Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Зафиксируем [a; b] на временной оси. Пусть в [a; b] попало n скачков Пуассоновского процесса. Каково их распределение?

Теор. Условное распределение τ[1] … τ[n] при условии, что X(b) – X(a) = n, совпадает с распределение вариационного ряда, построенного по выборке из равномерного распределения на [a; b].

Плотность вариационного ряда, построенного по выборке из равномерного распределения на [a,b] есть

Теор. => Ф(х), где Ф(х) – функция распределения стандартного N(0,1), причём сходимость равномерна по х, при , т.е.

, С₀ – константа Берри- Эссеена

13. Случайные суммы, основные свойства, пуассоновские случайные суммы

x₁, x₂, …– н.о.р.с.в.

N – целая неотрицательная случайная величина.

xi, N – определены на одном ВП.

Случайная сумма Sn = x₁ + x₂ + … + x_N

Свойства:

1) p_n = P(N=n); F^*n(x)= n-кратная свертка F (ф.р. xi); F^*0 – ф.р. с единичным скачком в нуле.

1. если p₀ > 0 => F_SN не является абсолютно непрерывной

2. P₀=0 => существует , f^*n(x)= n-кратная свертка f (плотн. x_i);

3. ; (s) – производящая функция N; f(t) – характ. функция x_i

4. E_SN = EN * Ex1; D_SN = DN * (Ex₁)² + EN * Dx₁

N ~ П() => S_N есть пуассоновская случайная сумма

Теорема

1) - характеристическая функция S_N; => S_N безгранично делима.

2) ES_N = Ex1; DS_N =  (Ex₁²), EN = DN = 

14. Геометрические случайные суммы, теорема Реньи, связь между геометрическими и пуассоновскими случайными суммами

N, x1,x2,.. – н.с.в., x1,x2,.. – н.о.р.с.в.

N ~ Geom (p) => – Геометрическая Случайная Сумма

; ; _N(s) = ; n=0,1,..

Теорема Реньи

Пусть N ~ Geom(p);

стандартный показательный закон.

равномерно по x

Если , то

Теорема (связь)

Всякая геом. случайная сумма является пуассоновской случайной суммой, причем если

где M ~ Geom(p), то

N ~ П();

имеет х.ф. равную

, где имеют характеристич. функцию f(t), L имеет распределение логарифмического ряда, то есть

Следствие

Пусть S_N – пуасс. случайная сумма, N ~ П();

x_i~f(t); Пусть является характеристической функцией

=> S_N – геометрическая случайная сумма, причем ; ; ~g(t) – хар.функция

15. Теорема переноса. Аналог теоремы Пуассона для случайных сумм.

Схема серий (последовательность последовательностей) {X_n,j} при фиксированном n X_n,j – последовательность н.о.р.с.в.

Теорема переноса

{X_n,j} Схема серий.

N_n – положит. целочисленная случайная величина, не зависящая от X_n,i

m_k – неограниченно возрастающая последовательность натуральных чисел

Если

- по распределению и

, то , где

– х.ф., соотв. , h(t) – хар. функция, соответствующая H(x)

Теорема Пуассона для случайных сумм

-семейство последовательностей случайных величин.

N_p – положительн. целочисл. случ. величина

Тогда - обобщ. пуасс. случ. величина (смешанн. Пуассон.)

16.Смеси вероятностных распределений, идентифицируемость, примеры

Пусть Q(y) – вероятностная мера на (Y,), то есть (Y, , Q) – вероятностное пространство. Тогда - смесь распределения F(x,y) по y относительно Q(y). При Y(y)=y H(x)=EF(x, y). Если существует плотность f(x,y), то - плотность H(x)

Пример.

Q- дискретная, принимающая значения (y₁, …) с вероятностями (p₁,…)

, -компоненты смеси, - веса компонент

.

Определение

- параметр масштаба

- сдвиг масштабная смесь.

, x и (u,v) – стохастически независимы.

Определение

пусть F(x,y) при всяком y – ф.р. при всяком х измерима по y

Q-семейство случайных величин

- семейство смесей

Семейство W называется идентифицируемым, если из ,

где , Q следует

18. Обобщенный процесс Кокса. ЦПТ и ЗБЧ для обобщенных процессов Кокса.

- н.о.р.с.в.

E = a, D =

- стандартный Пуассоновский процесс

процесс с неубывающими непрерывными справа траекториями

п.в.,

Определение1: дважды стохастический Пуассоновский процесс <=> Процесс Кокса, управляющий процесс

Определение2: – обобщенный процесс Кокса

Далее будем предполагать, что E = 0, D =

Теорема1: Пусть , , d(t) – неограниченно возрастающая положительная функция. Для того, чтобы ( - одномерное распределение нормированного процесса Кокса) необходимо и достаточно - случайной величины такой, что: 1)P(z<x) = (масштабная смесь нормальных законов)

2) (это означает, что при некоторой нормировке у есть предел, может быть случайный.

– функция распределения строго устойчивого закона

– соотв. характеристическая функция, где -показатель распределения, - параметр, 0< <=2, | | <= min(1, )

t = 1,2,.. – дискретное время

- н.о.р.с.в, >= 0 (неубывающие траектории) и - однородный процесс с независимыми приращениями ( - приращение процесса)

Пусть , E = 0, D =

Теорема3: (Вроде как ЦПТ для обобщенных процессов Кокса)

при некотором выборе нормировочных значений т.и т.т., когда

Lim при

Смысл: Тяжелые хвосты процессов Кокса обусловлены «плохим» поведением управляющего процесса. При этом распределения слагаемых могут иметь сколь угодно легкие хвосты

Теорема4: (ЗБЧ для обобщенных процессов Кокса с ненулевым средним)

Пусть , ,

т.и т.т., когда - случайная величина, такая что

Z= a*u (так определяется); Смысл: предел не случаен  u не случайно

19. Островершинность масштабных смесей нормальных законов

∫(0 до ∞) Φ(x/y)d(P(Y<y)) Y > 0

(мат.ож) Φ(x/y) – плотность (мат.ож)[(1/y)*φ(x/y)] = ∫(0 до ∞) (1/y)*φ(x/y)dP(Y<y)

Y – дискретна ∑(k)P(Y=y_k) Φ(x/ y_k) плостности

∑(k)(P(Y= y_k)/ y_k)* φ(x/ y_k)

Пусть E(z)ⁿ < ∞

æ(z) – коэфф. эксцесса (показывает островершинность рапр.)

Если Z ~ Φ(x) => æ(Z) = 3

Пусть f(t) = exp{-t²/2} – хар. ф. норм. станд. распр. => Надо взять 4 произв. и посчитать ее в 0 => æ

Лемма

Пусть (мат.ож.)Х = 0, P(Y>0) = 1, (мат.ож)Х⁴ < ∞; (мат.ож)Y⁴ < ∞, X,Y – незав.

Тогда æ(XY) >= æ(X), æ(XY) = æ(X)  P(Y=const) = 1

Утв.

Пусть Х ~ N(0,1), P(u>0) = 1, Z = X√u

Тогда для люб. æ >= 0 P(Z>X) >= 1 - Φ((√2π)Xp_Z(0)).

Про метрику Леви

Метрика Леви L(F, G) = L(G, F) = inf( h: G(x-h)-h <= F(x) <= G(x+h) +h
для любого x из R
Геометрический смысл: максимальная длина стороны квадрата (со
сторонами, параллельными осям), который можно вписать между графиками
F и G

18

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)