Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Для определения потенциала возмущенных скоростей, вызванных влиянием стенки, получаем краевую задачу (в лагранжевых координатах) 0 < у < +со, М = —, (1) О (1 — М )и„+и„„= О, — оо < х < +ос, где а скорость звука в газе, и (х, 0) = 11еогсоэогх, — со < х < +со. (2) а) В случае дозвуковой скорости потока 1 — М > 0 уравнение (1) является эллиптическим, Ь'е и(х, у) = — е " сов агх.
чгà — М б) В случае сверхзвуковой скорости потока 1 — Мг < 0 и(х, у) = — э|пег (х — у у'Мг — 1). /Яг Указание. В эллиптическом случае решение следует искать в виде и(х, у) = и|(х) и |у), а в гиперболическом — в виде распространяющихся волн, учитывая, что в гиперболическом (сверхзвуковом) случае малые возмущения распространяются вправо от источников возмущения. Граничное условие (2) получается из точного граничного условия (.."".,)„.. = (Й)„... пренебрежением малых величин высшего порядка. Замечание. Сопоставляя решения в эллиптическом и гиперболическом случае, мы видим, что возмущения, вызванные волнообразной стенкой по мере удаления от нее (роста у), в эллиптическом случае быстро затухают, а в гиперболическом случае сохраняют свою амплитуду.
40. 0<1< а ге — |' <1< га -Ь г а а <1<+ос, а 0 < г < го, я0'о при ~>|г, 1) = Г|о ( — +агсэш"' ) |2 г при при 523 Гли 'е7. Уравнения гиперболического типа 0<1< а г — го <1< т-его а а г -'е го <1<+со, при /я го — аг 1 Но ~ — + агсвш ( при 12 г ф(г, 1) = О при го < г < +со. Указание. Полагая и = гсовег, у = гвшр, о = совВ, )г = = вшВ, выполнить сначала интегрирование по В от О до 2я, а затем сделать надлежащую замену переменного интегрирования; это приведет к выражению (1) условия задачи.
41. У к аз а н и е. Выполнить интегрирование сферически симмет- Л(аг — г) 1г(аг -ь г) ричных волн и по г от †до +со, а затем г сделать надлежащую замену переменного интегрирования. 42. Решение. Ищем решение уравнения Ви гб 1аЛ г г в виде и( г, 1) = е егмг (г): это дает и(г., 1) = Ае ы~7о1кг) +ВНо ~11ег)е ™', й = —, а А и В произвольные константыг), иг(г, 1) = Ае еиеЯД1ег) стоячая монохроматическая цилиндрическая волна, не имеющая особенности при г = О, при больших г Г2 сов й я иейг иг(г, 8)  — 1п(йг)е при больших г Г "(В --в--) иг(г, 1) В ~/— и Интегрируя плоскую монохроматическую волну ( я сов В -ь увтВ) ~ по углу В от О до я, .получим йг(г, 1) = е' ' ' ~е'ь" е "о "~йВ = 2гге ' ',1о(Ь), о г) 0 функциях,1о н Нор см. ~7, с.
510, 636, 645, 719) н др. иг(г, В) = Ве 'а" Но 1Яг) распространяющаяся, «расходящаяся» — ОО монохроматическая цилиндрическая волна, имеющая особенность при г = О. При малых т 524 Ответы, указания и Решения Если же выполнить интегрирование в плоскости комплексного переменного 0 по пути Ь (рис.
51), то мы получим йггг в) = е ' ~е'~"'~' Йд = яе ™Нв' ~(йг). 44. Р еще ние. Примем за плоскость раздела двух сред плоскость я = О (рис. 52). Величины, относящиеся к полупространству я ( О, Рис. 51 Рис 52 отметим индексом 1, а относящиеся к полупространству з ) О -. индексом 2. Обозначим падающую, отраженную и проломленную волны соответственно через А ныгг — ягигяг угг = ге' а* Ав г1гггв — йги,вг гр =,е д гг-я,иг') грг ге вгг вгг в вгг Здесь йг = —, й* = —. и йг —— — -- волновые числа, игг, иг*, ыг "-- аг а,* а частоты падающей, отраженной и преломленной волн, аг и аг -- скорость распространения волны в первой и во второй средах; пы п*,, пг единичные векторы в направлении распространения соответствующих волн;вектор г = 1х, и, з).
Па плоскости х = О должны выполняться граничные условия ~) РгЬ'г +'Рг) = РгУгг пРи Я = О, (1) дв дя дя 12) Будем считать вектор пг параллельным плоскости тОз, т, е. и, = 1созоы О, сов "й). ') См. ответ к задаче 3. Гл. ) й Уравнения гиперболического типа 525 Запишем теперь в координатной форме векторы и, 'и иг.. пг — (соя ог > соя улг соя уг ) иг — (соя ог соя улг~ соя уг ) Тэк как фУнкЦии т; ео'с, ео', енес, пРи Условии, что Ры Рг, Рг различны, линейно независимы, то подстановка уы ~р*, ~рг в гранич- ные условия (1) и (2) приводит к равенствам огг = евг = огм (3) й,* = — ' = й, = — ', аг аг сояеег = соя)3г = О, (4) т.
е, единичные векторы и,* и пг также параллельны плоскости тОг, Йг соя ог: Йг соя о~: йг соя ог1 (5) откуда получаются известные соотношения между углами падения, отражения и преломления: ог = — о', поскольку отраженная волна, как и падающая, лежит в полупространстве г ( О, и совог вг аг аа1 соя ог лг ~ аг аг Если Равенства, полУчающиесЯ в РезУльтате подстановки гг, угу и ~Рг в граничные условия (1) и (2), сократить на общий переменный мно- житель, то получаются соотноупсния для определения амплитуд от- раженной и преломленной волн ргАг -ь руА; = ргАг, йг сов УгАу + йг соЯ7г А*, = йг сов 7гАг., из этих уравнений, используя равенство сову* = — соя уы получаем Рг)ег соя уг — рг)ег соя уг Аы рг)ег соя уг + ргйг соя уг 2рг)е1 соз тг г— 1 рг)е1 соятг + ргрг соя'уг 45.
Обозначая через пы и,'„пг, как и в предыдущей задаче, единичные векторы в направлении падающей, отраженной и преломленной волн, получим (рис. 53) соя ог ог у ег с с Ог= — Оы ' = — =Ргг=~~=, из=, Ог= сояог иг '1( ег ' иеее' иеег ' где с --- скорость света в вакууме., ег и ег . диэлектрические постоянные первой и второй сред (мы считаем )гг = )гг = 1). У к а з а н и е. Плоскую электромагнитную монохроматическую волну можно представить ввиде Л'.
я)0) Д Е вЂ” Ьпс) О О)0) 1М Я ~е) е, = е Затем нужно воспользоваться условиями на границе раздела двух диэлектриков ). ') См. (7, с. 441-442). 526 Ответы, упования и решения 46. Представляя падак1щую волну в виде 1) Е1 = (Еге7("'- ""); 0; 0), Н* = (О; 177е1 Еге'("' "1; О), получим Е,* = (Е'есм7 1' ); 0; О); Ег — — (Егеды7 ~в'7; 0; 0); — ег Е дывв 17 в). О) Нг — — (О; — 177ег гЕге'("' "); 0), где 2 lвг Ег = Ег, пш = )/=. ~/„ Е" = '1Е, 1= 1, 1-~- п17 9 3.
Метод разделения переменных а) Однородные среды. 47. Решением краевой задачи и11 — — аг(и„+ и„, ), 0 < х < 11, 0 < у < )г, () < 1 < +со, и~ =о = и~ =, = и! =о = и) , = О, (1) (2) и(х, у, 0) = Аху(11 — х)((г — у), и1(х, у, 0) = О, 0 < х < 11, О < у < 1„ (3) является а(х, у,1) =,' х (2т+ Цях (2п+ Цггу в!и сбп (-+ )в( и+ ) т, в=о 48. Решением краевой задачи и17 — — и (ива+ива) 0<х<11 0<у<)г О<1<+ос (1) () и(х, у, 0) = О, и1(х, у, 0) = Аху(11 — х)(Хг — у), О < х < 11, О < у < (г, (3) является 7 16А111~ (2т+ Цях . (2п+ Цяу .
l в1п вт в1п наг "Х: т, п=о (2т + Цв(2п+ Цв ') См. (7, с. 499-509). 1. Краевые задачи, не требуюгцие применения специальных функций. 527 Глн уй уравнения гиперболического типа 49. и(х, у, 1) = х 4К нар111г гол хо . тгох . пп"ро . пп"р в1п яа1 —, + —,, + 1г 1г г т, п=1 и(х7 у, 1) = ~~7 А и (в1по71 — яшог „11 ап ' вш ' '1, (4) 7п, п=г где 11 17 4 (71х /АИИ(х, )ыптпхвг 71ну у~у, (б) ,„/',/' о о (6) при условии, что частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот о7 ~ о7 „. Если же 7о = шт,п, (Резонанс), то .~-777 и(х7 У, 1) = ~ А и (Яши71 — Яшогпоп11 Яш ап и Р + о77п„т ~ 11 4 т, п=1 тото, пФпо + Ато,по(яшо71 — огясояо71) ап " вш по™7 (7) 1 1г 1) СМ, РЕШЕНИЕ ЗадаЧИ 101 ов 3 ГЛ.
П. где р --. поверхностная плотность массы. Указание. Можно найти сначала решение, предполагая импульс К равномерно распределенным по окрестности хо — в < х < < хо + в, 17п — в < у < уо + в точки (хо 7 уо), а затем перейти к пределу при в — > 01). Можно также воспользоваться импульсной дельта-функцией Дирака и сформулировать начальные условия следующим образом: К и(х, у, 0) = О, иг(х, у, 0) = — б(х — хо)б(у — уо), Р 0<х<11, 0<у<1г.
Второй путь гораздо быстрее приведет к цели. Пользуясь дельта- функциями, мы выбираем множитель при произведении дельта-функций так, чтобы суммарный импульс, передаваемый мембране, был равен заданному. 50. Решением краевой задачи ии — — а (и, + иоо) + А®(х, у) яшоЛ., А7ог(х, у) = — А(х, у), (1) Р и! =о и~ =1 и! — о и! 1 -— О, (2) и(х, у, О) = О, иг(:в, у, 0) = О, 0 < х < 11, 0 < у < 1г, (3) является 528 Ответы, упования и решения где А „определяется по формулам (5), а 7, 1Пгш, 11 ~г о а Замечание.
Если частота шг „„, является кратной, т.е. соответствует кратному собственному значению, то вместо одного резонансного члена появится группа резонансных членов указанного вида. 51. Если частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот мембраны, т.с. ог ~ иг „, гпг и = 1, 2, 3,..., то и(х, у., 1) = е Я Япше — вепш,ппе 4А 'г7 ш„п, ' '"" . тоха, птУо . гпггх . титУ яп яп яп яп рг 717 Ю „— Ю Ь! Ь 1 !г т,п=1 Если же иг = ш„„п, (Резонанс),то 4А и(х,у,у) = х ргггг яп оИ вЂ” — в!и ш „1 г г ш „" .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
