Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 87
Текст из файла (страница 87)
/,Уз(х) соя (Ьхх)с)х = 1 — соя ( — ), о / хбв(х) соя(Ьх )Йх с / х 1в(х) я1п(Ьх )гзх / зз(х) гйп(Ьх )с)х = яш ( — ), о = — я1п ( — ), 570 Ответы, уиазаиия и уеигеиия Указание. Нужно воспользоваться тем, что') 1 'т — соя)е(х — хв) сй = б1х — хе), а также тем, что б1х+ хв) = О, если х и хв ) 0 одновременно. Выражение 12) получается из 11) заменой х на х — ~, ..., 1 на 8 — т, что за~о~~о, так как уравнение )ге) = а Ьз(з ~~~ар~а~~~о о~~оси~е~~~о г зтои замены. 114. ге1х, у, г, С, )1, („1 — т) = ) ° (е —:-'') .
6- - -''), (1) а г а/ 11 — т) г — —, ав 6 (1 — т— если в исходном уравнении перед сги стоит знак илию,и ге1х, у, г, С, )1, („ 1 — т) = т 11 — т) г — —, ав — --, а) б(е т с 11б г). геЕх, у, г, е, )1, т, 1 — т) = ° = ~(* — ()' + (р — ))' 'в — ) —" ))См. )7, .271).
г) Как и в случае задач 113 и 114, сначала получается функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса, имевшего место в момент 1 = О в начале координат, а затем делается переход к импульсу, имевшему место в произвольной точке в произвольный момент Е = т.
если в исходном уравнении перед сги стоит знак минус; 1х т)г + (у .,1)г + (г т)г Указание. Задача решается аналогично предыдущей; сначала получается выражение для функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, имевшего место в начале координат х = у = г = 0 в момент У = О, а за,тем, как и в решении предыдущей задачи, делается переход к более общему случаю мгновенного сосредоточенного импульса в точке ч, )1, (, в момент т.
Функция )О при — со<х<0, ) 1 при 0<х<+оо связана с функцией б1х) соотношением ав(х) = б1х). Гл. Уй уравнения еиперввличеенвев типа 116 ). 27(х, гр, х, ~, 71, ~, 1 — т) = сЬ 7' с (1 — т)г —— 7'Р- ! — ' аг )' ° = 7(* — 7!'7Ч7 — 72, 27(х, У, ~, 71, 1 — т) = 7П сйп ха(е — т) )~ —. 1()2 12 1г ) г -~-вв 4 к, тпгех . плу . пгпС . пх71 — яш сйп яш 01п 1712 1! 12 1! 1г пни=2 г г ха 12 12 дге ) дге =О, дх ~ —.о дх 2) для второй краевой зада!и, когда дге дге =О, др г=о др 2=7, 1 — т 27(х, Р, ~,71,1 — т) = — + 171 Ч-7Х 1 + — ~ я„, псов 1 2 т,. в=о т.~.!!то пгхх 777!и пгхС 77лд соя — соя соя х й 12 1! 1г 7П П 1! сйп ха(1 — т) — + —., 1г х г па ~/ 1г 12 г где е„, и = 2 при тп и, = О и я„, „= 4 при т.п у'.
-О; 3) для третьей краевой задачи, когда дге — — одге~ = О! дх =о "=о — +3727(, = О, дн 2 — ~! д ) — 1 — огге! = О! др у=о ! 0 — +е3227) 2 = О, дн дд 2=7, Р ~2 !) См, вторую сноску на прелыдугцей странице. если перед с и в уравнении стоит знак плюс; если же в уравнении перед сги стоит знак минус, то в ответе нужно сй заменить через соя. 117. Сначала рассмотрим прямоугольную мембрану. 1) для первой краевой задачи, когда 27 = О на границе прямоугольника, 572 Ответы, указания и решения зе(х., у, С, О, г — т) = яп (и х+ у ) вш Ое„у+ ф„) вш (д„с + х„) яп (и„ц+ ф,) т,и=п П + (о1Д+р,„Ио2+Д)1 1 (озрз-ее,„)(о, -к~у,)~ ~ 'Г2+ М +дй)ОУ2+дй ) 1 ~ (аз+из)Я+ 4) яп1а(в — т),( рз + не) х а т/р~з + иев где д положительные корни уравнения оА) р — — = с1~12р, +)1 и / ии -.
положительные корни уравнения (и — ' ') =с1К)зи, уЗп = агсгя — ". ~р = агсся —, Приведем ответ для круглой мембраны: 1) в случае первой краевой задачи, когда зе~„— „, = О, м~т, ез, т', ~р', 1 — т) = где р положительные корни уравнения з„(р) = О, (п) )е2 при п=О, ) 1 при пфО; дзе 2) в случае второй краевой задачи, когда — = О, ~=~а зе(т, 22, т', ез', 1 — т) = ад'"'е п(уз — уз ) зш те где р„" положительные корни уравнения,1„(р) = О и га принимает (и) те же значения, что и в случае 1): 573 Гл. У1.
Уравнения гиперболического типа а ~ 3) в случае третьей краевой задачи, когда —,~ +оое~ = О, дт ~с=то е=ео ое(т, ~о, т, ~р', 1 — т) = где р„~ положительные корни уравнения рй„(1е) + оо'„(р) = О, а е„ принимает те же значения, что и в случае 1). 118. Выполняя четные отражения, получим, отправляясь от функции влияния для неограниченной плоскости, ое(т., ув, то, еоо, 1 — г) = ( ) оо Š— т —— сЬ с (1 — т)г — ",, + е:з :—.е:7ее "(- -'-') ,%о:К-Ъ, г 1 2яо ~ о г 119. а) Решение первой задачи иее = а~еззихс и+1(х, у, 1) в области С при О < 1 < -Гоо, (1) и/ = ув(х, у), ие!, = ф(х, у) в области С, (2) и!Г = Р(Х, У, 1) на кОнтУРЕ Г пРи О < Г < +СО (3) выражается с помощью функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса ое = яе(х, у, ~, у, 1 — т), удовлетворяющей граничному условию ое~г = О, следующим образом: и(х, у, 1) = Ц ~у(ч, 9)ле(х, у, ~, у, 1) + ф((, ц)ое(х, у, с, ул е)) йс йу + о + ~йт~~~~Я Нь т) ое(х, У, 4, и, 1 — т) й~ йу— о о — аз ~йт~р», у, т) ( ' у' ' "' ) йв.
(4) 574 Отпееты, указания и решении Здесь д д д — = сов(п, ~) — + соз(п, д)— дп ' дб ' дд — =О, дп г выражается следующим образом: и(х, д, У) = 1т + 1з + оа~йт~фД, и, т)тт(х, д, С, О, ~ — т) д~ ф, (4') о г где 1т и 1я означают первое и второе слагаемые в формуле (4). в) Решение третьей краевой задачи, отличающейся от задачи а) лишь граничным условием ~ — -~- аи1 = р(х, д, у), (3н) с помощью соотвстствуюьцей функции влияния гб удовлетворяющей граничному условию ~ — +аее] =О, выражается следующим образом: и(х, у, Х) = 1д + 1з + ~Р~т1т~фД, д., т)л~яхб д, ~, д, е — г) сЬ, (4н) о г где 1г и 1з имеют те же значения, как и в (4'). Указание.
Переходя в уравнениях д'ее г = а Ьяеехс ее де ту (5) , = и Ьяихс и+ ~(х, у, е) дге ту (б) от х, д, д к ~, 55 т и используя начальные условия для те(х, д, ~, 55 1 — т): ее~т- = О, тее)е = б(х — ()д(д — д), нетрудно получить с помогцью формулы Грина — Остроградского, что означает производную по внешней нормали.
б) Решение второй краевой задачи, отличающейся от задачи а) лишь граничным условием д(х д т) (3') с помощью соответствующей функции влияния хб удовлетворяющей граничному условию 575 Гл. у!..уравнения гиперболического типа и(х, у,1) = = Ц [и(с, тй 0)вег(х,. У, с, О, 1) + иЯ, и, 0)ве(х, у, ~, и, 1)~ де до + а + ~дтЦуЯ и, т)гг(х, у, 6, у, 1 — т) 4 дт1+ о о +")в ) [ а гв.п. — некио " '- о г ) дм(х, у, б, и, 1 — т) дп на 1 б (1 — т — -) ге(х, у, г, б, еб 1 — т) = в уравнение д н ,, =аЬзи дт еос на и(Е, тб т), нужно вычесть одно из друРнс. 55 гого и результат проинтегрировать по объему й за вычетом ыв и по т от т, < 0 до тз > О, считая и и г" как-либо продолженными для отрицательных значений й б) Функции влияния непрерывно дейстпвутоизих сосредоточенных иелпочников.
~('--) 121. ов(х,у г,хо,уо,го 1)=, где (х — хо) + (У Уо) + (г — го) . 122. 1 1 У() ° ,:ч -тт-., о 0 т при 1> —, а а'(х~ У хо~ Уо~ 1) = при 0<1< —, а где т = (х — хо)з -Ь (у — уо)з. Для этого нужно уравнения (5) и (6) после перехода к Е, О, т умножить соответственно на и((, т1, т) и н(х, у, б, т1, 1 — т), вычесть одно из другого и результат проинтегрировать по Е, и по области С и по т от нуля до й 120. Указание. Пусть область П ограничена поверхностями Яз и Яг (рис.
55). Опишем, как из центра, из точки (х, у, г) сферу Я, радиусом е; ограниченный ею объем обозначим вов. Умножив уравнение д и — г — — з гззи+1(т„пб ~, т) д" 576 Ответы, указания и решении ( --) г) ~~,' а 4ггав 1 е1Г(г) 2 е1г. 123. где (( ) ) (( ) )(( ) ) а гь положительные корни уравнения г'Я = О, 1 е1Р(г) ( ш„) где ш„проекция скорости источника на направление радиуса-векг1г'1г) тора г, проведенного из точки наблюдения в источник; поэтому е1г может обращаться в нуль лишь в том случае, когда скорость движения источника иг > а: следовательно, лишь при этом условии уравнение г 1г) = О может иметь более одного корня. Если источник движется прямолинейно с постоянной скоростью и, то, направляя ось х по направлению движения источника, получим: а) при и < а, т. е. при М = — < 1, а 1 М(х — ггпу) 4- (х — ив)з 4- (1 — Мг)(уг 4- е') а(1 — Мг) йг1х, у, е, е) — —, 4иае ие)е .г е1 Мг)гуг ..
б) при и > а, т.е, при М = — > 1, а аг1хг У, е, е) = 1 М(х — ив) + 1х — ие)г — 1Мг — Ц1уе Е ег) а1Мг — Ц ,1иаг гх, г)е гМе Цг г 4 г) 1 1+ в Мех 1) 4 гх,, г)г еМг Цгуг 4 г) а1Мг — Ц 4яаг 1х — ив)г — 1Мз — Ц1уг + ег) Замечание. Этим равенством решение определяотся внутри кругового конуса с вершиной в 0', осью которого служит отрицательная полуось х и отрезок 00' 1см. рис. 56); с1яп = Мз — 1.
В этом конусе корень 1х — и1)з — 1Мз — 1)1уз + ез) действителен. Если источник начал действовать в момент времени 1 = О, когда он находился в точке О, то областью, в которой вызванные им возмущения могут быть отличны от нуля, является часть пространства, ограниченная упомянутым конусом и частью сферы радиуса а1 с центром в точке 0 (причем точка 0 лежит внутри этой области, а конус касается сферы). 577 Гл. У1. Уравнения еиперооличееноео типа Рис. 56 (х о1)2 — (М2 — 1)(уг 4- к2) М' — 1 В точке Аг источник находится в момент 17 — — 1 — —, а в точке Аг а он находился в момент а Если мощность источника постоянна и равна д, то: о а) при и ( а, т. е. М = — ( 1г а 1 аг(х, у, 2, 1)— 4ггаг (х ог)г 4 (1 Мг')(уг 4 ег)' М(х — ое)— 2 — 72— б) при и > а, т.е. М = — > 1, 1 аг(х, у, 2, 1)— 2ггаг (х — ог)г — (Мг — 1)(дг -Ь ег) Указание.
В интеграле, выражающем решение уравнения (1) при начальных условиях (2) — (х е)2 + (гу 71)2 ( г)2 г где [Ф] означает, что в функции Ф аргумент 1 заменен на 1 — —, це- а лесообразно перейти к новым переменным интегрирования о, )г, у: о = С вЂ” [Х), )г = гу — [)г), у = ~ — [Л); 37 Б.М. Будок и др. В точку «наблюдения» А(х, у, 2) в момент 1 при и > а приходят возмущения, посланные источником из двух положений: Аг и Аг. 1гасстояния АгА и А2А равны М( И) + (х о1)г (Мг 1)( г г г) АгА = гг —— Мг 1 578 Ответы, указания и ренгення 12Я и б) при этом вместо определителя ' ' целесообразно пользоваться 1цо, бг т) Мо А7) определителем Хз(5, у, г,) ' 124. Источник находится в начале движущейся вместе с ним системы координат О'т'у'я', расположенной, как указано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
