Высотные частично симметричные атомы (1121279), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , in )ñîâïàäàåò ñ öèêëîì(n, n − 1, ..., 1),ð¼áðà êëàññàA1 (ñîîòâåò-B1 ) ïîïàðíî íå çàöåïëåííû è äëÿ êàæäîãî îðèåíòèðîâàííîãî öèêëà f -ãðàôààòîìà âåðíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ð¼áåð êëàññà C1 ñ êîíöàìè íà îäíîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå âìåñòå ñ ýòèì öèêëîì íå ñîäåðæèò f -ãðàôà àòîìà F Ln , (n ≥ 1).ñòâåííîÇàìå÷àíèå.Òåîðåìà.Â.
Î. Ìàíòóðîâ [3] äîêàçàë ñëåäóþùèé êðèòåðèé âûñîòíîñòè.Àòîì ÿâëÿåòñÿ âûñîòíûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî îñòîâ ìî-æåò áûòü âëîæåí â ïëîñêîñòü òàê, ÷òî â êàæäîé âåðøèíå èñõîäíûé öèêëè÷åñêèéïîðÿäîê îñòîâà è öèêëè÷åñêèé ïîðÿäîê, ïîðîæäåííûé âëîæåíèåì â ïëîñêîñòü, ñîâ-11ïàäàþò.Íà ïðàêòèêå ïðîâåðêà âûñîòíîñòè àòîìà ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé, ïîýòîìóâûøåèçëîæåííûé êðèòåðèé óòâåðæäåíèÿ 8 óïðîùàåò çàäà÷ó ïðîâåðêè âûñîòíîñòèàòîìà, èìåþùåãî 2 áåëûõ êîëüöà.Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì â îäíó ñòîðîíó.
Åñëè öèêë (i1 , i2 ...in ) íå ñîâïàäàåò ñ öèêëîì (n, n −1, ..., 1), òî ìû èìååì ïåðåñå÷åíèÿ âíåøíèõ íåîðèåíòèðîâàííûõ ð¼áåð, è â ýòîì ñëó÷àå àòîì íå áóäåò âûñîòíûì. Åñëè æå f -ãðàô àòîìà äîïóñêàåò îðèåíòèðîâàííîåâëîæåíèå S â ïëîñêîñòü, òî, â ýòîì âëîæåíèè, èñõîäÿ èç ïðîöåññà îáîçíà÷åíèÿ âñåõâíóòðåííèõ ð¼áåð f -ãðàôà, ð¼áðà êëàññàA1 áóäóò ëåæàòü âíóòðè(åñëè â S îðèåíòèðîâàííûå öèêëû íå ëåæàò îäèí â äðóãîì, è âíå, åñëè öèêëû ëåæàò îäèí â äðóãîì)ñîîòâåòñòâóþùåãî îðèåíòèðîâàííîãî öèêëà, à ð¼áðà êëàññàâíóòðè, è âíóòðè, åñëè ð¼áðàÎ÷åâèäíî, ð¼áðà êëàññîâð¼áðà êëàññîâA1èB1A1 (A1 -âíå)B1 -âíå(åñëèð¼áðàA1ñîîòâåòñòâóþùåãî îðèåíòèðîâàííîãî öèêëà.ñîîòâåòñòâåííîB1 )ïîïàðíî íå çàöåïëåííû.
Ïðè÷¼ìC1 ,ðåáðî c1íå çàöåïëåííû íè ñ êàêèìè ð¼áðàìè êëàññàïðîòèâîðå÷èëî áû îïðåäåëåíèþ ð¼áåð êëàññàC1(åñëè êàêîå-òîèíà÷å ýòîêëàññàC1òî ðåáðî c1 , èñõîäÿ èç ïðîöåññà îáîçíà÷åíèÿ âíóòB1 , ïðîòèâîðå÷èå, àíàëîãè÷íî îáúÿñíÿåòñÿ, ïî÷åìóðåáðî êëàññà C1 íå ìîæåò áûòü çàöåïëåííî ñ ðåáðîì êëàññà B1 ). È, ïî óòâåðæäåíèþ7 çàêëþ÷àåì, ÷òî êàæäûé îðèåíòèðîâàííûé öèêë f -ãðàôà ñ ñîâîêóïíîñòüþ ð¼áåðêëàññà C1 ñ êîíöàìè íà ýòîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå íå ñîäåðæèò f -ãðàôà àòîìàF Ln , (n ≥ 1).Äîêàæåì â äðóãóþ ñòîðîíó. Ðàññìîòðèì f -ãðàô G àòîìà, èìåþùåãî 2 áåëûõ êîëüöà, ñ óñëîâèåì, ÷òî öèêë (i1 , . .
. , in ) ñîâïàäàåò ñ öèêëîì (n, n − 1, ..., 1), ð¼áðà êëàññàA1 ( ñîîòâåòñòâåííî B1 ) ïîïàðíî íå çàöåïëåííû è äëÿ êàæäîãî îðèåíòèðîâàííîãîöèêëà f -ãðàôà G âåðíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ð¼áåð êëàññà C1 ñ êîíöàìè íà îäíîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå âìåñòå ñ ýòèì öèêëîì íå ñîäåðæèò f -ãðàôà àòîìà F Ln , (n ≥ 1).Ïðîâåðèì, ÷òî f -ãðàô G äîïóñêàåò îðèåíòèðîâàííîå âëîæåíèå â ïëîñêîñòü.
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê öèêë (i1 , . . . , in ) ñîâïàäàåò ñ öèêëîì (n, n−1, ..., 1), òî ìû ìîæåìçàôèêñèðîâàòü âëîæåíèå äâóõ îðèåíòèðîâàííûõ öèêëîâ è âíåøíèõ ð¼áåð f -ãðàôà Gçàöåïëåííî ñ ðåáðîì êëàññàA1 ,ðåííèõ ð¼áåð, åñòü ðåáðî êëàññàòàê, ÷òî îáà öèêëà íå ëåæàò îäèí â äðóãîì è îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî. Ôèêñèðóåìýòî âëîæåíèå. Äàëåå, âëîæèì ñîâîêóïíîñòü ð¼áåð êëàññàíèþ 7 êàæäûé îðèåíòèðîâàííûé öèêëf -ãðàôàC1 (òàêêàê ïî óòâåðæäå-ñ ñîâîêóïíîñòüþ ð¼áåð êëàññàC1ñêîíöàìè íà ýòîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå äîïóñêàåò âëîæåíèå â ïëîñêîñòü). ÓñëîâèåA1 ( ñîîòâåòñòâåííî B1 ) ïîïàðíî íå çàöåïëåííû, ïîçâîëÿåòA1 ( ñîîòâåòñòâåííî B1 ) âíóòü (ñîîòâåòñòâåííî âíå) îðèåíòèðîâàííîãî öèêëà òàê, ÷òîáû íèêàêèå 2 ðåáðà èç êëàññà A1 ( ñîîòâåòñòâåííî B1 ) íåïåðåñåêàëèñü, è íèêàêîå ðåáðî êëàññà A1 ( ñîîòâåòñòâåííî B1 ) íå ïåðåñåêàëîñü ñðåáðîì êëàññà C1 (èíà÷å ðåáðî êëàññà A1 ( ñîîòâåòñòâåííî B1 ) áûëî áû çàöåïëåííîñ ðåáðîì êëàññà 1 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèÿì îáîçíà÷åíèÿ âíóòðåííèõ ð¼áåð f ãðàôà).
Ñäåëàåì âûøåîïèñàííîå ïîãðóæåíèå ð¼áåð êëàññà A1 (ñîîòâåòñòâåííî B1 ) ñòîãî, ÷òî ð¼áðà êëàññàíàì ïîãðóçèòü ð¼áðà12äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè: áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé, áåç ïåðåñå÷åíèé âíåøíèõ ð¼áåð.Ïîëó÷èëè îðèåíòèðîâàííîå âëîæåíèåf -ãðàôàâ ïëîñêîñòü.G f -ãðàôà àòîìà X = (P 2 , K), èìåþùåãîäâà áåëûõ êîëüöà, â ïëîñêîñòü. Êîãäà ãðóïïà ñèììåòðèé Sym(X) àòîìà òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íà îðèåíòèðîâàííûõ öèêëàõ G? Îêàçûâàåòñÿ, êîãäà ðàñïîëîæåíèÿÐàññìîòðèì îðèåíòèðîâàííîå âëîæåíèåâíóòðåííèõ ð¼áåð íà îäíîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ðàñïîëîæåíèÿ âíóòðåííèõ ð¼áåð íà äðóãîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå. È îòíîñèòåëüíîòîãî, êàê ãðóïïà ñèììåòðèé âëîæåíèÿGäåéñòâóåò íà âåðøèíàõ âíåøíèõ ð¼áåð íàîäíîì îðèåíòèðîâàííîì öèêëå, îïðåäåëÿþòñÿ ðàñïîëîæåíèÿ âíóòðåííèõ ð¼áåð ýòîãî öèêëà.
Òî åñòü îðèåíòèðîâàííûé öèêë äîëæåí ïåðåõîäèòü â ñåáÿ ïðè ïîâîðîòàõ,îïðåäåëÿåìûõSym(G).Ïðèìåð ïîêàçàí íà Ðèñ. 8.Åñëè åñòü ñèììåòðèÿ îðèåíòèðîâàííî âëîæåííîãîf -ãðàôà âûñîòíîãî àòîìà(èìåþùåãî2 áåëûõ êîëüöà), ïåðåâîäÿùàÿ âûäåëåííóþ êðàñíûì âåðøèíó 1(íà ðèñóíêå 8) â âåðøèíó 2, òî âíóòðåííåå ðåáðî, ìåæäó êîíöàìè êîòîðîãî åñòü òîëüêî âåðøèíà 1, ýòîéæå ñèììåòðèåé ïåðåâåä¼òñÿ â ðåáðî, ìåæäó êîíöàìè êîòîðîãî åñòü òîëüêî âåðøèíà 2.
Ýòîò ïðèìåð èëëþñòðèðóåò, ÷òî îðèåíòèðîâàííûé öèêë äîëæåí ïåðåõîäèòü âñåáÿ ïðè ïîâîðîòàõ, îïðåäåëÿåìûõSym(G).1Bk,l, (k, l ≥ 1)Îïðåäåëåíèå 16. Ñåðèÿ àòîìîâíàçûâàåòñÿ ñåðèÿ âûñîòíûõ àòî-ìîâ, èìåþùèõ äâà áåëûõ êîëüöà, è ñèììåòðèÿ êîòîðûõ òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íàk ñîîòâåòñòâóåò êîëè÷åñòâó âíóòðåííèõ ð¼áåð íà êàæäîìf -ãðàôà ýòîãî àòîìà, l - ÷èñëî âíåøíèõ ð¼áåð, ñîåäèíÿþ-ýòèõ êîëüöàõ. Çäåñü ÷èñëîîðèåíòèðîâàííîì öèêëåùèõ äâà îðèåíòèðîâàííûõ öèêëà.Êàæäûé àòîì èç ýòîé ñåðèè äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü êðèòåðèþ âûñîòíîñòè èçóòâåðæäåíèÿ 8 è âíóòðåííèå ð¼áðàf -ãðàôàýòîãî àòîìà îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåò-ñòâèè ñ ðàññóæäåíèÿìè âûøå.
Ïðèìåð ïîêàçàí íà Ðèñ.8.Ðèñ. 8.f -ãðàô13àòîìà1B3,34. Îñíîâíàÿ òåîðåìà.Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå âçÿòî èç ñòàòüè È.Ì.Íèêîíîâà [6].Ïðåäëîæåíèå 1. Àòîìû, ïîëó÷àåìûå èç ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûõ âûñîòíûõàòîìîâ ïóòåì óäâîåíèÿ ðåáåð ÿâëÿþòñÿ âûñîòíûìè, ãðóïïà ñèììåòðèé êîòîðûõòðàíçèòèâíà íà âåðøèíàõ. Åñëèf -ãðàô,0àòîì PP ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûé àòîì èòî ïîñëå óäâîåíèÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ð¼áåð àòîìàñ ñîîòâåòñòâóþùèìÇàìå÷àíèå.Ïîñêîëüêó âPG åãîìû ïîëó÷èì íîâûé0f -ãðàôîì G .f -ãðàôåìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íîãî àòîìà ñèììåòðèèäåéñòâóþò òðàíçèòèâíî íà âåðøèíàõ ãðàôàñòâèå íà îðèåíòèðîâàííûõ öèêëàõ ãðàôàG,òî îíè çàäàþò òðàíçèòèâíîå äåé-0G.Òåîðåìà 2. Ëþáîé âûñîòíûé àòîì ñ ãðóïïîé ñèììåòðèé, òðàíçèòèâíîé íà âåð-øèíàõ àòîìà è òðàíçèòèâíîé íà êîëüöàõ áåëîãî öâåòà, èçîìîðôåí îäíîìó èç àòîìîâ00000000Dn , (n ≥ 3), Cn , (n ≥ 1), P1 , P2 , P3 , P4 , P5 , Dn , (n ≥ 2), P1 , P2 , P3 ,P4 , P5 , En , (n ≥ 1), Fn , (n ≥ 1), Q1 , Q3 .
Êîíêðåòíîå îïèñàíèå âñåõ àòîìîâ ýòîãî ñïèñ-ñëåäóþùåãî ñïèñêà:0000êà äàíî â ñòàòüå È.Ì.Íèêîíîâà [6].2Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X = (P , K) - âûñîòíûé àòîì ñ ãðóïïîé ñèììåòðèé, òðàíçèòèâíîé íà êîëüöàõ áåëîãî öâåòà è âåðøèíàõ àòîìà, èïî óòâåðæäåíèþ 4 âñå îðèåíòèðîâàííûå öèêëûGG åãîf -ãðàô.Òîãäàñîäåðæàò îäèíàêîâîå êîëè÷å-ñòâî âåðøèí. Îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàòû ñòàòüè [6] âûïèøåì ñïèñîê âûñîòíûõ àòîìîâ, èìåþùèõf -ãðàô,âñå îðèåíòèðîâàííûå öèêëû êîòîðîãî ñîäåðæàò îäèíàêî-âîå êîëè÷åñòâî âåðøèí, à ãðóïïà ñèììåòðèé êàæäîãî àòîìà èç ñïèñêà òðàíçè-Dn , (n ≥ 3), Cn , (n ≥ 1), P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ,En , (n ≥ 1), Fn , (n ≥ 1), Q1 , Q3 .
Íàïîìíèì, ÷òî C2 =òèâíî äåéñòâóåò íà âåðøèíàõ àòîìà:000000000000Dn , (n ≥ 2), P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ,= D2 , E1 = D1 , F1 = A2 .Ïî óòâåðæäåíèþ 5 ãðóïïà ñèììåòðèé ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûõ âûñîòíûõ àòîìîâ òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íà êîëüöàõ îáîèõ öâåòîâ, à â ñòàòüå [6] äîêàçàíî òðàíçèòèâíîå äåéñòâèå ãðóïïû ñèììåòðèé íà âåðøèíàõ àòîìà. Íàïîìíèì ñïèñîê ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûõ âûñîòíûõ àòîìîâ:A2 , Dn , (n ≥ 1), Cn , (n ≥ 1), P1 , P2 , P3 , P4 ,P5 .Ïî ïðåäëîæåíèþ 1 è çàìå÷àíèþ ê íåìó, àòîìû, ïîëó÷àåìûå èç ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûõ âûñîòíûõ àòîìîâ ïóòåì óäâîåíèÿ ðåáåð ÿâëÿþòñÿ âûñîòíûìè, ãðóïïàñèììåòðèé êîòîðûõ òðàíçèòèâíà íà âåðøèíàõ è íà êîëüöàõ áåëîãî öâåòà.
Ñïèñîê000000000000000000A2 , Dn , (n ≥ 1), Cn , (n ≥ 1), P1 , P2 , P3 , P4 , P5 . Íàïîìíèì, ÷òî A2 = F2 ,0000Cn = C2n , (n ≥ 1), D1 = E2 .f -ãðàô àòîìîâ ñåðèè En , (n ≥ 1), Fn , (n ≥ 1) èìååò îäèí îðèåíòèðîâàííûé öèêë,ýòèõ àòîìîâ:çíà÷èò, êàæäûé èç àòîìîâ ýòîé ñåðèè èìååò îäíî áåëîå êîëüöî.À àòîìQ1 = R2èQ3 = R8 . ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ È ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ[1]Áîëñèíîâ À.
Â., Ôîìåíêî À. Ò., Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû, ò. 1,// Èæåâñê: Èçä. äîì "Óäìóðòñêèé óíèâåðñèòåò 444 ñ., (1999).14[2]Âîë÷àíåöêèé Í. Â., Íèêîíîâ È. Ì. Ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûå âûñîòíûåàòîìû // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõàí. 2013. 2. 36.[3] Ìàíòóðîâ Â.Î. Áèôóðêàöèè, àòîìû è óçëû // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ìàòåì. Ìåõàí.
2000. 1. 38.[4]Êóäðÿâöåâà Å. À., Íèêîíîâ È. Ì., Ôîìåíêî À. Ò. Ñèììåòðè÷íûå è íåïðèâî-äèìûå àáñòðàêòíûå ìíîãîãðàííèêè // Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, â ñáîðí."Ñîâðåì. ïðîáë. ìàòåì. è ìåõàí."ïîä ðåä. À. Ò. Ôîìåíêî, cc. 5897 (2009).[5] Êóäðÿâöåâà Å. À., Íèêîíîâ È. Ì., Ôîìåíêî À. Ò., Ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûåêëåòî÷íûå ðàçáèåíèÿ ïîâåðõíîñòåé è èõ íàêðûòèÿ // Ìàòåì.
ñáîðíèê, 199 (9), ñc.396 (2008).[6]È. Ì. Íèêîíîâ, Âûñîòíûå àòîìû ñ òðàíçèòèâíîé íà âåðøèíàõ ãðóïïîé ñèì-ìåòðèé //â ïå÷àòè[7]Ôîìåíêî À. Ò., Òîïîëîãèÿ ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîé ýíåðãèè èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì è ïðåïÿòñòâèÿ ê èíòåãðèðóåìîñòè // Èçâåñòèÿ À.Í. ÑÑÑÐ.Ñåðèÿ ìàòåì. 1986, ò.50, No.6, ñ. 12761307[8] Ôîìåíêî À. Ò., Öèøàíã Õ. Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò è êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿè ñâîáîäû // ÈçâåñòèÿÀÍ ÑÑÑÐ. 1990, ò.54, 3, ñ. 546575.[9] Å.À.Êóäðÿâöåâà, À.Ò.Ôîìåíêî. "Ãðóïïû ñèììåòðèé ïðàâèëüíûõ ôóíêöèé Ìîðñà íà ïîâåðõíîñòÿõ". - Äîêëàäû ÐÀÍ, ñåðèÿ: ìàòåìàòèêà, 2012, òîì 446, 6, ñ.615617[10]A.T.Fomenko, A.Yu.Konyaev.
"New approach to symmetries and singularities inintegrable Hamiltonian systems". - Topology and its applications, 2012, vol.159, pp.19641975.[11]A.T.Fomenko, A.Yu.Konyaev. "Algebra and Geometry Through HamiltonianSystems". - In: "Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications". Series"Solid Mechanics and Its Applications". Vol.211, pp.3-21. Editors: V.Z.Zgurovsky, V.A.Sadovnichiy. Springer. 2014.15Ðèñ.
9.f -ãðàôûàòîìîâ16R1-R6Ðèñ. 10.f -ãðàôûàòîìîâ17R7-R12Ðèñ. 11.Ðèñ. 12.f -ãðàôf -ãðàôûàòîìààòîìîâ18R13Rn1èRn2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
