Главная » Просмотр файлов » С.А. Абрамов - Лекции о сложности алгоритмов (pdf)

С.А. Абрамов - Лекции о сложности алгоритмов (pdf) (1123764), страница 42

Файл №1123764 С.А. Абрамов - Лекции о сложности алгоритмов (pdf) (С.А. Абрамов - Лекции о сложности алгоритмов (pdf)) 42 страницаС.А. Абрамов - Лекции о сложности алгоритмов (pdf) (1123764) страница 422019-05-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Функция f (n) = ⌈log2 n!⌉ является нижней границей сложности по числу сравнений алгоритмов сортировки массивов длины nЗадачипопарно различных рациональных чисел c помощью сравнений и четырех арифметических операций (в предложении . речь шла о сортировке вещественных чисел).. Функция f (n) = ⌈log2 (n + 1)⌉ является нижней границей сложности по числу сравнений алгоритмов поиска места элемента в упорядоченном массиве длины n попарно различных вещественных чисел c помощью сравнений и четырех арифметических операций..

Пусть известен алгоритм, который по данным c, m, c > 1,1(построитьm ∈ N+ , строит m значащих двоичных цифр числаcm значащих цифр некоторого числа x, 0 < x < 1, — это в данномконтексте означает отыскать первую ненулевую цифру после запятой в двоичной записи этого числа, а затем отбросить все цифрыпосле m цифр, отсчитанных от найденной), и пусть сложность этогоалгоритма есть O( f (m)), где f (m) — некоторая функция такая, что дополнительно известен алгоритм умножения произвольных a, b ∈ N+ ,сложность которого тоже есть O( f (m)), где m = max{λ(a), λ(b)}.

Наоснове этих двух алгоритмов сконструировать алгоритм построениячастного и остатка от деления положительных целых a и b, имеющийсложность O( f (m)), m = max{λ(a), λ(b)}.Указание. Нужно построить q и r такие, что a = qb + r , 0 ¶ r < b, или11a = q + s, 0 ¶ s < 1. Возникновение погрешности при вычисленииможетbbпривести к тому, что найденное q будет отличаться на 1 от точного значения; несколько добавочных проб помогут найти точные q и r , не изменяяоценки O( f (m)) для сложности.11.

Пусть c > 0 и y0 удовлетворяет неравенствам¶ y0 ¶ ; пусть2ccпоследовательность y0 , y1 , y2 , ... получена по рекуррентной формулеyi = 2 yi−1 − ci yi2−1 ,i = 1, 2, ...1Тогда последовательность y0 , y1 , ... сходится к .c. (Продолжение предыдущей задачи.) Пусть c ∈ N+ . Справедливо следующее утверждение  . Пусть y0 удовлетворяет неравенствам11¶ y0 ¶ и последовательность y0 , y1 , y2 , ...

получена по рекуррент2ccной формулеyi = 2 ỹi−1 − ci ỹi2−1 ,См. [, разд. .].i = 1, 2, ...,(.)Глава . Сводимостьгде• целое ci таково, что λ(ci ) = λ(c), и если λ(c) > 2i , то первые 2i цифрчисла ci совпадают с соответствующими цифрами числа c, а последующие цифры суть нули, если же λ(c) ¶ 2i , то ci = c;• ỹ0 получается из y0 отбрасыванием всех цифр после первой значащей цифры;• после вычисления значения yi , i > 0, по рекуррентной формуле (.) в нем отбрасываются все цифры, идущие после первых 2i значащих цифр, — это дает значение ỹi .Тогда первые 2i − 3 значащие цифры числа yi совпадают с соответ1при i > 1. Считая этот факт установствующими цифрами числаcленным и используя решение задачи , доказать, что задача деления одного целого числа на другое с остатком линейно сводитсяк задаче умножения двух целых чисел. (Размером входа считаетсяm = max{λ(a), λ(b)}, где a и b — исходные числа, при этом считаем,что m есть число вида 2k ; всюду подразумеваются битовые затраты;если это нужно, можно считать, что сложность f (m) умножения удовлетворяет условиям f (m) ¶ f (2m) ¶ 4 f (m)).Указание.

Соответствующий алгоритм построения частного и остатка ужеописан в этой задаче и задаче . Достаточно доказать, что алгоритм приближенного обращения c, описанный в этой задаче, имеет сложность R(2k )такую, что R(2k ) ¶ γ f (2k ) для некоторой константы γ. Подобрать γ так, чтобыдоказательство проводилось индукцией, и индуктивный переход был основанна неравенствеR(2k ) ¶ R(2k−1 ) + 2 f (2k−1 ) + δ2k−1 ,где константа δ определяется, в частности, тем, какой алгоритм сложениячисел используется.. Верно ли, что для доказательства того, что P = NP, достаточнопоказать, что хотя бы одна задача из NP принадлежит P?. Существуют ли в NP задачи, не являющиеся NP-полными?. Если бы оказалось, что полиномиального алгоритма распознавания простоты натурального числа не существует (забудем обалгоритме Агравала, Кайала и Саксены), то из этого бы следовало,что P 6= NP.. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) определяется какC1 ∨ C2 ∨ ...

∨ Cm ,Ci = (li1 ∧ li2 ∧ ... ∧ liki ),i = 1, 2, ..., m,при этом каждое lij является литералом. Задача выполнимости ДНФпринадлежит P.Задачи. Найти ошибку или пробел в следующем доказательстве того,что Sat ∈ P. Очевидно, что любую КНФ можно преобразовать в эквивалентную ДНФ (см. задачу ), поэтому задача выполнимости КНФсводится к задаче выполнимости ДНФ, а эта задача принадлежит P..

Для выполнимой булевой формулы назовем соответствующийнабор значений переменных выполняющим. Если P = NP, то существует полиномиальный алгоритм, который строит выполняющий набордля данной булевой формулы, если эта формула выполнима, и пустоеслово, если формула невыполнима.Приложение AОсновные алгоритмы сортировки и поискаA. СортировкаДля простоты считаем, что требуется упорядочить по возрастаниючисловой массив x1 , x2 , ..., xn с попарно различными элементами. Размер входа — число n.

Мы называем сегментом массива x1 , x2 , ..., xnлюбую его часть xi , xi+1 , ..., xk−1 , xk , 1 ¶ i ¶ k ¶ n, которая по условиюили по построению является упорядоченной.. Пузырьковая сортировка. Последовательным просмотром всехx1 , x2 , ..., xn определяется xi такое, что xi > xi+1 ; затем xi и xi+1 меняются местами, просмотр продолжается с элемента xi+1 и т. д. Темсамым в результате первого просмотра всего массива наибольшийэлемент передвинется на последнее место.

Следующие просмотры начинаются опять сначала, после уменьшения на единицу количествапросматриваемых элементов. Массив будет упорядочен после просмотра, который охватывал только первый и второй элементы, илиже раньше, если при некотором просмотре не обнаружено xi такого,что xi > xi+1 .. Сортировка выбором. Выполняется n − 1 шаг. На i-м шаге (i == 1, 2, ..., n − 1) среди элементов xi , xi+1, ..., xn отыскивается наименьший и переставляется с xi .. Сортировка простыми вставками (два варианта).

Пусть после нескольких шагов сортировки элементы x1 , x2 , ..., xi уже упорядочены (образуют сегмент): x1 < x2 < ... < xi . Тогда на следующем шагеэлемент xi вставляется в этот сегмент таким образом, что элементыx1 , x2 , ..., xi+1 оказываются упорядоченными (сегмент расширяется).В конечном счете получаем сегмент x1 , x2 , ..., xn . В первом вариантесортировки место вставки определяется последовательными сравнениями xi+1 с xi , xi−1 , ..., во втором — последовательными сравнениями xi+1 с x1 , x2 , ...Основные алгоритмы сортировки и поиска. Сортировка бинарными вставками. Отличается от сортировки простыми вставками тем, что место xi в сегменте x1 , x2 , ..., xi−1определяется алгоритмом бинарного поиска (см.

A, п. ).. Сортировка слияниями. Разнообразные виды этой сортировкииспользуют слияние сегментов. Сначала мы рассмотрим процедуруслияния, а затем опишем два варианта сортировки, основанной наэтой процедуре.Сëèÿíèå. Пусть для элементов массива e1 , e2 , ..., em выполненоe1 < e2 < ... < ek и ek+1 < ek+2 < ... < em , k ¶ m. Массив f1 , f2 , ..., fm , который является результатом слияния массивов e1 , e2 , ..., ek и ek+1 , ek+2 , ......, em , можно получить за m шагов.

После i-го шага элементыf1 , f2 , ..., fi уже имеют нужные значения, целые p и q (p + q = i) показывают, сколько элементов из числа e1 , e2 , ..., ek и ek+1 , ek+2 , ..., emуже использовано.Рåêóðñèâíûé âàðèàíò ñîðòèðîâêè ñëèÿíèÿìè. При n = 1 массив упорядочен. Пусть n > 1, тогда массив x1 , x2 , ..., xn разбивается на два примерно равных по длине подмассива x1 , x2 , ..., x⌊n/2⌋и x⌊n/2⌋+1 , x⌊n/2⌋+2 , ..., xn . Сортировка применяется рекурсивно к этимподмассивам, после чего выполняется слияние.Сîðòèðîâêà ôîí Нåéìàíà.

Первоначально элементы массиваx1 , x2 , ..., xn рассматриваются как упорядоченные одноэлементные сегменты. Затем в массиве y1 , y2 , ..., yn образуются упорядоченные сегменты длины 2, получающиеся слиянием x1 и x2 , x3 и x4 , x5 и x6 , ...Последний сегмент будет иметь один или два элемента в зависимости от четности n. Полученные сегменты сливаются в упорядоченныесегменты длины 4 (кроме последнего, который тоже упорядочен, но,возможно, имеет длину 1, 2 или 3), они последовательно попадаютв массив x1 , x2 , ..., xn . Процесс укрупнения сегментов продолжаетсядальше. В некий момент массив x1 , x2 , ..., xn или y1 , y2 , ..., yn содержиттолько один упорядоченный сегмент.. Быстрая сортировка. Эта сортировка основывается на процедуре разбиения массива.

Перед описанием сортировки мы рассмотрим эту процедуру.Рàçáèåíèå. Берется первый элемент массива и сравнивается совсеми остальными. Меньшие его элементы помещаются в начальнуючасть массива, бо́льшие — в конечную. Сам первоначально взятыйэлемент помещается между этими двумя частями, это — то место, которое ему надлежит занимать в упорядоченном массиве. Дополнительный массив для этой процедуры не требуется, достаточно двухпеременных p и q, показывающих, сколько элементов в начальнойПриложение Aи конечной частях уже занято.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,58 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6549
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее