Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика (1121281), страница 175
Текст из файла (страница 175)
с. состоит из «голых» атомных ядер (протонов) и электронов. Энергию теплового движения эти частицы получают за счет гравитационной энергии, освобождающейся при сжатии звезды. Однако не вся освобождающаяся гравитационная энергия идет на нагревание звезды. Значительная часть ее тратится на излучение. Поэтому мы воспользуемся не законом сохранения энергии, а классической тпворемой вириала. Теорема вириала огносится к поведению механической системы частиц, совершающей финитное движение. Если г; — радиус-вектор г-й частицы, т, ее масса, а Е, действующая на нес сила, то — (т;г,г;) = т,г, + г;т,г; = 2К; + г«Р,.
Просуммируем это соотношение по всем частицам системы и обозначим через К ее кинетическую энергию. Тогда д д« - — '~ т;г,г; = 2К+ 2 г.Р«. )Г.ХУ Некоторые вопросы аетро4иэики Усреднив это равенство по физически бесконечно большому промежут- ку времени Т, получим 1 Т (т г г )е=т 1 (т г г1)е — о! = 2К + 2к г Р -[ где черта означает усреднение по времени.
При Т -ь со ввиду ограниченности пространства, в котором движется система, левая часть обращается в нуль и в результате имеем 2К+ 2'г;Р; = О. (100.1) Это равенство и выражает теорему вириала (вириалом нвзываегся выражение (1/2) 2 г;Р,). Теорема вириала есть точное следствие ньютоновской классической механики, если только под Р, понимать полную силу, действующую на 1-ю частицу. Усреднение в теореме вириала понимается в смысле усреднен и по времени, а в нашей задаче требуется усреднение по совокупности частиц. Однако если внсшнис условия в течение времени Т не меняются, то средние значения в указанных двух смыслах совпадают между собой. В нашей задаче теорему вириала следует, конечно, применять не к протозвезде, а к образовавшейся из нее звезде.
Протозвезда подвергается гравитационному сжатию и, следовательно, находится в нестационарном состоянии. Для нее не имеет смысла говорить о средних величинах, о которых идет речь в теореме вириала. Только тогда, когда гравитационное сжатие будет остановлено возросшими силами газона-кинетического давления, т. е. когда протозвезда станет звездой, наступает стационарное состояние, в котором средние значения кинетической (тепловой) энергии беспорядочного движения частиц и потенциальной энергии их гравитационного притяжения, а также другие величины принимают определенные значения. 3. Вычислим теперь вириал для звезды, состоящей из равного числа протонов и электронов.
Между этими частицами действуют кулонов- скис электрические силы. Однако при вычислении вириала эти силы учитывать не надо, так как заезда в целом электрически нейтра ька. Действительно, рассмотрим какую-либо пару часгиц 1 и 11 В сумму г; Р, эта пара вносит слагаемое 1 гР,+г Р.=(г; — г )Р, =г, Ру, где Рку — сила, с которой частица 1 действует на частицу 1, а г„.— радиус-вектор, проведенный от частицы 1 к частице г, Если частицы одноименно заряжены, то Р, будет силой отталкивания, а произведение г; Р, — - величиной положительной. Напротив, для разноименно заряженных частиц произведение гВР; отрицательно. Пусть теперь звезда содержит и протонов и и электронов.
Число пар протонов и пар электронов, очевидно, равно п(п — 1)/2 = пз/2 — всего пз пар одноименно заряженных частиц. Но таково же будет и число пар разноименно заряженных частиц. Поэтому полная сумма 2 г,Р„относящаяся к силам кулоновского взаимодействия, в среднем обратится в нуль. 8 100) Источники энергии звезд 685 Не надо учитывать и магнитные силы, если таковые имеются. Сила Р, действующая на частицу в магнитном поле Н, пропорциональна )иН), где и скорость частицы. Для одной и той же частицы она с одинаковой вероятностью может быть направлена как в одну, так и в прямо противоположную сторону. Поэтому среднее значение скалярного произведения (г~иН)) равно нулю.
Единственными существенными силами, определяющими значение вириала звезды, являются силы тлготпенил. Это силы притяжения, а потому для них сумма 2 г;Р, будет отрицательна. Силы тяготения потенциальны. Сумма 2 г;Р, может бьггь выражена через потенциальную энергию гравитационного взаимодействия частиц системы У = =~.им, д. и, (100.2) 2 го Здесь т, и тэ — массы частиц г и э', а гб — расстояние между ними.
Выделим какие-либо две частицы с номерами 1 и э'. Они вносят в сумму ) г;Р; слагаемое г,Р, + г.Р „где Р,, — сила, с которой часгица э действует на частицу г. В силу равенства действия и противодействия Р„= — Р;„так что рассматриваемое слагаемое можно переписать в виде г;Р,э — гэР,э = 1г, — гэ)Р,э = г,э.Р;э.
Но, очевидно, Ргэ. = — пгаб; 11гэ, где градиент берется по координатам частицы г в предположении, что частица э' остается неподвижной. Следовательно, а11„ г,РВ+г Р; = — г; бгаб,(У, = — г, д „' Здесь у У; индексы можно опустить, если частную производную по гб брать в предположении, что меняется расстояние только между частицами 1 и э, а все остальные междучастичные расстояния остаются неизменными. Таким образом, дУ ганг — ~~' ггэ дг, Но (I есть однородная функция междучастичных расстояний г,: степени — 1. Поэтому в силу известной теоремы Эйлера об однородных функциях оУ ~г; = — К д о В результате соотношение (100.1) переходит в (100.3) 2К + 1/ = О.
С часгным случаем эгого соотношения мы уже встречались в механике (см. т. 1, 8 58). Это случай движения планеты вокруг Солнца (или искусственного спутника вокруг Земли) по круговой орбите. Только Некоторые вопросы астро4изики 686 в этом случае усреднения не требуется, поскольку сами величины К и 11 постоянны. Сопоставим соотношение (100.3) с законом сохранения энергии.
Гравитационная энергия, освобождающаяся в процессе сжатия прото- звезды, расходуется не только на увеличение кинетической (тепловой) энергии К последней, но и тратится на электромагни гное и нейтринное излучения. Обозначим через Ф„, полную энергию, унесенную излучением. Тогда К + 11 + У„= О. Усреднив это соотношение и вычитая его из (100.3), получим (100.4) — дизл. Таким образом, половина гравитационной шзергии, освоботсдетзой при гравитационном слсатии протозвезды к моменту превращения ее в звезду, 'идет на увеличение кинегпической (тепловой) энергии звезды, а другая половина уносится излучением. Этот вывод имеет общее значение и не связан со специальным предположением, что звезда состоит только из водорода.
Когда начнутся термоядерные реакции и наступит стационарное состояние, величины К и 71 будут оставаться неизменными. Тогда вся энергия, освобождающаяся при термоядерных реакциях, будет уноситься излучением. 4. '1еперь мы подготовлены к тому, чтобы оценить среднюю температуру звезды Т. С этой целью обозначим через т(г) массу звездного вещества внутри сферы радиусом г, центр которой совпадает с центром звезды. При падении на эту сферу из бесконечности массы дгп выделяется гравитационная энергия Сгп ат(г.
Полная гравитационная энергия, освободившаяся при образовании звезды, выражается интегралом м С ~ — йт, о где М вЂ” масса образовавшейся звезды. Как доказано выше, половина этой энергии идет на нагревание звезды. В дальнейшем, когда гравитационное сжатие прекратится, внутри звезды должна выделяться энергия в результате термоядерных реакций, чтобы поддержать температуру и излучение звезды на неизменном уровне. В результате тепловая энергия звезды Л будет оставаться неизменной и выражаться половиной написанного выше интеграла. Это г интеграл можно было бы вычислить точно, если бы была известна плотность звездного вещества р = р(г).
Из-за незнания функции р(г) точное вычисление мы вынуждены заменить оценкой. Очевидно, й 100) Источники энергии звезд 687 или (100.5) где К радиус звезды, (К)г) означает усредненное определенным образом значение К/г, а именно (100.6) Мы занимаемся оценкой средней температуры не звезды вообще, а звезды, только что образовавшейся из газово-пылевого облака, состоящего практически только из полностью ионизованного водорода. К этому времени водород еще не успел «выгоретьь в результате термоядерных реакций. Из-за высокой температуры к нему применима классическая статистика Больцмана, которая и используется в дальнейшем. Средняя энергия теплового движения протона равна (3!9) кТ, где й — постоянная Больцмана. "Гакова же и средняя энергия электрона.
Число протонов (а также электронов) в звезде составляет М/тр, где гвр масса протона. Поэтому тепловая энергия всей звезды равна ЗЛХкТ/тр. Приравняв ее выражению (100.5), получим Т вЂ” . (100. 7) Точное вычисление по формуле (100.7) требует знания плотности вещества звезды р в зависимости от расстояния г до ее центра. Только тогда можно найти среднее значение отношения К7г. Но так как К(г > 1, то во всяком случае должно быть — сгМтр 12йК (100.8) 5.
Можно указать и более точную оценку нижней границы для Т. Температура, стоящая в правой части формулы (100.8), получена в предположении, что К!г = 1. 'Гакую температуру звезда получила бы, если бы звездное вещесгво конденсировалось голько на ее поверхность. Эта температура заведомо ниже действительной температуры звезды, так как при дальнейшем перемещении вещества к ее центру производится дополнительная работа гравитационных сил, идущая на дальнейшее нагревание звезды. Дополнительную работу можно частично учесть, если предположить, что конденсация ограничивается образованием звезды постоянной плотности р. В таком случае т, = = (4я~5)ргг, с1гп = 4ярг дг и формула (100.6) дает К!г = 6,~5. В результате получается более точная, но все еще заниженная оценка средней температуры звезды Т > ~~~,'. (100.9) Некоторые вопросы астро4ивики 688 Применим полученную оценку к Солнцу 1Мш — — 2 10эз г, й = 7 х х 10ее см), гочнее — к водородной звезде с такими же значениями массы и радиуса.
Получим 6,67 10 2.10 1,67 10 О 10 1,38 10 ' 7 10'" Этот результат по порядку величины дает правильное, хотя и значительно заниженное значение средней температуры Солнца. Оптическим методам доступна температура только поверхности Солнца. Она составляет около 6000 К. Однако в современных моделях Солнца масса наружной оболочки, в которой температура меньше 10в К, составляет всего около 1% общей массы Солнца. Поэтому оболочка практически не сказывается на средней температуре Солнца. 6. Для точного вычисления земпературы, как уже указывалось выше, надо знать плотность вещества в недрах Солнца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
