Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Поатому предыдущее неравенство справедливо для всех с сн (с», Т), в которых и» (с) непрерывно: и (х (с), Р, с, су (с), ао) ( и (х» (с), и» (с), с, ф (с), аз) т Р си [г. Поскольку при р = и» (С) ев [г здесь получаем равенство, то зор Н(х (С), и, С, ф(С), а ) = Н (х (С), и (С), С, ф (С), а ) (64) во всех точках непрерывности и (С).
Далее, докажем, что агу[(х, х»(Т))=0, 1=1, ..., зс. (65) Дла тех номеРов С (1 ~ С ( т), длЯ котоРых УС (хс, х» (Т)) = О, Равенства (65), конечно, выполняются. Пусть у (х, х» (Т)) (О. Иэ (25), (26) тогда следует: у'(хы, х,(Т)) (0 при всех й) Ссм где Ссэ достаточно боаъпсое число. Поэтому иэ формул (18), (34) получаем аы = ась(дс) = 0 для всех й) Уа Тогда [пп ась(дс) =а[(йс) = 0 ДлЯ кажДого [У =»1. СлеДовательно, а-»» [сш ас(йг) = а[ —— 0 для тех номеров с (1( с ~ ю), для которых К-и» у[ (х, х (Т)) ( О.
Равенства (65) доказаны. Соотношения (59) — (61), (63) — (65), составляющие основное содержание теоремы 2.1, установлены, Тем самым теорема 2.1 полностью доказана для случая, когда задача (2.1) — (2.4) имеет единственное решение (х и (с), х»(с)). Общий случай, когда задача (2И) — (2.4) имеет более чем одно решение, легко сводится к рассмотренному случаю. А именно, пусть (х, и» (с), х» (с)) одно из решений задачи (2.1) — (2.4). Введем новую фазовую координату х"+' и к системе (2.2) добавим еще одно уравнение хи+с(с) = ) и(с) — и (с) (=7"+с(и(с), с), с»-.с <т, хо+с(со) = х"+1, (66) Введем функцию т Х (хю х"+с, и ( )) = ~ го(х (С), и (С), С) с[С+ у»(х, х (Т)) +(х (Т)) + со т —.
„)э = ~ уэ (х (с), и (с), с) л+ у', (*э, *(т), х"+' (т)), (67) с» где уз (х, у, у"+с) = уо(х, у) + (у"+с) + ) х — хэ» [эРассмотрим задачу минимиаации функции (67) при условиях (2.2) — (2.4), (66). Нетрудно видеть, 6» ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 475 что х (хе, х,",+1, и(.))) У(х, и( ))~ за для всех допустимых наборов (хе, х"+1, и( ), х(.), х"+1( )) задачи (67), (2.2) — (2.4), (66), для которых х, чь*,, х,",+'чьо, и ( ),ь и, ( ). В то же время 71 (хе, О, ие (')) = у (хе иа ( )) уе. Это значит, что функция (67) при условиях (2.2) — (2.4), (66) достигает своей нижней грани на единственном допустимом наборе (х „, *,",+1 = О, и ( ), х ( ), х"+1( ) = 0).
Следовательно, для задачи (67), (2.2) — (2.4), (66) справедлив принцип максимума. Конечно, для полной строгости надо оговорить, что функция го+1 (и, Г) =) и — ие (Г) (, находящаяся в правой части уравнения (66), необязательно непрерывна по 1 ел (гн Т), и строго говоря, не удовлетворяет условиям теоремы 2.1. Но, тем не менее, благодаря тому, что )а ы(и, 1) кусочно-непрерывна по г, не вависит от х, удовлетворяет условию (1), нетрудно последить, что все вышеприведенные рассуждения, приведшие к соотношениям (59) — (61), (63) — (65), сохраняют силу и для задачи (67), (2.2) — (2.4), (66). В втой вада че функция Гамильтона — Понтрягина имеет вид 11* * " т фа+1 е) ~е1 (х' и' )+(ф 1(~' "' ))+ + фи+1( и — ие (Г) ( = Н(х, и, Г, ф, а,) + фи+1! и — ие (1) ).
Согласно уже доказанному случаю принципа максимума найдутся числа аь а„..., а, и вектор-функция (ф(г), ф„+1(г)) (1, < г < т) такие, что а = (ам аи..., а,) ~ О, ас ~ >О, а1~ )О, ..., аи ) О, ф(1)- — нш(*.(г), "+1(1), .(1),г,ф(1), О.„(г),;) = — Н„(х (Г), и (Г), Ц Т(Г), ае), 1 < 1< Т, 'р„+1(г) = — н „+,— — о, 1,<1<<Т; условие максимума шах Н (хе (1), х"+1 (1), о, 1, ф (с), ф„+ (г), а„) = Фыу = Н (х, (Г), х",+1 (1), и, (1), Г, ф ( ), ф„+, (1), а,) выполняется во всех точках непрерывности и (с); справедливы условия трансверсальности т'(гс) = аог1х (хсе, хе (т), ха (т) = 0) +~ агу„(хсе' хе (т)) 1=1 з = ~~З~ а.зх (хе, хе (Т)), т„+1Я =азу,'„+1+ ~ а,.а'„+, — — о, 1=1 в аегь (хее хе (Т), хе+ (Т) = 0) — ~ а)4 (хз х* (Т)) = 1=1 пРинцип ыансимъмА пОнтряГинА 1ГП.
з 476 сР + (Т) = еу~ +с(хо ' х»(Т), х»+ (Т) =0)— — ~ а)ус„+ (х», х» (Т)) = 0 с=с и условия дополняющей нежесткости аСдг(хэ», х» (1')) =О, С = 1, ..., т. Из этих условий следует, что ф„+с(с) = О. Учитывая это равенство в полученных условиях, снова придем к соотношениям (59) — (61), (63) — (65) и в том случае, когда в задаче (2И) — (2.4) оптимальное решение не единственно.
Теорема 2И доказана. Доказательство теоремы 2.2 также приведем при дополнительном предположении выполнения условия (1), считая, что в (1) Сси В. Пусть (х, и (с), х (с), с, Т ) — оптимальное решение задачи (2.37) — (2.40). Если задачу (2.37) — (2.40) рассматривать как аадачу с закрепленным временем, взяв в ней С = С» Т = Т»,то она превратится в задачу (2й) — (2.4) с оптимальным решением (х „, и» (С), х» (с)), и к ней применима уже доказанная теорема 21, из которой следуют соотношения (59), (61), (64) с С = С, Т = Т», а также условия трансверсальности » » сР(со»)=Х ассх(хе, х„(т„) се», т»), ф(т»)= — ~~~ ас»си(хе» х,(т,) сое т,) с=о с=о и дополняющей нежесткости аа)(х, х»(Т ), С,Т»)=0, 1=1, ...,т.
Поэтому в отдельном доказательстве нуждаются лишь условия трансвер- сальности (2.42), (2.43): шах н(х» (се ), Р, со ' с)(се ), ае) = Х асям (хо»' х» (т»)' со ' т*)' (66) с=о » шах Н(х» (Т»), р, Т», ф(Т»), а ) = ~~ аС~,(х~~, х (Т ), С, Т„). (69) Начнем с доказательства равенства (69). Сначала рассуждения проведем в предположении, что решение (х „, и (С), х»(С), С „, Т») вадачи (2.37)— (2.40) с закрепленным С = Се единственно. Как*и выше, на интервале с с» (с, Т ), введем точки (сс ) согласно (12), матрицу 3, перейдем к задаче (14) — (17), зафиксировав в ней с = с „; управление и(с, $) на отрезке (с „, Т») будем определять согласно (13). Поскольку теперь время Т окончания процесса заранее неизвестно и нам придется рассматривать значения т)т», то нужно кам-то определить и(с, 2) и при с~)т».
Для наших целей будет достаточно принять и (с, 5) = и» (Т» — О, з) = и» (Т» — 0) УС ~~ Т». (70) Кроме того, говоря о аадаче (14) — (17) и других возникающих ниже задачах, мы всюду далыпе будем иметь в виду, что здесь функции дс являются функциями аргументов (х, у, с, Т). Пусть число ссТх ) 0 столь мало, что отрезок [Т» — ЛТН, Т») не содержит точек (сср) (с = 1, ..., )т', р 1,..., )у+ 1), и управление и» (с) догслэлткльство пгннцннл млксимумл йз) 477 непрерывно при Т,— Ати(С <Т . Тогда, как видно ив (13), (70), УпРавление и(с, 5) бУдет непРеРывно пРи с) т, — йтрс, а тогда соответствУющаа тРаектоРиЯ х(с, и(., 5), хе) пРи с) Т вЂ” птсс бУдет непРеРывно дифференцируема.
Задачу (14) — (17) будем рассматривать при дополнительном условии (71) Тр ОТСС ( Т ( Тр + СЛТСС Получившаяся задача (14) — (17), (71) представляет собой конечномерную задачу минимизации в пространстве переменных (х, 5, Т): х = (хо, ..., х ), ь = (всю С, р = 1, ..., Дс). Любой набор (х„и(, $), Т), допустимый в задаче (14) — (17), (71), является допустимым и в задаче (2.37) — (2.40), причем аначения целевых функций в обеих задачах на таком наборе совпадают (напомним, что момент с = с у нас пока фиксирован).
В то же время оптимальный набор (х, и„( ) = и (., 0), Т ), вадачи (2.37) — (2.40) является допустимым в вадаче (14) — (17), (71). Отсюда ясно, что тройка (х, $р = О, Тз) является единственным решением задачи (14) — (17), (71). Применяя к задаче (14) — (17), (71) метод штрафных функций, придем к вадаче (19) — (22), (71) с фиксированным с .=- с . Как и выше, пользуясь оценкой (24), нетрудно показать, что функция Фь(хе, $, Т) непрерывна на компактном множестве СГ = ((х, 5, Т); ! х — х / < 1; О < $С < йгт, С, Р = 1, ..., СУ; [т — т,[<лт„~.
Отсюда будет следовать, что задача (19) — (22), (71) имеет хотя бы одно решение (х а, 4= фр), Тз). Пользуясь теоремами 514.1, 514.2, убеждаемся в справедливостй предельных соотношений (25) — (27) с с = с Т = Тз и, кроме того, 1сш Тз — — Т, 1пп хз(т ) =хе (Тр), (72) ьи з ро где хр(с) = х(с, и(., йь), хм) (с = с ~ (с(Та). Поэтому можем считать, что наряду с неравенствами (28) выполняется неравенство [Тд — Т„( < атэс при всех й) йь Оптимальному решению (хем 5м Ть) дадим приращение (Ьх, = О, 550, ЬТ), где Лт ) 0 столь мало, что [т„+ пт — т, [< бт, .
(73) тогда на отрезке с = с (с<шш(тю тз+ ьт) траектория не получит приращения, а функция Фз(хн $, Т) получит приращение только за счет того, что одна и та же траектория хр(с) = х(с, и(, $з), хх) будет рассматриваться на различных отрезках [сы, Ть), [с, Та+ Ьт[. С учетом оптимальности набора (хм, 5м ть), определения (13), (70) управления из(с) = = и(с, Ць) имеем 0(~ ЬФз = Фа(хоз 5з Тз+ Ьт) Фа(хоа 5л Тз) = тл+лт тз 7 (ха(с), ил(с), с) Ыс — ) 7 (хз(с), и (с), с) Нс+ се* с, +а (хоз 'л(та+ Ю со 7а+лт) а ( оа хл(ул) со тл)+ ПРИНЦИП МАКСИМЪ'МА ПОНТРЯГИНА 478 1тл. о + Ад»э ((ет (хо х«(тд ( Ат) го Тд+АТ))э (Б1 (ход хд(тд) то 7«)) 1 1 д та+ Ат уо(хд (1), и, (1), 1) 31+ (г'„(х„, х„(7«), го„, тд)+ т„ + Х 2"дуэ (хоа хд(7«) го, 7«) лэг(ход ха( а) 1о, 7«) хд(7«+ Ат) оо ь «(7«))+ [ат( а д(7«) го 7«)+ + ~з 2А«д,+.
(ход, хд(7«), го, Тд)гт (ход' хд(Т«), гоо, 7д) ЬТ+ Льду о=т где (74) В (С( ) — С(-)+32А ( (~)~ ( )— о ( 0 ) о (...) ( АТ, 0<0<1; (75) здесь по аналогии с (33) для краткости обозначено [ ) =(хоы сд(Тд)+ г 01 +0(хд(7«+ ЬТ) — хд(Т«)), гоо, Тд+ОЬТ), ( ° ) =(хоа' ха(Тд)' ео' д)' Заметим, что функции 7(хд(1), ид(1), 1) (1=0, 1, ..., и) непрерывны иа отреаке [Т«, Тл+ ЬТ) (при ЬТ < 0 здесь надо рассматривать отрезок [То+ АТ, 7«)) — это следует ив выбора ЬТ», условий (13), (70), (71), (73), непРеРывиости ид (1) = и (й, 3 ) = ио (1) па этом отРеаке, непРеРывности фуикций /~ (х, и, 1), хд(1). поэтому т«+дт (Тд+ АТ) — х (Т ) = ) 1(хд(1), и (1), 1) 31 = тд 7 (хд (Тд), и„(Т«), Тд) ЬТ -[- В „, т«+дт (76) г' (хд (1) ио (1), с) 31 = 7 (хд (Тд), и (Т ), Тд) ЬТ+ В д, тд где тд+Ат 7(од = ~ [т'(хд (1), ио (1), 1) — 7(хд (Тд), ио (Тд), Тд)) 31= о (АТ), тд та+от Иод = ) [7 (хд(1), ио (1), 1) — 7 (хд(7«), ио(7«), 7«)1 ЬТ = од (АТ), тд доилзлтнльство ивиидипл ылксимуыл 479 11ш оа (ат))ьт = О.
Отсюда и иа непрерывности функций Г', гт, Гд, ут аг- о для 7)еа ив (75) также имеем 77м = ок(ЛТ). Далее, воспользуемся вели пю нами а~к ие (34) (раеумеется аргументы функций у',д~" здесь должны быть дополнены величинами Г = Ге, Т = Та). Умножим (74) на ам ) 0; с учетом равенств (76) получйм 0 ~ аокАФк = аеау (хк (Тк), ио (Та) Тк) от + +(Х огляд(хеа ха(та) гео 7а) 1(ха(та) "о(7а) 7а йт+ те=о +~ ~тахт(хек, ха(тк) Го,, Т„) Ьт+Леа, 1=0 где р' ° иск=сок(Лье+)7та)+4ььХ омов(хоа хк(Тк) 1о,, 7а), два ' = оа(ЬТ).
«-о Отсюда, польауясь условием (38) с Т Тк и определением (36) функции Н, имеем 0<о кЬФа=йт — Н(ха(тк), и (Та), Та, фк(т ), аеа)+ ! оа (Ьт) 1 + ~~ таят(хоа ха(7а) гое 7а)+ Т г=о при всех достаточно малых )Лт(, причем Ьт могут быть как положительными, так и отрицательными. Это возможно лишь при а н(хк(тк) п (та) 7'а т(к(тк) оек)=Хо1кут(хек а(тк) 'о, 7'а) а>ао г-о Отсюда, польвуясь (72), рассуждая также, как при докаеательстве теоремы 2.1, совершим последовательно предельные переходы сначала при а-~ ос, затем при )У-~со и получим условие (69). Напоминаем, что наши рассуждения проводились в предположении, что задача (2.37) — (2.40) с еакреплеиным г = Г„имеет единственное решение.
Если эта задача о со имеет неединственное решение, то можно перейти к еадаче минимизации функции Х (хю х"+г, и ( ), Т) = у (х, и ( ), 1„, Т) + +( "+'(т))' — (т — т,)'+( е — „)в при условиях (2.38) — (2.40), (66), которая имеет единственное решение (хе, ио (г), хе (1), То), применить к ней уже докаванное и, учитывая, что оптимальные хо+к(Г) =О, ~)о+г (г) =О, получить условие (69) и в этом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
