А.Т. Фоменко - Программа экзамена по дифференциальной геометрии и топологии (1124110)
Текст из файла
Программа экзамена по дифференциальной геометрии и топологииЛектор — А. Т. ФоменкоV семестр, 2004 г.1. Тензор как полилинейное отображение. Тензорное поле на многообразии. Примеры тензорных полей измеханики: тензор деформации сплошной среды, тензор напряжения, закон Гука. Алгебраические операциинад тензорными полями.2. Симметричные и кососимметричные тензорные поля. Кососимметрические тензоры максимального ранга.Их связь с римановым объемом на многообразии.3. Внешние дифференциальные формы. Внешнее умножение формы.4. Внешнее дифференцирование внешних форм.
Замкнутые и точные формы. Группы когомологий многообразия. Примеры вычисления.5. Векторные поля и замкнутые, точные формы. Лемма Пуанкаре для случая плоскости. Бездивергентныеи потенциальные потоки жидкости. Дивергенция и изменение объема области.6. Операция «звездочка» на формах в евклидовом пространстве и ее свойства. Примеры операции «звездочка» на плоскости и в пространстве.7. Интеграл внешней формы по подмногообразию (по поверхности).
Ориентация, индуцируемая на краюмногообразия. Формулировка теоремы Стокса.8. Доказательство теоремы Стокса.9. Частные случаи формулы Стокса на плоскости и в трехмерном пространстве (Гаусс, Грин, Остроградский).Следствие из теоремы Стокса: теорема Коши о вычетах.10. Введение ковариантного дифференцирования (связности) в криволинейных координатах в евклидовомпространстве. Появление символов Кристоффеля.11. Вычисление явного вида операции ∇ на векторах, ковекторах и линейных операторах в криволинейныхкоординатах в евклидовом пространстве.12.
Общее определение аффинной связности (ковариантного дифференцирования) на гладком многообразии.Символы Кристоффеля, тензор кручения, симметричные связности.13. Алгебраические операции ковариантного дифференцирования.14. Симметричные римановы связности.
Теорема существования и единственности.15. Параллельный перенос в аффинной связности. Уравнение параллельного переноса. Геодезические. Формулировка теоремы об общих свойствах геодезических на римановом многообразии.16. Параллельный перенос в римановой связности. Перенос вдоль геодезических. Двумерный случай.17. Параллельный перенос и геодезические на плоскости, конусе, сфере, плоскости Лобачевского, на торе.18.
Теорема об оценке сверху размерности группы изометрий риманова многообразия. Следствия: описаниегрупп изометрий плоскости, сферы, плоскости Лобачевского.19. Тензор кривизны Римана. Координатное и инвариантное определения. Их эквивалентность.20. Алгебраические свойства тензора кривизны (теорема о симметриях тензора кривизны). Тензор Риччи,скалярная кривизна. Пример из физики: уравнения Эйнштейна.21. Теорема о скалярной кривизне двумерной поверхности и гауссовой кривизне.22. Критические и регулярные значения гладкого отображения. Теорема Сарда (без доказательства). Степеньгладкого отображения.
Гладкая гомотопия.23. Теорема об инвариантности степени гладкого отображения многообразий при гомотопии и независимостистепени от выбора регулярной точки.24. Примеры вычисления степени. Теорема алгебры о корнях полинома. Теорема Брауэра.25. Степень отображения и интегралы от внешних дифференциальных форм максимальной степени. Степеньгауссова отображения.26. Интеграл от гауссовой кривизны по замкнутой поверхности. Связь с родом поверхности (теорема Гаусса –Бонне).27. Индекс векторного поля и степень отображения.
Вычисление индексов векторных полей. Индекс векторного поля в ограниченной области евклидова пространства.128. Теорема о существовании нуля гладкого векторного поля на двумерной сфере.29. Вариационные принципы. Функционалы, их экстремали и уравнения Эйлера – Лагранжа. Примеры измеханики и физики.30. Функционалы длины и действия кривой. Геодезические как экстремали функционалов длины и действия.Формулировка теоремы о геодезических, как о кратчайших.31. Функционал площади двумерной поверхности в трехмерном пространстве.
Уравнения Эйлера и теоремаоб экстремальности минимальных поверхностей для функционала площади.Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
