Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1123892), страница 82
Текст из файла (страница 82)
(8.8) Для пространственной турбулентной струи кругового сечения связь радиуса сечения струи со скоростью частиц на средней линии будет представляться в виде б и,в — соп51. (8.9) На основании теории размерностей и гипотезы подобия было сделано предположение о том, что ширина струи возрастает пропорционально расстоянию х от отверстия или от особой точки, названной полю(ом струи, и зто предположение нашло хорошее подтверждение в большинстве случаев. Таким образом, можно положить: Ь=сх, (8.!О) тле с представляет собой безразмерную постоянную, характеризующую степень турбулентности рассматриваемой плоской или пространственной струи и определяемую только из опыта.
На основании (8.8), (8,9), (8.10) можно заключить, что скорость движения частиц по средней линии плоской струи будет убывать ') Абра мович 1. Н., Турбулентные свободные струп жндхостен и газов, Госэнергопэлзц 1948. СВОБОДНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВНЖРНИЯ обратно пропорционально корво квадратному ив расстояния х, т. е. "ж— (8,11) а скорость движения частиц по оси пространственной струи кругового сечения будет убывать обратно пропорционально первой степени этого расстояния, т. е. и„, = —. (8.12) Таким образом.
основные характеристики плоской и пространственной турбулентной струи онределяются с точностью до постоянных равенствами (8.10), (8,11) и (8.12). Следовательно, к лифференциальным > равнениям (8гд) для плоской струи необходимо обращаться только для определения распределения проекций скоростей по сечению струи с учетом граничных условий. расчеты в отдельных случаях покааали, что правая часть первого уравнения (8.3) без большой ошибки может быть заменена линейным слагаемым, содержащим лишь вторую производную от искомой функции. Для этого достаточно предположить, что коэффициент турбулентного объема А в (8.1) остается почти постоянным при переходе от одной точки к другой в том же сечении струи, и заменить произди водную — в (8.2) через среднее значение, равное отношению разду ности скорости на средней линии струи и скорости на грнице (из — — О) к ширине струи, т.
е. ди нж ду=а' (8.13) Путь перемешивания 1 можно считать пропорциональным ширине струн, т. е. 1 — Ь. (8.14) а уравнения (8.3) примут вил и д- 1-од — — — Ии„,(х) Ь(.х)д —,~, ди ди ден дх у "' ' дуя' 0 дх ду (8.16) Если ввести функцию тока, полагая де дф л —.- — ', и =. ду' ' дх' При этих лвух дополнительнь!х предположениях коэффициент турбулентного обмена будет представляться в виде А =;и'1= йриж, (8.!5) (гл. Нн тУРБулентнОе движение (8.19) Так как (Гз)" =- 2ГЯГ+ 2Г', то после двукратного интегрирования уравнения (8.19) получим, Г' = —,— ', Гэ+ С, Ч+ Се (8.20) Постоянные интегрирования получим из граничных условий: 1) функция тока ф на средней линии обращается в нуль: при т) = — 0 Г(о)) = О, 2) продольная составляющая скорости и принимает экстремальное значение гга средней линии струи.
при о) = 0 — = О, Го(ч)) = О, ду и 3) значение продольной составляющей на средней линии струи обоаначается через иян т. ел при о) =- 0 и =- иян Г'(т~) = 1, При выполнении перечисленнь|к условий уравнение (8.20) примеч пнд Г'. — 1 — -- Г'з. чя то при использовании (8.6), (8.10) и (8.11) будем иметь: У и = ~ и ду = Ье,„( /(т1) дт, == Ьи Г(ч)) —.— Осх' Г(т~). (8.17) о о При этом значение функпии тока на средней линии положено равным нулю. Выполняя днфференпирование по коорлинатам х и у, получим: о = — — = — ~~г ~ — х 'оГ(т))+ х'-"Г'(т~) — '~ = дф дх (2 ~1 (2 ==- — 8--+ Г(н) — ~Г'( )~.
и = — = — = /)х-"Г'(т), — = — 8х-Т ~ — Г'(т))+ гГ' (г)1, З х Г ( Ч ) 1~ Г ( ) ~ Г ( ) 1 Таким образом, первое уравнение (8.10) булез иметь вид Г"Г+ Г'о = — — Г"'. с 4уу своводныа туевулантные ляижания Если провести интегрирование и учесть условия !) и 3), то получим; /а 2~гУ а — 1: илн Р.=-2 ~/ йг( у ~ т)) (8.21) Используя (8.18) н (8.21), получим следующие выражения для продольной и поперечной составляющей вектора скорости осредненного течения в рассматриваемой плоской струе: =- -()= - е(-,'1~'::,') и =- — гиж) —, Р()) — ))" (т!)~ = Г! =-.~'«а(~К'ь )-К'-'- (2~'; )1 (8.22) Чтобы исключи!к из рассмотрения постоянные й и с, будем относить расстояния произвольной точки в сечении струи от средней линии к расстоянию той точки от оси, в которой продольная составляющая равна половине скорости на самой средней линии, т е.
у=1', и==.—,им=и,„сИ ( — „1, — — ). ГХу, При таком предположении будем имет!и сИ(, — „)=Г 2, — — ж 0,88, У 2к угас у 2 )' а ' !'' г) Т о ! ! ш !си !у., Хензсй. 1. Апй. Л!зщ и. Л1есн., г, 1у, !926. Зго решение дано в книге: лов панский д. Г„лэроднначпка н~гра1н|чне~о слоя, Гостекнзааг, !У4!. и распределение продольной составляющей скорости по сечению плоской струп будет представляться в виде и = им сИ (0,88 ф).
На рис. 100 график зависимости (8.23) представлен пунктирной кривой, а сплошной линией представлена та зависимость, которан была получена Толлмином ') с помощью числе>щого интегрирования 500 1гл. хп туРБулентнОе движение уравнений без использования предположения о постоянстве в сечениях струи коэффициента турбулентного объема А. 1)аниме экспериментов, представленные на рис. 109 кружочками, располагаются тесно вблизи двух расчвтных кривых. Чтобы подсчитать полный расход через сечение рассматриваемой плоской струи, примем, что формула распределения пролольных скоростей по сечению струи (8.22) остается справедливой и для того случая, когда ширина струи асимптотически стремится к бссконеч. ЕОО Д5 -ДО -Е5 — ТΠ— О5 О О5 /О 45 ДО Д5 у/У Рис, 109. ности, т, е.
первая формула 18.22) остаатся справедливой лля всех значений и от — со до + "-. При таком предположении расход массы будет представляться в виде +:о 11 = р ~ и Пу = Рби ~ 5'(~)нт) = 4 ~/ — Раин, Учитывая при этом (8.8) и (8.10), получим: 1~ = 49ф' нер У' м. (8,24) Таким образом, расход массы в плоской струе в начале струи обращается в нуль, затем растет неограниченно. Иначе говоря, вся струя состоит из той жидкости, которая увлекается действием струи из окружающего струю пространства.
й 9. Структура турбулентного изотропного потока В предшествующих параграфах были рассмотрены те простейшие случаи турбулентных установившихся осредненных течений жидкости, для изучения которых было достаточно использовать понятие о турбулентном трении и некоторые предположения о подобии распреде- э 91 стю ктгеь ттеьялзнтного изотеопного погон» иг лепна осреднвнных скоростей и совершенно не потребовалось рассмотрение внутренней структуры полей пульсации. Качественные соображения о возмогкной структуре пульсационных движений жидкости были подробно развиты А. Н. Колмогоровым '). Согласно этим соображениям на осреднвнный поток жидкости при больших значениях числа Рейнольдса накладываются поля «пульсаций первого порядка», состоящие в беспорядочном перемещении друг относительно друга объвмов жидкости с диаметром порядка длины характерного масштаба ), учитываемого в полуэмпнрических теориях турбулентности.
Поля пульсаций первого порядка при очень больших значениях )х теряют свою устойчивость и на них накладываются поля «пульсаций второго порядка» с линейным масштабом ). < ), и относительными скоростями оя(ты Такой процесс последовательного измельчения полей турбулентных пульсаций будет происходить до тех пор, пока для пульсаций порядка и число Рейнольдса г»о» не окажется настолько малым, что дальнейшее дробление пульсаций парализуется существенным влиянием вязкости.
Такая каскадная структура пульсационного движения жидкости с энергетической точки зрения становится возможной, если предположить, что пульсации первого порядка зарождаются и поддерживаются благодаря переносу энергии от самого осреднлнного течения и в свою очередь передают часть энергии пульсациям второго порядка, а от этих пульсаций происходит передача энергии пульсациям третьего порядка н т. дл энергия же самых мелких пульсаций рассеивается благодаря вязкости з теплоту. Такое представление о переносе энергии от пульсаций с большими масштабами к пульсациям меньших масштабов позволяет предполагать, что масштабы полей пульсаций и величины скоростей пульсаций в известной мере будут предопределяться плотностью потока энергии, вносимой в данное поле пульсаций со стороны поля пульсаций предшествующего порядка. Исключение может представить только поле «пульсаций наибольшего порядка», масштабы которого естественно поставить в связь с удельной энергией, рассеиваемой благодаря вязкости в единицу времени и на единицу массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
