Ф.П. Васильев - Численные методы решения экстремальных задач (1125247), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Йетрудко видеть, что любой набор (хо, и(, 3)), допустимый в задаче (14) — (17), является допустимым и в задаче (2.1) — (2.4), причем значения целевых функций в обеих задачах на таком наборе совпадают. Отсюда сле- дует, что нижняя грань|я целевой функции задачи (14) — (17) не меньше нижней грани У» в задаче (2.1) — (2.4): У[т )~ У». В то же время оптималь- ный набор (х, и»( )) задачи (21) — (2.4) является допустимым в зада- че (14) — (17), так как согласно (13) и(1, 0) = и»([) ([о<1~ (Т).
Тогда о» = о'(хо» и» (')) = У(хо», и(, )) = о'[т(хо», 0)~ )Х[т . Следовательно, о'»о» У[т = Х[т(х, 0). По предположению задача (21) — (2.4) имеет единственное решение. Тогда и задача (14) — (17) также будет иметь единст- венное решение (х, $» = 0) при каждом фиксированном [о' > 1. Применим к задаче (14) — (17) метод штрафных функций. Обозначим дол(хо, $) = до(хо, х(Т)) = яо(х» х(Т, и(, $), хо), 1 =1, ..., о, у~'(х, у) = ~ + (шах(0; г~(х, у)), [=1, ..., т, (18) б, [ = т + 1, ..., о. Рассмотрим задачу: минимизировать функцию о о» (хо' ь) Уи ( о' ») + 1» Х 13[я (хо' ь)) 1 1 Т о (х(1), и(Ц 9), 1) 31+3 (х, х(Т))+о[» ~", (3~+(х, х(Т)))З (19) о [=1 о при условиях У(1) = У(х(1), и(1, $), 1), С, < С < Т, х(1,) = $ = (йог), О < Зо» < 3„, [, р = 1, ..., д', [ о о»[<1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 465 где А» > 0 (» = О, 1, ...); (А») -о со.
Если ввести множество его=((хс, ь): )х, — х а~~1, 0<31 <~с(и, 1, Р=1, ° ", )у), то Задача (19) — (22) может быть кратко ааписана в виде (23) Фс(хс, ь) -о(п1, (ха, В) сн (7а. Покажем, что Задача (23) имеет хотя бы одно решение. Сначала убедимся, что функции 1я(хо, $), дсл(хс, $) непрерывны по совокупности (хо, $) на множестве Со. Пусть (хо, $), (хо+ Ахс, 5+й$) сп Со.
Согласно оценке (9) с учетом (13) имеем шах / х(г, и(, Е+ 6$), хо+ Ахо) — *(Г, и (, 5), хе!~< о~~~ т < С ( йхе ) + С ) ( и (Г, $ + 6$) — и (Ц $) ( АГ = о и с!в+мр+АМР =С (Ах )+С ~ ~ )с — ио(Г)(АГ<С (Ахо)+Сти(А~) цге т ИР+т, (24) где и С =С епр епр (с — ио(1)(, (ось) = ~ (651Р). тоРХСт ГОХГХГ дрг т Иа непрерывности функций (о(х, и, г), дс(х, у) по совокупности своих аргументов и оценки (24) следует непрерывность функций уи(хо, $), дог(ха, $)с д~ (х „о), Ф»(х„$) иа компактном множестве Сс. Согласно теорвме 1ЛЛ Ф, = ш(Ф»(х, $) > — оо и существует хотя бы одна точка(хо», $») ш Со, »о — и» о' о в которой нижняя грань достигается. Покажем, что последовательность решений (х», е» вЂ” — (фр)) (» = О, 1, ...) решений вадач (23) сходится к решению (хе, 5о = 0) аадачи (14) — (17).
Воспольвуемся теоремами 5Л4Л, 5Л4.2. Проверим выполнение условий втит теорем. Непрерывность функций Хх(хо, 3), уса(хс, $) мы уже установили. Ив непрерывности ух(хо, 3) и компактности Со следует, что ооо = ш1 Хат(х, ь) > — со. Множество о' о Пе= 1с(хо, В) ш(7е: лает(хе 5)<6, 1=1с ° ° ., а) ограничено в силу ограниченности (7с при любом 6 > О. Все условия теорем 5.14Л, 5.14.2 выполнены. Поэтому решение задачи (23) или (19) — (22) сходится к решению задачи (14) — (17) как по функции, так и по аргументу.
Поскольку аадача (14)— (17) имеет единственное решение (х, ьо =0), то Иш с» —— оо — — О, Иш хо» хеа' Ипг Ф»(хою о») = хас —— Уо. (25) »~ со »-ссо»-ссо Из оценки(24) прис=во=О, хе=в, йе=ь», ссхе — — хо» вЂ” х получаем Иш птах ) х» (Г) — хо (Ю) ) = О, (26) »-ссо гохгхт ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА 466 [ГЛ. О где хо(с) = х(с, ио( ), х ) =х(С, и(, 0), х ) — оптимальная траекто. рия в аадачах (14) — (17), (2.1) — (2.4), х«(с) = х(с, и(, В«), хо«) — оптимальная траектория в аадаче (19) — (22). Кроме того, из теорем 5А4А, 5.14.2 следует )ип ат(х а, хс,(Т)) =ус~ (х, хо(Т)) =О, 1=1, ..., ю (27) А-««« оо' и«(с), С), С«< С < Т, (30) О учетом оптимальности (х,«, 5«) для приращения фунсщии (19) получим О( ЛФ = Ф (х, + Л*,, 5«+ Л5) — б«(хею 5«) = Т = ) ! Се (ха (с) + ьх (с), и«(с) + ьи (с), с) — 7 (хь (с), и (с), с) ) Асс + С« + у (хе«+ Ьхо ха (Т) + Ьх (Т)) — д (хеа хс (Т))+ +А,~ ~(а+(.,+Ь;.*,(Т)+Л*(Т)))з-(д+(;,;(Т)))з]= С т В - ( ы㫠—;.(с [ „, *, («)[ «2 2«гс[ „, *««)[ 4[*„, ч (т)[ «ь~« С=С о « + ае(хоа, х«(Т))+ ~~„2А«ос~(хо«' ха(Т)) оу(хо«, ха(Т))' Лх(Т) + В[а' «=1 (32) Задача (19) †(22) представляет собой задачу оптимального управления с подвижным левым концом и свободным правым концом траектории и поэтому для приращения функции (19) нетрудно получить формулу, которая понадобится нам при получении необходимых условий оптимальности для задачи (19) †(22).
Вудом рассматривать задачи (19) †(22) со столь большими номерами Сс, чтобы )хе« 'оо!(1' 0<5«с («[сч С, р=1, 2, ..., Лс; ото возможно в силу равенств (25), из которых вытекает, что неравенства (28) будут выполняться для всех Сс) Сс«, где С«« — достаточно большов число. Оптимальному решению (х««, $«) аадачи (19) — (22) в силу (28) можно дать такие малые ненулевые приращения (Ьх„Ь$), что ! *о«+ лхо хоо ! (1 0 ( 5[о+ Ь5[о ( 8[о Ц„>О, С, р=1, ..., Л, й>й,.
(29) Тогда оптимальные управления и«(с) = и(с, 5«) и траектории х«(с) = = х(с, и«( ), х««) задачи (19) — (22) получат приращение Ьи(с) = = и(с, 5«+ 65«) — и«(С), Ьх(с) = х(с, и«+ ли, хо«+Ьхо) — х«(с) (со < С < < Т). Приращение Ьх(с) удовлетворяет условиям ЬЕ(С) = ЬС = С(х«(с) + Ьх(с), и«(С), С) — С(х«(С), л*(с«) = лхм вытекающим из (20). Из (24) для Ьх(с) следует оценка шах ) Ьх(с) (( с ! Лх )+ свСС) ЬЬ). (31) с хсхт о йэ) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 467 где Ь)о =)о(хо(1) + Ах(1), ив(г) + йи(1), 1) — )о(хв(г), ио(г), 1), .. =(1а(.'.)-'з" »+ 2 .ОГ(.'.
) ~ ('»- —.;з...з .з...з).зч)в(<*:(о)-з1з" »-; .з. 2 зз,зх ( о)з'„( о) — аз„,з 'з,.,з«з,зоз); зззз з=г для краткости здесь обозначено 1 ) = (хе«+ Ойле, х«(Т) + Ойх (Т)) (О ( г01 ( 0 ( 1), ( ..) = (хом хо(Т)). Введем обозначения о )-Мз ао«= 1+ Х (2А«У~+(хе«х«(Т))) ~ аз«=2А«6, (хе«х«(Т))ае«, (34) о = 1, ..., з, и сопряженную задачу («( ) х ( ' ' ' (' 0) (х=х«Н),™~«Одзо=з(з«,а =аэ« в ф«(Т) = — ~ аз«И'„( „, х„(Т)) 1=о (37) (38) где ам взяты из (34).
Напоминаем, что в соответствии с определением 1.1 решением задачи (37), (38) называется непрерывная вектор-функция фв(П, являюзцаяся непрерывным решением интегрального уравнения Т оу«(1) = ) Вх (х«(т), и«(т), т, зу«(т), а «) о(т + зР«(Т). (39) Система (37) линейна относительно з)в, существование и единственность решения задачи (37), (38) следует из теоремы 1.2. При сделанных предположениях относительно функций 1з(х, и, 1) (о=О, 1, ., и), как видно иэ (39), функция зрв(Г) во всех точках непрерывности управления и«(1) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (37). Умножим равенство (32) на аов ) 0 и с учетом обозначений (34), (38) перепишем его в виде за „зо,-) „зов +О 2,~'„з „, *,зоззь)— то 1=с — (зу«(Т), Ох (Т)) + ао«Ло«(40) Отсюда и из (18) следует, что 0(ае«~~1з а «~)0, ..., а, «ЪО, ~", агт«=1.
(35) «=е Для преобразования правой части равенства (32) к более удобному виду, введем функцию Гамильтона — Понтрягина Н(х, и, д ор, ао) = — ао)о(х, и, Г) + (зр, 7(х, и, С)) (36) ПРИНЦИП Ъ|А»ССИ»СУ»СА ПОНТРЯГИНА (ГЛ. 6 Преобразуем третье слагаемое из правой части (40). С учетом соотношений (30), (37), (33) имеем т р сс (ф»(т), Лх(т)) = ) 31 с'ср»(1), Лх(1)) 31+ ~ф»(1,), Л~отсо = ~((ф»(1), Лх Щ+(Ф»(1), Лх(1))) сМ+(ф«(1), Л*,) = со т т = ~ (ср» (1), лс) асс — ~ сн„(х» (1), и«(с), с, р«(с), а»), лх (1)) 31 + + ('» (со)' Лхо)' Подставим полученное выражение в (40); с учетом обозначении (33) будем иметь т 0(а «ЛФ, = — ~ (Н(х,(С)-(-Лх(1), ис,(1) + Ли(1), 1, фс,(1), а )— о — н(х«(1) и«(1) ' "Ь(1) ао«)) "1+~ Хас»х ('о» х«(т)) ту»(со) лхо + 'с=о т + ) (Н„(х«(1), и» (1), 1, с)с«(1), ао»), Лх (1)) с)1+ ао»Н1».
(41) со В силу формулы конечных приращений Н(х»+ Лх, и»+ Ли, 1, ф», ао») = Н(хм и»+ Ли, 1, ф», ао») + + (Н (х»+ ОсЛх, и»+Ли, с, ч/)», ао») Лх) 0 < Ос ( 1. Отсюда и иа (41) получим т 0( а»АФ» — — — ~ (и (х«(1), и«(1) + ли (1), с, су» (1), ао«)— — н(»(1), »(1), 1, Р»(1» ао»)) 31+(Х ас»их(хо«х«(т))— '~с=о су» (со) Лхо + Н» Н» = 'о«Н»»+ На«(43) где т и = — ) (н„(х«(с)+8 лх(с), и«(с)+ли(с), 1, ф»(с), а «) со — н„(хс,(1), и» (1), с, ~$>» (1), а ), лх (1)~ ги. (43) Покажем, что Н = о» () Лх ) + ) Лв (), )сш о» (1)1 С = О. (44) о с~о ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА Я 31 Из непрерывности функций у'(х, у), ус+(х, у), у (х, у), ув(х, у),оценки (31) и выражения (ЗЗ) для Лм следует, что аайм = ок()Дхе)+ )Д$!).
Далее, перепишем выражение (43) для Лак в виде Лак = Лзк+ Лы, где Т Лзк — — — > (Н„(хк (С) + Осйх (С), и (с, Як + Д$), С, ! к (С), аес1) о — н„(хс,(с), и(с, за+де), й, ~р (с), а ), дх(й)) ссс, Лаз= ~(Нх('К(й)* "(С "К+Да) С "Рь(й) 'ОК) е сср+й~с +дай„ (Нх (хк (с), г, с фс, (с), аок) с,р=с к сср+йср !Лак! = — Нх(хк(с), и (с), с, 'тк (с), а к), дх (с)) асс! < <2! Дй! зпр(Нх(х, и, с, ср, аек) ! ! дх(с) ! = о (! дх ! ! ! дкь!) Суммируя полученные оценки для Л1к, Лм, Лск, придем к оценке (44). Итак, нужная формула (42) для приращения функции (19) с оценкой остаточного члена (44) получена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
