ïðÿìóþ: ñêàëÿðíîå ïðîèç-âåäåíèå íà íåé ýòî îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë, äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðàA = A∗ ,èáî ñàìè ëèíåéíûå îïåðàòîðû - ýòî ïðèâû÷íûå íàì äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.Ïðîèçâîäíàÿ ïî Ôðåøå â òàêîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ îáûêíîâåííîé ïðîèçâîäíîé. Êîíêðåòíî íàøà çàäà÷à ïðèíèìàåò âèä:( 21 Au2 − f u)00 = (Au − f )0 = A,÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñïîëó÷åííûì îòâåòîì.3 Ïðîèçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî t.4 Ñèÿ çàïèñü îçíà÷àåò, ÷òîâåêòîðLèçH,Ôîðìàëüíî, êîíå÷íî, ñòîèëî áû ïèñàòü êàê-òîFu (t)âìåñòîF (u).äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè îïåðàòîð-ïðîèçâîäíóþ, íàì äîñòàòî÷íî íàéòè ëèøüèáî äåéñòâèå ïðîèçâîäíîé áóäåò îïèñûâàòüñÿ êàê3J 0 h = hL, hi.J(u) = g(kukH ), ãäå g äâàæäûäèôôåðåíöèðóåìàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ.

Äèôôåðåíöèðóåì ëè ôóíêöèîíàë â òî÷êå 0, åñëèg(t) = t? â ñëó÷àå g(t) = t3 ?9. Âû÷èñëèòü ïåðâûå è âòîðûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèîíàëàÏî ôîðìóëå ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè èìååì(g(kuk))0 = g 0 (kuk)(kuk)0 .Íàéäåì0(kuk) :q0(kuk) =kuk20=1u2(kuk )0 =,2 kukkukâ ïîñëåäíåì ïåðåõîäå èñïîëüçîâàíî óñòàíîâëåííîå íà ëåêöèÿõ ñîîòíîøåíèå2A∗ (Au − f ).2(kAu − f k )0 =Îêîí÷àòåëüíî,2J 0 (u) =u3 kuk u, g(t) = t; J 0 (u) == 3u kuk , g(t) = t3 .kukkukH ; ïîêàæåì,u = 0. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîåÎ÷åâèäíî, ÷òî âî âòîðîì ñëó÷àå ôóíêöèîíàë äèôôèðåíöèðóåì íà âñåì÷òî â ñëó÷àå îäèí ôóíêöèîíàë íå äèôôèðåíöèðóåì ïðè ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíòJ0 ∈ H,÷òîku + hk − kuk = hJ 0 , hi + o(khk) ⇐⇒ khk = hJ 0 , hi + o(khk).Ïîëîæèìh=−J 0kJ 0 k . Ïîëó÷àåì:1 = − kJ 0 k + o(1)Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷àåìkJ 0 k = −1.L2 (0, l),ãäåãäårlρ(x)|y(x; u) − z(x)|2 dx0y(x) = y(x, u) - ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è((k(x)y 0 (x))0 − q(x)y(x) = −u(x), 0 < x < l,y(0) = 0,10.

Âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëàk(x) > k0 > 0, q(x) > 0, ρ(x) > 0J(u) =â ïðîñòðàíñòâå(2)- çàäàííûå ôóíêöèè.2ρ(x)y(x; u),Îòìåòèì, ÷òî J = kAu − f kL2 (0,l) , ãäå Au =îòâåò â ñëó÷àå ëèíåéíîãî è îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà A:pf=pρ(x)z(x). Íàì èçâåñòåíJ 0 (u) = 2A∗ (Au − f ).Î÷åâèäíî, ÷òî(3)A : L2 (0, l) → L2 (0, l) ëèíååí; äîêàæåì îãðàíè÷åííîñòü â ïðåäïîëîæåíèèíåêîòîðîé ãëàäêîñòè çàäàííûõ ôóíêöèé. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Ãðèíà è íåïðåðûâíî-5ñòüþ ôóíêöèè Ãðèíà , ïîëó÷àåì:2kyk =wl02y (x)dx =wlwl00=!2wlwl002G (x, ξ)dξ÷òî è âëå÷åò îãðàíè÷åííîñòü îïåðàòîðà5 Ïîäðîáíåådx 6 {Êîøè-Áóíÿêîâñêèé}G(x, ξ)u(ξ)dξwl0A.î íåé ñì. â ëþáîé êíèæêå ïî ÎÄÓ.4!2u (ξ)dξdx 6max(x,ξ)∈[0,l]×[0,l]2G2 (x, ξ) kukL2 ,A òåì æå ìåòîäîì, ÷òî ýòî äåëàëîñü íà ëåêöèè6 :hAu, vi â âèäå hu, A∗ vi (âûáîð ψ áóäåò îïèñàí íèæå):Íàéäåì îïåðàòîðâûðàæåíèåïîïðîáóåì çàïèñàòüw √w √√√hAu, vi = h ρy, vi = hy, ρvi = y ρv dx + 0 = y ρv dx + h(ky 0 )0 − qy + u, ψi =ll0=0wlwlll000ww√y ρv dx + (ky 0 )0 ψ dx − qyψ dx + uψ dx.0Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ýòîì ñîîòíîøåíèå êàê ðàç èìååò âèä òèïàhu, A∗ vi.(4)Âûáåðåìψòàê, ÷òî áû ñóììà ïðî÷èõ èíòåãðàëîâ çàíóëèëàñü.

Äëÿ ýòîãî ðàñïèøåì âòîðîé èíòåãðàë,äâà ðàçà ïðèìåíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì:wl(ky 0 )0 ψ dx =0wlky 0 ψ 0 dx =0wly(kψ)0 dx.0ψ:ψ(0) = ψ(l) = 0; âòîðûå æå ïîäñòàíâîêè îáíóëÿþòñÿ çà ñ÷åò êðàåâûõÏîäñòàíîâêè ïðè ïåðâîì èíòåãðèðîâàíèè ïî ÷àñòÿì îáðàòÿòñÿ â íîëü çà ñ÷åò âûáîðàïîòðåáóåì, ÷òî áûóñëîâèé çàäà÷è (2).Îáúåäèíÿÿ ïåðâûå òðè èíòåãðàëà â ïîñëåäíåì ñîîòíîøåíèè (4), ïîëó÷èìwlpy( ρ(x)v(x) + (kψ)0 − qψ) dx,0÷òî îêîí÷àòåëüíî ôîðìèðóåò íàì óñëîâèÿ, îäíîçíà÷íî ïîçâîëÿþùèå âîññòíàâîèòüψ:(p(kψ)0 − qψ = − ρ(x)v(x),ψ(0) = ψ(l) = 0.Èòàê,A∗ v = ψ(x),ãäåψ(5)íàõîäèòñÿ èç (5).

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â (3), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëü-íûé îòâåò.11. Çàäà÷à 11 ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì âàðèàíòîì çàäà÷è 10 è ðåøàåòñÿ â ïîëíîé àíàëîãèè ñíåé è ëåêöèÿìè.J(u) =12. Íàéòè ãðàäèåíòû ôóíêöèîíàëîâs[y(t, x; u)−f (t, x)]2 dtdx è J(u) =ãäåy(t, x; u)ñòè:|y(T, x; u)−0Qf (x)|2 dx,rl- ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíî-yt = uxx , (t, x) ∈ Q = (0, T ) × (0, l),yx (t, 0) = yx (t, l) = 0, t ∈ (0, T ),y(0, x) = u(x), x ∈ (0, l).Ëèíåéíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèîíàëîâ, ïî-ñóòè, áûëà äîêàçàíà íà ëåêöèÿõ; ñëó-7 áûë ðàññìîòðåí íà ëåêöèè, òàê ÷òî ðàññìîòðèì èís÷àé òåðìèíàëüíîãî ôóíêöèîíàëàòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàëJ(u) =2[y(t, x; u) − f (t, x)]2 dtdx = kAu − f kL2QQ, ãäåAu =y(t, x; u), f = f (t, x).

Ãðàäèåíò îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (3); íàéäåì A∗ :xxxxhAu, vi =yv dxdt + hyt − uxx , ψi =yv dxdt +yt ψ dxdt −yxx ψ dxdt.qq6 Îòìåòèì, ÷òî ñâåäåíèå îäíîãî òèïà çàäà÷ (íîâîãîqqòèïà) ê äðóãîìó (êîòîðûé ìû óæå óìååì ðåøàòü) ñ ïî-ìîùüþ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà äåëî åñòåñòâåííîå. Íàïðèìåð, ìåòîä Ðèìàíà â êóðñå óðàâíåíèé ìàòôèçèêèèñïîëüçîâàë òó æå èäåþ.7 Ïðàâäà,äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è; íî îòëè÷èÿ ìèíèìàëüíû.5Ðàñïèñûâàÿ èíòåãðàëû, íàéäåì îãðàíè÷åíèÿ, îïðåäåëÿþùèåxqyt ψ dxdt =wly(x, T )ψ(x, T ) − u(x)ψ(x, 0) −wT!yψt dt dx,00îòêóäà ïîëó÷àåì òðåáîâàíèåψ:ψ(x, T ) = 0.Äâà ðàçà áåðÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîé èíòåãðàë,ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî èç òðåáîâàíèÿ îáðàùåíèÿ â íîëü ïîäñòàíîâêè ïðè ïåðâîì èíòåãðèðîâàíèè ïîëó÷àåì òðåáîâàíèÿA∗ v = ψ(0, x),ãäåψ(t, x)ψx (t, 0) = ψx (t, l) = 0.Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òîðåøåíèå ñèñòåìûv = ψt − ψxx ,ψx (t, 0) = ψx (t, l) = 0,ψ(x, T ) = 0.Îêîí÷àòåëüíûé îòâåò ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé â (3).3Ìåòðè÷åñêèå ïðîåêöèè (Çàäà÷è 13-15)13. ÏóñòüH- ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî,÷òî ïðîåêòîð pr(h)= PhíàLL - åãî çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî; äîêàçàòü,ëèíååí, îãðàíè÷åí è ñàìîñîïðÿæåí.Ëèíåéíîñòü î÷åâèäíà ñ ïðèâëè÷åíèåì âòîðîãî ïóíêòà òåîðåìû î ñâîéñòâàõ ïðîåêòîðîâ8â ãèëüáåðîòâûõ ïðîñòðàíñòâàõ :hP h1 − h1 , u − P h1 i > 0; hP h2 − h2 , u − P h2 i > 0, ∀u ∈ L,è, ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷àåìh(P h1 + P h2 ) − (h1 + h2 ), 2u − (P h1 + P h2 )i > 0, ∀u ∈ L.(Ïîÿâëåíèå äâîéêè ïåðåäuíèêàêîé ðîëè íå èãðàåò â ñèëó òîãî, ÷òîL ïîäïðîñòðàí-ñòâî.) Îãðàíè÷åííîñòü ñëåäóåò èç òðåòüåãî ïóíêòà òîé æå òåîðåìû (äîñòàòî÷íî ïîëîæèòüg = 0).Äîêàæåì ñàìîñîïðÿæåííîñòü.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы