Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Таким образом, .произведение б*(т — тз)б(уо — узз) является обычной дельта-функцией для плоской области; умножая ее на. элемент площади в полярных координатах т дт е(уо и интегрируя по рассматриваемой области, мы получим 1 или О, смотря по тому, принадлежит точка (ты уо1) этой области или нет з). ') См. также [7, с.
270). Глн У1. Уравнения еипербоаичееного типа 83. Потенциал горизонтальных скоростей частиц воды является решением краевой задачи оаи я ) дои 1 гги 1 ози ( 0 < гр < 2я, 0 < 1 < +со, (1) и„(то, гр, 1) = О, 0 < гр < 2гг, 0 < 1 < +ос,. (2) и(т, чо, 0) = иот соя оо, ие(т, гр, 0) = О, 0 < т < то, 0 < гр < 2я,. для него получается выражение .~-оо и(т.
гр, 1) = ио соя гр ~ А„,1, ( — ) соя —, 1д„т1 агг„г о=1 где дп положительные корни уравнения о'г(рг) = О, а 2„г /то,~г (Р" г) йт А„= то(д'. — 1)йо( ) 84. и(т, гр,. 1) = -~-со — —,1г (~ ) / соя(р — огт) яш Р" (1 — т) йт, (1) где 1г„положительные корни уравнения Хг(р) = О,. о о ~з,((т),1г ( — ") йг. 2~т)'(т),1г ( — ") йг о о (2) Замечание. Можно получить решение и в другой форме. Зля этого сначала нужно, не заботясь о начальных условиях, найти частное решение неоднородного уравнения обращающееся в нуль при т = то в виде е1(т, гр, 1) = Л(т) соя(гр — аЛ). Применяя метод вариации постоянных с использованием вронскиана 2 цилиндрических функций И'(йг(я), Жг(я)) = —, для Л(т) нетрудно получить выражение Гл. У1.
Уравнение гиперааличееного типа 8Т. илт, лр, 1) = вшыв ~ ~л ( — ) (Ап сов ир + Вп в1п плр) + чаг п=о 1 Л" Л + ~ ~л'„~ ~— 2) (А„сов плр+ В„О1пплр) вш л'о та и, пл=о 1лл„положительные корни уравнения,1„(1л) = О, г 2 Ао = лыгач ~Р'1лр) л)Оа' Ап' = лыгач ~Р'1лр)сов тлаа алов и = 1, 2, 3, ..., Вп = ыта ~~Оллр) влп илреллр, 1 а 2 л 1 л.,( — )л„( )л а Ап, п, т = О, 1л 2, 3, 2ыВ ~тЛ ( — )1 ~ т)дт а Впт п = 1, 2, 3, ..., т=0,1,2, Указание. Сначала целесообразно найти частное решение уравнения дли г ~ д~и 1 ди 1 дли =и + — — + —, деа ) дт' т дл л" дрг удовлетворяклщее граничному условию и(та, лр 1) = г'л,лр) вшалй Это частное решение естественно искать в виде 11Лт, лрл 1) = $'(т, лр) вшшй 88.
и(та лр, я, 1) = ли и ал т7Гг пл=а т аа ла т~я~ ра + ~ Ал„р 1, )ч " ( сов совплрсовав, + ~"( 12 тал т,в=а 1л~, положительные корни уравнения,~У(1л) = О, Гл. У1. Уравнения гиперболического типа 90. и(г, гр, 1) = и Г и, г(г (и,' г1 (М (~ ( — .7, пвР . пгггР), (го а гйп — гйп — гйп ,()уа (,()) (1) у ,(К ~-, ео гогрор л., =г где (г(, гр() точка, в которой сообщен импульс К, р (и) уравнения л', (р,п ) = О. го 91. и(г, р, () = Л~,"~У~ (Ле.")гг)К о(г К,о(г) гг К ч-~ го гпг1р .
го игр яш — яш — яш Лк а(, оо где Впо (г) = л о (Л)" г) и Лоп имеют тот же смысл, что и в задаче 45 го гл. Л(, а (г, (о) точка, в которой сообщен мембране импульс К, р поверхностная плотность массы мембраны (массы единицы площади). корни д~и з ( д~и 1 ди 1 дои ( < < 0 < (о < (оо, О < 1 < +со, (1) ди ди =О, др,= др,=„ — — =О, д1( д(1 (2) дг,=„, дг а(г, гр, 0) = )(г, гр), (е гг < г < гг, О < гр < гро. (3) Решение краевой задачи (Ц, (2), (3) может быть представлено в виде оо и(г, гр, 1) = ~ (Апо сояаЛ( (+ Воо яшаЛ )()Лп;,(г) соя ", (4) гро т к=о где Вгго(г) = Х' (Л~"~г()311 (Л~~"~г) —,У' (Л~"~г()Х' (Л(")г), (5) Фа го оо Л, положительные корни уравнения Х' (Лг()Х, (Лгз) —,1, '(Лг()(ч'„(Лг ) = О, го »о оо го 1 ГО Апк = „ / ~~(г, гР)Яггк(г) соз ~ г((г(11Р, и > О, Зоо гро~ г((, „,(г) г(г '1 (б) 92.
Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой задачи 552 Ответы, указания и решения "2 те ~ ~ ~/г. уз) Воя/т) т е/т Й~р, +дг()зыв Аоь = 18) /7з ( ) аз 2 в„' 1Лг' гз) — в', 1Лз" гз) (9) ~зЛ~'О уш~Л~;~~ ) "з О ( г ( го, О < 0 < я, О < 1 < +со, Щ а,/го, О, 1) = О, 0 < 0 < я, 0 < 1 < +ос,. (2) и1т,0,0)=етсозд, из1т,0,0)=0, 0<г<то, 0<0<я.
13) Кстсственно попытаться искать решение краевой задачи 11), 12), 13) в виде и1г, О, 1) = ш1г, 1) соз О. (4) Это приводит к следующей краевой задаче для и: дш г~1 д (здзе'') 2ш) д/з 1тздт з, д / тз/ =а з —,— (т — 1 — — 1, 0(т<то., 0<1<+ос, 15) шДго,/) =О, 0</<+ос, ш/т, О) = ит, ше/т, 0) = О, О < т < то, 16) 17) которая решается методом разделения переменных, причем для ш1г, 1) получается выражение вз/з ( — ) ш/т, 1) = ~Аз ' соз — "', з/т то ь=з (8) где /зя положительные корни уравнения 1 /е /3/2 (/з) 2 уз/3 Ы 19) е + зз/з ( — ) азт — о 110) й = 1, 2, 3, 93.
Решение. Поместим начало сферической системы коорцинат в центр сосуда и направим ось 0 = 0 по скорости движения сосуда при 1 < О. Тогда потенциал и скоростей частиц газа не будет зависеть от угла уз и для и мы получим краевую задачу 554 Ответы, указания и решения алАг соя д соя ал1 удовлетворяет граничному условию (2), но не удовлетворяет уравне- нию (1).
З -ЫЛ2 95. и(г, д, 1) = „, -~- ~Ал х пг 1,ЛГ в У е112 — Л„ х Рн(сов В) сов ал1+ ~ Се Р„(соей) сов ~и, (1) 1'в где 1лл~ ~ положительные корни уравнения 1 12Гллл-цзЛ12) 2 ГнелЛ2212) — О, (2) (3) гв, Л.> ~ и~и+1) *Е Л2 Рл ~~ ое Нл (р~ ~'г ~) лг / 4, -"~™) 22 ~д, пг" л,лГ в в Сь = 2 "Е1Л2 Лл 1 л' ~ Ил -1-212у 1; Е122 в Аы (4) 2 л112 вилл ~ Лп22 111 Замечание. См, замечание к ответу к предыдущей задаче.
96. Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой задачи О < г < га, О < 0 < я, О < 1 < +ос, (1) входящее в (4), является решением уравнения (1), удовлетворяющим граничному условию (2), но не удовлетворяющим начальным условиям (3). Функция 555 Гл.
$7..'сравнения гиперболического типа (р г~ пгв и(т, 0,1) = Рп (соя 0), (4) где 11 — положительные корни уравнения (10 р1„' уг(р) — 1(20, 1)1(11) = О, фьЯ)= а "(~п(т)я1п — 1(1 — т)дт, 1=1,2,3, ..., 1 а (5) Й=1,2,3,..., (7) А1 —— 2 "е11г ( 1' ) М' ря Упппг ( — ) 97. и(т, В, 1) = ~ Ап Р„(соЯВ) созигс+ 4т п=1 1' р~ ~'г 1 -1-аа Уп.~1/г аа ~1 + ~ ~Апь Рп(соя В) соя ', (1) п.1=1 Ап =, (1(В)Рп(соя 0) яшВа10, 2Геп„(га) г а ~п'111 ( ) Д (т) "- а и = О, 1, 2...., ,/т (2) "а / оо ( — ') П е а 1 ~ ( ) ы> 01 й = 1, 2, 3, ..., и = О, 1, 2, 3, ..., (3) ~п> где р„— — положительные корни уравнения РХ„.11~ям — 1121 ч1!г(д) = О (4) и,(те, В, 1) = Рп(соя В)~(1), 0 < В < 11, 0 < 1 < +ос, (2) и(г, В, 0) = ие(г, В, 0) = О, 0 < г < га, 0 < В < 11.
(3) Решение краевой задачи (1), (2), (3) может быть представлено в виде 556 Ответы, указания и решении в зуг т ол', Аг о У,емрг ( — ) сов шг '" ( — "'т) + ~Аь "' соя ' ' Р, 1сояд)соътр, 14) к/т ш я=1 где ру положительные корни уравнения 1 р'/итз/гМ 2 рое1/г1/г) = О, 15) о Ато~ ~тд„ем ( — ) р„выг (Р~ ) дт о Аь— к=1,2,... 16) ( —.т) 99. ивет, д, уг, 1) = соягпрсояеЛ ~ Аа а Ри,„1сояд) + (9'" г') Я-оо -Яоо У --Ог ар, Ф +созтзг ~ ~Ань Р „1созд)соа У, 11) кет то и=-т я=1 (п1 где р„положительные корни уравнения 1 р'/не-г/г и~) 2 /атг/г (/г) = О, 4'~/<В)Р„„„1 В)знавав п>т, 2п+11п — тп)! ~ а ~По~ а / 2 "+~'г~, а / (2) Аа— 13) 98.
Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой задачи д и г ~ 1 д ( г ди) 1 д ( . ди') 1 дги ~ дог ) тг дт ~ дтl тгсйпд др ~ ддl тгсйпгд дуге ) ' ди — = АР„1сояд)гояпирсояш1, 12) дт т — „ а! =не~ =О. 13) Решение краевой задачи 11), 12), 13) может быть представлено в виде Гл.
Уй уравнения гиперболического типа 'о . /,х.„„(. );,„„(и А, о п>т, /о=1,2, 'о /г, 01~ ~ п(п -Ь Ц 2 "е'/г о ~ 1 Р тия (4) 100. Потенциал скоростей частиц газа является решением крае вой задачи дги з / 1 д ( з ди) 1 д ( . ди') 1 дги =а — — т — ~+, —,~з1пΠ— ~+ до~ (т' дт ~ дт/ тгяпд дО ~ дО/ таял О дчвг — = /(1)Р„(созО) сеется, ((0) = /'(О) = О, .(2) дт,=„ % =и/, =О. (3) А еыг и(т, О, ~р, 1) = „, +~фа(1) Р (созО) созпир, ч/т ь=з (4) 1п1 где Р„-- положительные корни уравнения ! 1 Р'/~Н-1/2(Р) 2 '/и- 1/2(Р) О (б) 4я(1) = †' (~а(т) зш †' (1 — т)еМ. й = 1, 2, 3...., (б) я о А„' о й=1,2,3,...
(7) чл/г(Ря ) ~ Ыр Ро ееа йз/а(Льт) ~ЗяМз/г(Лет) ~/т ь — з (1) где Ля -- положительные корни уравнения Лтг.Тз/г(Лте) — —,/з/з(Лт~)) ~ЛтзХз/з(Лтз) — — Мз/з(Лтз)~)— 1 / 1 — '(Лтз,/з/з(Лтз) — —,7з/з(Лт з)) '(ЛтхЖз/з(Лтт) — — Яз/з(Лтг)] = О, (2) Решение краевой задачи (1), (2), (3) может быть представлено в виде 558 Ответы, унвэвния и решения ак = Лктк Р5252[Лктз) — — Я252[Лктз). 1 2 сс5к = Лктг сз52[Лктг) — — 1252[Лктг), [3) 1ют [сккуз521Лкт) — 55кМз5ДЛкс)) с5т Ак— й = 1, 2, 3, ... [4) т [аккз52[Лкт) — 55кМ25г[Лкт)з с5т с 102. и[т, й, 1) = ( и ) ( " ) созис5 -5- зс т с-~ аквз,гскЛкт) — /5к5У2525Лкт) + ~ Ак соваЛк5 сояО, к=к где Лк, ак, 55к имеют те же значения, что и в ответе к предыдущей задаче, И'[кг, а, с„тг) = В" (--:-')-4' (И В ' ( —."')-4""(--."-')1 з,с2 ( ) 2 ~252 ( )) ~ 252 ( ) 2 352 ( )) 14) 'г ~т [а.~252 ( — ) — 55~з52 ( — )~ [акУзг~АЛкт) — Вк5У25ЙЛксй)З с1т Ак— с [ак 25гкЛкз ) 55к5 зсекЛкз )5 с5 1 [5) б) Неоднородные среды.
103. Ре>пением краевой задачи дги> ( дги> 1 ди> 1 Р> дег 7о < д.г +,. дт +,.г 0 <т<т,, 0<>р< 277, (1) дгиг ( дгиг 1 диг 1 Рг — = То [ — + — — +— дег [ дтг т дт тг 0<1<+со, (1') т> <т<тг, является () и(т, >Р, 1) = ~ Л. п(т)([а псозп>Р+ Ь и Япи>р) соЯЛ пе+ т, п=1 + [а,„псояпог+ Ь аяша>р[яшЛт„1), (4) где Л,,п - корни трансцендентного уравнения Ып(огт> ) а>И'„(о>т> ) > а(а>7 2) д„(огт>') Рд1(Ыт>) д„(а>тг) ,7п (о>7 1) а>3'„(а>т> ) 0 (5) Р,Л Р,Л а>= —, о>= —, то' 7Ь ' [вп(1"тп> 1)7>7п(О>т>>72) г>7п(а>тп~>)вп(агтп~ 2)[ва(1>тп> ) 0 < т < г>, Я, „(т) = [Вп(а>>7>п~)>7 >(1>тпт2) >гп(О>тпт)да(О>та~я))вп(а>тп>1) т> < т < т, (7) г пг д>г< р(т)1(т, 77)й п(т) соя тир дт 1 при п~О, еа = (8) 2 при и=О, о о а о о Ь (9) г и/71(т)11' „(т)дт о Формулы для а„о, и Ь „получаются из формул (8) и (9) заменой подынтегральной функции ((т, >р) на Г(т, >р) и добавлением множителя Л и в знаменателе.
Гл. Рй Уравнения гиперболического типа и(т> — О, >р, 1) = и(т> + О, >р, 1), ( 0 ~ (д ~ (277, и„(т> — О, >р, 1) = и„(7.1 + О, >р, 1), ( 0 < 1 < +со и(72, >р, 1) = О, и(т, >р, 0) = Х(т., >р), и>(7., >р, 0) = г (т, >р), 0 < т < тг, О < г е и [ Р(т)Я (т)йт о дяг~р(т'д(т, 7о)Яп,(т) сйв пягдт (2) (2') (2н) оо < 2н, 3 ббО Ответы, указания н решении 2 4. Метод интегральных представлений й'(х, у) = — л 'л е Ц ин иел К(Л, р) л2Л лил. (П) 2гг уу Аналогично определяется преобразование Фурье в пространствел). 104.
Р е ш е н и е. Применяя преобразование Фурье вида (1) к уравнению (1) и начальным условиям (2) рассматриваемой задачи, получим обыкновенное дифференциальное уравнение и начальные условия н~ '. и' Л) + аг1Лг + рг)й(Л, р, 1) = О, 4лг й(Л, лл, 0) = Ф(Л, р), ' Р' = Ф(Л, р), (2) где и, Ф, Ф образыФурьефункций и, Ф, Ф. Решение уравнения Щ при начальных условиях (2) записывается в виде й = Ф(Л, лг) сов арс+ Ф(Л, р) ', р = ЗллЛг + рг. (3) ар Применяя обратное преобразование Фурье, находим гл(х, у., Л) = — 1 Чф(Л, р) созар2е ц"из "е~ лгЛллр + 2т л.л .~))Ф(ге)""' ' . '<'*+""'аи) . 54) ир Подставляя значения Ф(Л, р) и Ф(Л, р), придем к равенству и, к е =, ЩЛ )чл, е е'+ г(л, е) ) х е'лгл Пепле '"йл1~л1цл2Лл1р, ~б) где Р = ь/Лг + Рг. ВвЕдем полярные координаты с помощью соотношений с — х =т созуг, Л = рсозп, 1 ту — у = гзлпуг, р = решу, / (б) ') Подробнее см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
