Высотные частично симметричные атомы (1121279)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â.ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèéÂÛÑÎÒÍÛÅ ×ÀÑÒÈ×ÍÎ ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÛÅ ÀÒÎÌÛPARTIALLY SYMMETRIC HEIGHT ATOMSÊóðñîâàÿ ðàáîòàñòóäåíòêè3−ãîêóðñàÒðèôîíîâîé Âèêòîðèè Àëåêñàíäðîâíû.Íàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè−àêàäåìèê ÐÀÍ, çàâ. êàôåäðîé Ôîìåíêî À.Ò.,ê.ôèç.-ìàò.í., äîöåíò Íèêîíîâ È.Ì.Ìîñêâà 20171. ÂâåäåíèåÏîíÿòèå àòîìà, ïîÿâèâøååñÿ â çàäà÷àõ êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà è êëàññèôèêàöèèäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, íàõîäèò ïðèìåíåíèå â ñàìûõ ðàçíûõ ðàçäåëàõ ñîâðåìåííîéêîìáèíàòîðèêè è ìàëîìåðíîé òîïîëîãèè, òåîðèè óçëîâ [1, 3]. Ïîíÿòèå àòîìà äëÿöåëåé ãàìèëüòîíîâîé è ñèìïëåêòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè áûëî ââåäåíî Ôîìåíêî [7] è áûëî ïðèìåíåíî äëÿ ëèóâèëëåâîé êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì [8].Ñèììåòðèè àòîìîâ îòðàæàþò äèñêðåòíûå ñèììåòðèè ñîîòâåòñòâóþùèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, òàê ÷òî äëÿ öåëåé àíàëèçà âàæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îïèñàíèÿ êëàññîâàòîìîâ, îáëàäàþùèõ çàäàííîé ãðóïïîé ñèììåòðèè.
Òàê, â ðàáîòå [2] ïðèâåäåíà ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ âûñîòíûõ àòîìîâ ñ òðàíçèòèâíîé íà âåðøèíàõ ãðóïïîé ñèììåòðèé.  ðàáîòàõ [5] è [4] ïîëó÷åí ðÿä êëàññèôèêàöèîííûõ ðåçóëüòàòîâ ìàêñèìàëüíîñèììåòðè÷íûõ àòîìîâ, èìåþùèõ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûé íàáîð ñèììåòðèé. Çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûõ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé è ìîæåò áûòü ðåøåíà òîëüêî äëÿ îòäåëüíûõ ñåìåéñòâ àòîìîâ (àòîìû ìàëîéñëîæíîñòè, àòîìû ìàëîãî ðîäà), ëèáî àòîìîâ, îáëàäàþùèõ íåêîòîðûì ñïåöèàëüíûìñâîéñòâîì. Òàê, â ðàáîòå [2] áûëè ïîëíîñòüþ îïèñàíû ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûåâûñîòíûå àòîìû. äàííîé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé âûñîòíûõ àòîìîâ¯âûñîòíûå àòîìû ñ ãðóïïîé ñèììåòðèé, òðàíçèòèâíîé íà êîëüöàõ îäíîãî öâåòà. Äëÿòàêèõ àòîìîâ óäàëîñü ñäåëàòü ÷àñòè÷íîå îïèñàíèå: ïðåäúÿâëåíî 9 áåñêîíå÷íûõ ñåðèé è 21 îñîáûé ñëó÷àé.
Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ âçÿòû èç [1], [3], [4].Àâòîð áëàãîäàðèò àêàäåìèêà À. Ò. Ôîìåíêî çà ïîñòàíîâêó èíòåðåñíîé çàäà÷è èîáùåé ñõåìû, ÷òî è êàê äåëàòü, à òàêæå È. Ì. Íèêîíîâà çà öåííûå çàìå÷àíèÿ èóêàçàíèÿ.2. Íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ.M 2 - ãëàäêîå êîìïàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, f : M 2 → R -ôóíêöèÿ22Ìîðñà íà M è {x ∈ M : f = k, k ∈ R} - å¼ îñîáûé óðîâåíü. Òîãäà ñóùåñòâóåò ε > 0−1òàêîå, ÷òî f([k − ε, k + ε]) íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê, êðîìå ëåæàùèõ íà îñîáîìóðîâíå ({f = k}).−1Îïðåäåëåíèå 1.
Àòîìîì íàçûâàåòñÿ ïàðà (f([k − ε, k + ε]), f −1 (k)) ñ óêàçàíè−1åì âëîæåíèÿ ãðàôà f(k) â ïîâåðõíîñòü f −1 ([k − ε, k + ε]). Àòîì íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðóåìûì, åñëè ýòà ïîâåðõíîñòü îðèåíòèðóåìà. Ãðàô f −1 (k) íàçûâàåòñÿ îñòîâîìÏóñòüàòîìà. Äâà àòîìà íàçûâàþòñÿèçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì ïàð,êîòîðûé ïåðåâîäèò ïîâåðõíîñòü â ïîâåðõíîñòü (ñîõðàíÿÿ îðèåíòàöèþ, åñëè ïîâåðõíîñòü îðèåíòèðîâàíà), îñòîâ â îñòîâ, à ôóíêöèþ ïåðåâîäèò â ôóíêöèþ.(f −1 ([k − ε, k + ε]), f −1 (k)) ïîðîæäåí ôóíêöèåé f .
Ñëîæêîëè÷åñòâî îñîáûõ òî÷åê ôóíêöèè f íà îñîáîì ñëîå.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî àòîìíîñòüþ àòîìà íàçûâàåòñÿÎïðåäåëåíèå 2. Íàçîâåì àòîì, ïîðîæäåííûé ôóíêöèåé fñòâóåò òàêîå âëîæåíèåg : M 2 → R3 ,÷òîf (p) = z(g(p))2âûñîòíûì, åñëè ñóùå-äëÿ êàæäîé òî÷êèp ∈ M 2,z g(M 2 ).ãäåñòàíäàðòíàÿ êîîðäèíàòà â ïðîñòðàíñòâåR3 ,ò. å.z ôóíêöèÿ âûñîòû íàÂñå âûñîòíûå àòîìû ÿâëÿþòñÿ îðèåíòèðóåìûìè (ñì.
[3]). Òàê êàê â äàëüíåéøåììû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûñîòíûå àòîìû, òî âñþäó íèæå âñå àòîìû ïðåäïîëàãàþòñÿ îðèåíòèðóåìûìè.−1Ïóñòü äàí àòîì X = (f([k− ε, k + ε]), f −1 (k)) . ßñíî, ÷òî f −1 ([k − ε, k + ε]) ÿâ2ëÿåòñÿ íåêîòîðûì ìíîãîîáðàçèåì P ñ êðàåì, ïðè÷åì åãî êðàé ¯ ýòî íàáîð îêðóæ2íîñòåé. Ðîäîì àòîìà X íàçûâàåòñÿ ðîä ìíîãîîáðàçèÿ áåç êðàÿ, ïîëó÷åííîãî èç Pñ ïîìîùüþ çàêëåèâàíèÿ âñåõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò ãðàíèöû äèñêàìè. Àòîìû ðîäà 0íàçîâåìïëîñêèìè àòîìàìè. Òàêæå ñòîèò äàòü âòîðîå ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèåàòîìà.Îïðåäåëåíèå 3.Àòîìîì íàçîâåì îñíàùåííóþ ïàðó(P 2 , K), ãäå P 2- êîìïàêò-íàÿ îðèåíòèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü ñ êðàåì, K - íåïóñòîé êîíå÷íûé ñâÿçíûé ãðàô,2âëîæåííûé â P , âåðøèíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíü 0 èëè 4, ïðè÷åì ìíîæåñòâî2P \K ÿâëÿåòñÿ íåñâÿçíûì îáúåäèíåíèåì êîëåö S 1 × (0, 1], ãäå (S 1 , 1) ⊂ ∂P 2 .
Ìíîæåñòâî êîëåö è èõ ãðàíè÷íûõ îêðóæíîñòåé ðàçáèòî íà äâà ïîäìíîæåñòâà (áåëûåè ÷åðíûå) òàêèì îáðàçîì, ÷òî ê êàæäîìó ðåáðó ãðàôàKïðèìûêàþò ðîâíî îäíîáåëîå êîëüöî è ðîâíî îäíî ÷åðíîå êîëüöî. Óêàçàííîå ðàçáèåíèå êîëåö è ñîîòâåò2ñòâóþùèõ îêðóæíîñòåé íà áåëûå è ÷åðíûå íàçûâàåòñÿ îñíàùåíèåì ïàðû (P , K).Äâà àòîìà ñ÷èòàþòñÿ èçîìîðôíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì îñíàùåííûõïàð, ñîõðàíÿþùèé îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòåé è ðàñêðàñêó êîëåö.Àòîì, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé öâåòà áåëûõ êîëåö íà ÷åðíûé, à ÷åðíûõ êîëåö íà áåëûé öâåò, íàçûâàåòñÿäâîéñòâåííûì àòîìîì ê èñõîäíîìó àòîìó.Àòîì ìîæåò áûòü îïðåäåëåí òàêæå êàêf -ãðàô,ñì. [1], ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, äàåòíàì âîçìîæíîñòü ðàáîòàòü ñ àòîìàìè êàê ñ êîìáèíàòîðíûìè îáúåêòàìè.Îïðåäåëåíèå 4. Êîíå÷íûé ñâÿçíûé ãðàôòèðîâàíû, íàçûâàåòñÿîðèåíòèðîâàííûìG,íåêîòîðûå ðåáðà êîòîðîãî îðèåí-f -ãðàôîì,åñëè âñå åãî âåðøèíû èìåþòñòåïåíü 3, ïðè÷åì ê êàæäîé åãî âåðøèíå ïðèìûêàþò ðîâíî äâà îðèåíòèðîâàííûõïîëóðåáðà, èç êîòîðûõ îäíî âõîäèò â âåðøèíó, à äðóãîå âûõîäèò èç íåå.
Îòìåòèì,÷òî âåðøèíà ìîæåò áûòü íà÷àëîì è êîíöîì îäíîãî è òîãî æå îðèåíòèðîâàííîãîðåáðàïåòëè.Ñîîòâåòñòâóþùèéf -ãðàôñòðîèòñÿ ïî àòîìó(P 2 , K)ñëåäóþùèì îáðàçîì: â êà-÷åñòâå íåîðèåíòèðóåìîãî ðåáðà áåðåòñÿ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ãðàíèöû ïðîòèâîïîëîæíûõ áåëûõ êîëåö(ñì. ðèñ.
1), à â êà÷åñòâå âåðøèí ñîîòâåòñòâóþùèå êîíöûîòðåçêà.  êà÷åñòâå îðèåíòèðîâàííûõ ðåáåð áåðóòñÿ ïðèìûêàþùèå ê âåðøèíàì äóãè áåëûõ êîëåö, ñ ñîîòâåòñòâóþùåé îðèåíòàöèåé.Îïðåäåëåíèå 5. Íàçîâåìf -ãðàô îðèåíòèðîâàííîâëîæèìûì â ïëîñêîñòü, åñëèåãî ìîæíî âëîæèòü â ïëîñêîñòü òàê, ÷òî îêðóæíîñòè, ñîåäèíåííûå îäíèì ðåáðîì,ëåæàò îäíà â äðóãîé, åñëè è òîëüêî åñëè îíè èìåþò ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèþ.3Ðèñ. 1. Ïîñòðîåíèå f-ãðàôàÑîîòâåòñòâóþùåå âëîæåíèå òàêæå áóäåì íàçûâàòüÑèììåòðèåé àòîìàîðèåíòèðîâàííûì.X = (P 2 , K)íàçûâàåòñÿ ñîõðàíÿþùèé2îðèåíòàöèþ è îñíàùåíèå ãîìåîìîðôèçì îñíàùåííîé ïàðû (P , K) íà ñåáÿ, ðàññìàòÎïðåäåëåíèå 6.ðèâàåìûé ñ òî÷íîñòüþ äî èçîòîïèè, ò.å. êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè èçîòîïíûõ ãîìåî2ìîðôèçìîâ îñíàùåííîé ïàðû (P , K) íà ñåáÿ. Îòìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè2ãðóïïà Sym(X) ñèììåòðèé àòîìà X = (P , K) äèñêðåòíà, ñì.
[1].Îïðåäåëåíèå 7. Íàçîâåìñèììåòðèåé f-ãðàôàGèçîìîðôèçì ãðàôàGíà ñåáÿ,ïåðåâîäÿùèé îðèåíòèðîâàííûå ðåáðà â îðèåíòèðîâàííûå ñ ñîõðàíåíèåì èõ îðèåíòàöèè. Îáîçíà÷èì ãðóïïó âñåõ òàêèõ ñèììåòðèéÎïðåäåëåíèå 8. ÀòîìX = (P 2 , K)f -ãðàôà G÷åðåçSym(G).ñ çàäàííûì îñíàùåíèåì ÿâëÿåòñÿàòîìîìñ ãðóïïîé ñèììåòðèé òðàíçèòèâíîé íà êîëüöàõ áåëîãî(÷¼ðíîãî) öâåòà, åñëè äëÿu, v óêàçàííîãîφ(u) = v .ëþáûõ äâóõ êîëåö áåëîãî(÷¼ðíîãî) öâåòàìåòðèÿ àòîìàφ ∈ Sym(X),òàêàÿ, ÷òîÎïðåäåëåíèå 9. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî àòîìîñíàùåíèÿ íàéäåòñÿ ñèì-X = (P 2 , K)ÿâëÿåòñÿàòîìîì ñòðàíçèòèâíîé íà âåðøèíàõ ãðóïïîé ñèììåòðèè, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ âåðøèívãðàôàKíàéäåòñÿ ñèììåòðèÿ àòîìàφ ∈ Sym(X),òàêàÿ, ÷òîφ(u)=u,v.X = (P 2 , K) ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðóïïà åãî ñèììåòðèé Sym(X) òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íàìíîæåñòâå ðåáåð àòîìà X .Îïðåäåëåíèå 10.
ÀòîìÍàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò èç êíèãè Áîëñèíîâà À.Â., Ôîìåíêî À.Ò.[1].Òåîðåìà 1. ÏóñòüX = (P 2 , K)- íåêîòîðûé àòîì, ðàññìàòðèâàåìûé êàê îñíà-G - ñîîòâåòñòâóþùèé åìó f -ãðàô. Òîãäà ãðóïïà Sym(G) èçîìîðôíàSym(X).ùåííàÿ ïàðà, àãðóïïå4Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî àòîìX = (P 2 , K)ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî ñèììåòðè÷íûìòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãðóïïà ñèììåòðèé åãîäåéñòâóåò íà âåðøèíàõf -ãðàôà Sym(G)òðàíçèòèâíîf -ãðàôà.3.
Âûñîòíûå àòîìû ñ ãðóïïîé ñèììåòðèé,òðàíçèòèâíîé íà êîëüöàõ îäíîãî öâåòàÏåðåôîðìóëèðóåì òåïåðü â òåðìèíàõf -ãðàôàóñëîâèå, ÷òî ãðóïïà ñèììåòðèéàòîìà äåéñòâóåò òðàíçèòèâíî íà êîëüöàõ áåëîãî öâåòà. Íàïîìíèì, ÷òî â ïîñòðîåííîìf -ãðàôåèñõîäíîãî àòîìà îðèåíòèðîâàííûå öèêëû ñîîòâåòñòâóþò áåëûì êîëü-öàì, òîãäà îðèåíòèðîâàííûå öèêëûf -ãðàôàäâîéñòâåííîãî ê èñõîäíîìó àòîìà áó-äóò ñîîòâåòñòâîâàòü ÷¼ðíûì êîëüöàì èñõîäíîãî àòîìà. Çàìåòèì, ÷òî åñëè íàì äàíîïëîñêîå âëîæåíèåf -ãðàôàèñõîäíîãî àòîìà, òî îðèåíòèðîâàííûå öèêëû áóäóò ñî-îòâåòñòâîâàòü áåëûì êîëüöàì, à ãðàíè - ÷¼ðíûì.X = (P 2 , K)- àòîì ñ ãðóïïîé ñèììåòðèé Sym(X), àG- ñîîòâåòñòâóþùèé åìó f -ãðàô. Òîãäà Sym(X) òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íà êîëüöàõ áåëîãî öâåòà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Sym(G) òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íàÓòâåðæäåíèå 1.
Ïóñòüîðèåíòèðîâàííûõ öèêëàõ.Äîêàçàòåëüñòâî.Óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç êîíñòðóêöèè ïîñòðîåíèÿ f-ãðàôà ïîàòîìó : îðèåíòèðîâàííûå öèêëû ñòàâÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó áåëîìó êîëüöóàòîìà. Çàìåòèì, åñëè, êðîìå ýòîãî,G1 -f -ãðàôäâîéñòâåííîãî ê èñõîäíîìó àòîìà èSym(G1 ) òðàíçèòèâíî äåéñòâóåò íà îðèåíòèðîâàííûõ öèêëàõ G1 , òî ãðóïïà ñèììåòðèé êàê èñõîäíîãî àòîìà, òàê è äâîéñòâåííîãî, òðàíçèòèâíî äåéñòâóò íà êîëüöàõîáîèõ öâåòîâ. äàëüíåéøåé ðàáîòå íàì ïîíàäîáÿòñÿ óòâåðæäåíèÿ, âçÿòûå èç ñòàòüè È.Ì.Íèêîíîâà[6].X = (P 2 , K) − àòîì ñ ãðóïïîé ñèììåòðèé Sym(X), à G− ñîîòâåòñòâóþùèé åìó f -ãðàô.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
