5. Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли (1124130), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

. , an−1 , an = 1}с операцией · образует мультипликативную подгруппуH = (T ; ·) порядка n группы G = (S; ·).Мультипликативная группа называется циклической, есликаждый из ее элементов является некоторой степеньювыделенного элемента группы, который называетсяобразующим элементом группы.Группа с образующим элементом a обозначается как < a >.Группа H = (T ; ·) из п. 1 является циклической подгруппойгруппы G = (S; ·) с образующим элементом a ∈ T , т.е.H =< a >.ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиПодгруппы2. Найдем группу H перестановок вершин правильноготреугольника при его вращениях в плоскости, переводящих егов себя.Рассмотрим правильный треугольник и будем поворачивать егопо часовой стрелке:1uA AAAA3 uAu2поворот на угол 0:поворот на угол 2π3 :поворот на угол 4π3 :π1 = e = (1)(2)(3);π2 = (123);π3 = (132).ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиПодгруппыПолучаем группу вращений вершин правильного треугольникав плоскости H = ({π1 , π2 , π3 }; ◦), |H| = 3.Она является подгруппой симметрической группы перестановокS3 .ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиТеорема КэлиТеорема 9 (Кэли).

Каждая конечная группа изоморфнанекоторой подходящей подгруппе симметрической группыперестановок Sn .Доказательство. Пусть G = (S; ∗) — заданная конечнаягруппа, |G | = n, и S = {g1 = e, g2 , . . . , gn }.Для каждого элемента gi ∈ G построим соответствующую емуперестановку πgi ∈ Sn по правилуg1g2...gnπgi =,gi ∗ g1 gi ∗ g2 . . . gi ∗ gnилиπgi =12...πgi (1) πgi (2) .

. .где πgi (j) = k, если gi ∗ gj = gk .nπgi (n),ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиТеорема КэлиДоказательство.1. Сначала покажем, что такое определение задаетперестановки.От противного: пусть это не так, т.е. для некоторого gi ∈ Gнайдутся такие элементы gj ∈ G и gl ∈ G , gj 6= gl , чтоgi ∗ gj = gi ∗ gl .Но тогда по правилу сокращения (теорема 3) верно gj = gl —противоречие.Обозначим полученное множество перестановок как T , T ⊆ Sn .ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиТеорема КэлиДоказательство.

2. Теперь по теореме 8 покажем, чтопостроенное множество перестановок с операцией композицииобразует подгруппу симметрической группы перестановок Sn .Выделим любые элементы gi , gj ∈ G и рассмотримперестановку πgi ◦ πg−1.jТ.к. G — группа, верно gj0 ∈ G .Тогда для любого элемента x ∈ N получаем)(x) = (πgi ◦ πgj0 )(x) = πgi (πgj0 (x)) = πgi ∗gj0 (x).(πgi ◦ πg−1jТ.к. G — группа, верно gi ∗ gj0 = gk ∈ G , откуда πgi ∗gj0 = πgk .Значит, πgi ◦ πg−1∈ T.jСледовательно, H = (T ; ◦) — подгруппа группы Sn .ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиТеорема КэлиДоказательство. 3.

Теперь покажем, что группы G = (S; ∗) иH = (T ; ◦) — изоморфны.Рассмотрим отображениеϕ : S → T , g 7→ πg ,которое элемент g ∈ S переводит в элемент ϕ(g ) = πg ∈ T .1) Отображение ϕ взаимно однозначно.2) Если gi , gj ∈ G , тоϕ(gi ∗ gj ) = πgi ∗gj = πgi ◦ πgj = ϕ(gi ) ◦ ϕ(gj ).Т.е. отображение ϕ сохраняет операцию.Значит, оно является изоморфизмом групп G = (S; ∗) иH = (T ; ◦).ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиТеорема КэлиДля конечной группы G = (S; ∗) построенная в доказательствеизоморфная ей подгруппа H = (T ; ◦) называется левымрегулярным представлением Кэли.Найдем левое регулярное представление Кэли для группы изтрех элементов из рассмотренного ранее примераS = {e, a, b};∗eabeeabaabeb∗ 1b1 1, илиe2 2a3 322313312Тогдаπe = (1)(2)(3);πa = (123);πb = (132).Получаем группу вращений H правильного треугольника вплоскости, являющуюся подгруппой группы S3 .ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыЦикловой индексПусть G = (S; ◦) — подгруппа симметрической группыперестановок Sn .Цикловым индексом группы перестановок G называетсямногочлен n переменныхZG (t1 , .

. . , tn ) =1 X λ1 (π)λ (π)t1· · · · · tn n ,|G |π∈Gгде λ(π) = (λ1 (π), . . . , λn (π)) — тип перестановки π.Теорема КэлиГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиЦикловой индекс1. Найдем цикловой индекс группы H вращений правильноготреугольника в плоскости.Для каждой перестановки ищем ее тип:π1 = e = (1)(2)(3), λ(π1 ) = (3, 0, 0);π2 = (123), λ(π2 ) = (0, 0, 1);π3 = (132), λ(π3 ) = (0, 0, 1).Замечая, что |H| = 3, получаем цикловой индекс1ZH (t1 , t2 , t3 ) = (t13 + 2t3 ).3ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыЦикловой индекс2.

Найдем цикловой индекс симметрической группыперестановок S3 .Аналогично находим типы всех ее перестановок:π1 = e = (1)(2)(3), λ(π1 ) = (3, 0, 0);π2 = (1)(23), π3 = (13)(2), π4 = (12)(3),λ(π2 ) = λ(π3 ) = λ(π4 ) = (1, 1, 0);π5 = (123), π6 = (132), λ(π5 ) = λ(π6 ) = (0, 0, 1).Порядок группы |S3 | = 3! = 6.Поэтому ее цикловой индекс1ZS3 (t1 , t2 , t3 ) = (t13 + 3t1 t2 + 2t3 ).6Теорема КэлиГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиЗадачи для самостоятельного решения1.

Построить цикловой индекс группы перестановок вершинправильного треугольника при его вращениях в пространстве.2. Построить цикловой индекс группы перестановок вершинквадрата при его вращениях в плоскости.3. Построить цикловой индекс группы перестановок вершинправильного тетраэдра при его вращениях в пространстве.4. Найти левое регулярное представление Кэли группыG = (S; ∗), где S = {0, 1, 2, 3}, операция ∗ — это +(mod 4).ГруппыСимметрическая группа перестановокПодгруппыТеорема КэлиЛитература к лекции1.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. Гл.1, с. 12–23.ГруппыСимметрическая группа перестановокКонец лекцииПодгруппыТеорема Кэли.

Характеристики

Список файлов лекций