Теоритический минимум (1123640)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Вероятностные модели и парадокс Бертрана

Вероятностная модель - математическая модель реального явления, содержащего элементы случайности.

Стохастическая – ситуация, удовлетворяющая свойствам 1-3

Св-ва:

1. Наличие случайности (неопределенности)

2. Воспроизводимость (с учетом случайности)

3. Устойчивость частот A – событие

Вероятностное пространство — это тройка , где

• — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

• F — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;

• — вероятностная мера или вероятность.

• — вероятностная мера или вероятность, если выполняются три условия:

3. Сигма – аддитивность:
   

Семейство F подмножеств множества Ω называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

1. F содержит Ω.

2. Если то и его дополнение .

3. Объединение счётного подсемейства из F также в F.

Борелевская σ-алгебра - σ-алгебра, порожденная всеми [a, b).

Случайная величина X(w) , w Ω – числовая функция, определенная на :

P(X B) – распределение сл. вел. X.

- функция распределения сл. вел. X.

Св-ва функции распределения:

2. F(x) не убывает

3. ,

4. F(x) непрерывна слева.

Парадокс Бертрана:

какова вероятность того, что длина наугад выбранной хорды больше длины вписанной окружности?

1. Математическая модель центра случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины:

Опр. , - q-квантиль распределения, если

Если F непрерывна, то

Медиана – квантиль с q = ½

Мода – это:

В абс. непрер. случае:

В дискретном:

1. Математическая модель разброса случайной величины.

- среднеквадратичное отклонение.

- «инженерная метрика»

Интерквартильный размах , где X_q – q-квантиль

1. Случайные величины. Зависимость событий и случайных величин.

Опр. События A и B F независимы, если P(AB) = P(A)P(B)

Опр. независимы в совокупности, если

Опр. - сл. вел. независимы, если

ковариация:

св-ва ковариации:

линейна отн. аргумента, симметрична, не зависит от сдвига аргумента, =0 если независимы.

корреляция:

5. Виды сходимости случайных величин

Везде X1, X2, X3 … сходятся к X

1. Сходимость почти всюду (почти наверное):

2. Сходимость по вероятности:

3. Сходимость в среднем порядка r: сходится, если

4. Сходимость по распределению: в точках непрерывности F

5. Слабая сходимость: - непрерывная, ограниченная:

В

1

4

заимосвязь между сходимостями

И з первого следует второе (обратное неверно)

И

2

з третьего следует второе (обратное неверно)

И

3

5

з второго следует четвертое (обратное неверно)

Четвертое и пятое эквивалентны

Остальные взаимосвязи не оговорены

Центральная предельная теорема

Пусть X1, X2, X3… - норсв

Существует мат. ожидание EXi = а – конечно, дисперсия DXi =

Тогда равномерно по х

Справа стоит стандартное нормальное распределение

Оценка скорости сходимости в ЦПТ

Неравенство Берри-Эссеена:

,

где С₀ – константа (0.4 < С₀ < 0.7056), M³ = E|Xi - a|^3

6. Закон больших чисел

Пусть X1, X2, X3… - норсв

Существует мат. ожидание Xi = а

Тогда

Оценка скорости сходимости ЗБЧ

цель: r(n): Yn/r(n) имеет конечный предел, не равный нулю

из ЦПТ: r(n) = n^(-1/2)

7. Распределение Пуассона

X – случайная величина, имеет распределение Пуассона с параметром лямбда, если она принимает целочисленные неотрицаельные значения и , лямбда > 0

Дисперсия, мат.ожидание = лямбда

Информационная энтропия

Фактически, Пуассоновское распределение – предельное для биномиального

Теорема Пуассона

Xi из следующего распределения: 1 с некоторой вероятносью p и 0 с вероятностью (1-p)

Пусть в системе серий n стремится к бесконечности, стремится к нулю, n стремится к лямбда

Тогда , Sn = X1 + X2 + … + Xn

Обобщение теоремы Пуассона

Пусть выполнено

Тогда , Sn = X1 + X2 + … + Xn

8. Устойчивые распределения

Функция распределения G(x) называется устойчивой, если для ее характеристической функции g(t) выполнено

или

G(a1*x+b1)*G(a2*x+b2) = G(a*x+b) (для любых a1,a2>0, b1,b2 из R, существуют a>0 и b из R)

Теорема Леви

Пусть X1, X2 … - норсв

Тогда F(x) может быть предельной для сумм вида (X1+X2+…+Xn - an)/bn при некоторых an и bn > 0 тогда и только тогда, когда F(x) – устойчива

// an и bn – имеются в виду индексы n у a и b

Безгранично делимая характеристическая функция

f(t) – характеристическая функция – безгранично делима, если для любого n существует fn(t) – характеристические функции, такие что f(t) = (fn(t))^n

при этом если X из распределения с хар. функцией f(t), то X представима как сумма Xi (которые из распределения такого, что ему соответствует fn(t))

Теорема Хинчина

Пусть выполнено

Тогда F(x) может быть предельной для сумм вида Xn,1 + Xn,2 + … + Xn,mn при n стремящемся к бесконечности тогда и только тогда, когда F(x) соответствует безгранично делимая характеристическая функция.

9. Информация и энтропия. Их свойства.

Определение 1

Пусть A – событие, P(A) > 0. Тогда информацией (по Шеннону), содержащейся в А, называется величина

Определение 2

Пусть A,B – события, P(A) > 0, P(B) > 0. Тогда информацией (по Шеннону),

содержащейся в B относительно А, называется величина

Свойства информации:

1) Чем меньше P(A), тем больше I(A).

2) Если А, В – независимые с.в., I(A|B) = 0.

3) Если А, В – независимые с.в., I(A|B) = I(A)+ I(В).

Определение 3

Пусть E – эксперимент с исходами и соответствующими им вероятностями

Пусть Q(E) – количество информации, полученной в ходе эксперимента - случайная величина со значениями I( ), принимаемыми с вероятностями p .

Тогда энтропией E называется величина

Свойства энтропии:

1. Энтропия неотрицательна, энтропия равна 0 т.и.т.т., когда один из исходов эксперимента имеет вероятность 1.

2. Максимальной энтропией среди экспериментов с n исходами обладает такой,

в котором исходы равновероятны.

3) E – эксперимент с исходами

E получается из Е объединением двух исходов с номерами i и j.

E - эксперимент с двумя исходами которым соответствуют вероятности

.

Тогда H(E) = H(E ) + (p +p )*H(E ).

4)Н(Е) не зависит от A , а зависит только от p .

5)H(E) – непрерывная функция p .

Теорема Фадеева

Если функционал H(p₁,..p_n) удовл. 1)-5) =>

10. Дифферинциальная энтропия. Свойства некоторых распределений.

Пусть теперь - случайная величина.

1) С.в. дискретна, имеет конечное число значений с соответствующими вероятностями.

Тогда энтропия равна

2) С.в. дискретна, имеет бесконечное число значений.

Тогда выражение для энтропии аналогично, но ряд бесконечен.

3) С.в. абсолютно непрерывна.

Тогда энтропия равна

Где p – плотность распределения с.в. Определенная таким образом энтропия называется

дифференциальной энтропией.

Теорема

1) Пусть имеет равномерное распределение ~R[-a;a]

Тогда H( ) >= H( ) для любой с.в. , распределенной на [-a ;a] : P(| |<=a) = 1

2) Пусть имеет показательное распределение ~P( )

Тогда H( ) >= H( ) для любой с.в. : P( >=0) = 1, M = 1/ , >0

3) Пусть имеет нормальное распределение ~N(a, )

Тогда H( ) >= H( ) для любой с.в. : M = a, D = .

11. Определение пуассоновского процесса.

Определение 1

Семейство случайных величин X(t, ), определенное на одном базовом пространстве ( ) ,t T R называется случайным процессом.

Определение 2

При фиксированном X(t, ) – траектория случайного процесса.

X(t) -> S – множество всех траекторий случайного процесса. На S можно определить борелевскую сигма - алгебру , порожденную множеством всех открытых подмножеств S. Прообраз любого B - событие (X(t): -> S).

Определение 3

Распределением случайного процесса называется мера P , заданная следующим образом:

Определение 4

Процесс X(t) – процесс с независимым приращением, если

X (t ), X (t )- X (t ),…, X (t )- X (t ) – независимы в совокупности.

Определение 5

Процесс X(t) – однородный, если распределение X(t+h) - X(t) совпадает с распределением X(s+h) - X(s) для t, s, h: t, t+h, s, s+h T.

Определение 6

Процесс X(t) – пуассоновский, если

1. X(t) имеет независимое приращение

2. X(t) однородный

3. X(0) = 0 почти наверное

4. При h>0, h->0

P(X(h) = 0) = 1- h +o(h)

P(X(h) = 1) = h +o(h)

P(X(h) >= 2) = o(h)

>0

Для пуассоновского процесса

X(t) ~ П( t)

MX(t) = DX(t) = t

12. Информационные свойства Пуассоновского процесса

Пусть τ[1] … τ[n] – моменты скачков Пуассоновского процесса

Распределение длин скачков τ[j] – τ[j-1] обладает свойством отсутствия памяти => оно показательно

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)