Интегрируемые бильярдные книжки моделируют все 3-атомы интегрируемых гамильтоновых систем (1121277), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íåêîòîðîãî îðèåíòèðóåìîãî ñåäëîâîãî 2-àòîìàíà îêðóæíîñòü S 1 .2. Âòîðîé ñïîñîá óñòðîåí íåñêîëüêî ñëîæíåå. Çäåñü ìû ïîëó÷èì àòîì ñîçâåçäî÷êàìè. Ïóñòü äàí 2-ìåðíûé îðèåíòèðóåìûé ñåäëîâîé àòîì P̂ . Äëÿîïðåäåëåííîñòè ôèêñèðóåì íà í¼ì ôóíêöèþ fˆ, êîòîðàÿ çàäàåò ñëîåíèå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà íåì çàäàíà èíâîëþöèÿ, ò.å. ãëàäêîå îòîáðàæåíèåτ : P̂ −→ P̂ , îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:(a) τ 2 = id,(b) τ ñîõðàíÿåò óðîâåíü, ò.å. fˆ(τ (x)) = fˆ(x),(c) τ ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ,(d) íåêîòîðîå êîíå÷íîå ÷èñëî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè èíâîëþöèè τÄëÿ ïîñòðîåíèÿ 3-àòîìà ðàññìîòðèì öèëèíäð P × [0, 2π] è ñêëåèì åãîîñíîâàíèÿ ïî èíâîëþöèè τ , îòîæäåñòâëÿÿ òî÷êè (x, 2π) è (τ (x), 0).  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îðèåíòèðóåìîå 3-ìíîãîîáðàçèå U c êðàåì. Ôóíêöèÿfˆ åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæàåòñÿ íà U , ïîñêîëüêó fˆ(τ (x)) = fˆ(x), èåå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ çàäàþò ñòðóêòóðó ñëîåíèÿ íà U ñ åäèíñòâåííûìîñîáûì ñëîåì.
Îòìåòèì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêè ìíîãîîáðàçèå U ÿâëÿåòñÿðàññëîåíèåì íàä îêðóæíîñòüþ ñî ñëîåì P̂ .Åñëè ïðîôàêòîðèçîâàòü P̂ ïî èíâîëþöèè τ , ïîëó÷èì äðóãîé 2-àòîì P .Âûäåëèì íà íåì çâåçäî÷êàìè òî÷êè íà êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè, êîòîðûå ñîõðàíÿþòñÿ ïîä äåéñòâèåì èíâîëþöèè τ . Ïîëó÷åííûé 2-àòîì P ñ15âûäåëåííûìè çâåçäî÷êàìè íàçûâàåòñÿ àòîìîì ñî çâåçäî÷êàìè, à 2-àòîìP̂ íàçûâàåòñÿ äóáëåì P .Èíîãäà â ïîñëå ôàêòîðèçàöèè ïîëó÷àåòñÿ êîëüöî, ðàññëîåííîå íà îêðóæíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ó íàñ àòîì A ñî çâåçäî÷êàìè.ßñíî, ÷òî äóáëü P̂ ÿâëÿåòñÿ ðàçâåòâëåííûì äâóëèñòíûì íàêðûòèåì íàä2-àòîìîì P , ïðè÷åì òî÷êàìè âåòâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êàê ðàç çâåçäî÷êè àòîìà P .Ñëåäóåò èìåòü ââèäó, ÷òî äóáëåé ó îäíîãî àòîìà ñî çâåçäî÷êîé ìîæåòáûòü íåñêîëüêî è âñå îíè çàäàþò îäèí è òîò æå 3-àòîì.
Ïîýòîìó ìíîãîîáðàçèå U îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ àòîìîì ñî çâåçäî÷êàìè P .Ñâÿæåì ñ òàêèì àòîìîì ãðàô, ÿâëÿþùèéñÿ ãðàôîì äëÿ 2-àòîìà P , íîäîáàâèì ê ìíîæåñòâó åãî âåðøèí çâåçäî÷êè. Ñëîæíîñòü àòîìà ñî çâåçäî÷êîé - ýòî ÷èñëî âåðøèí åãî ãðàôà.Òàêèì îáðàçîì âñå îðèåíòèðóåìûå 3-àòîìû ìîæíî îïèñàòü îðèåíòèðóåìûìè2-àòîìàìè è îðèåíòèðóåìûìè 2-àòîìàìè, íà êîòîðûõ ñòîèò êîíå÷íîå ÷èñëîçâåçäî÷åê íà êðèòè÷åñêîì óðîâíå.Ïðèìåð 1. Íà ðèñ.
17 ïðèâåäåí ïðèìåð ïðîñòîãî 3-àòîìà A∗ . Îí óñòðîåííåñêîëüêî ñëîæíåå àòîìà  (ñì. ðèñ. 16), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì âîñüì¼ðêè íà îêðóæíîñòü. Íóæíî óäàëèòü èç ïîëíîòîðèÿ ëèøü îäíîòîíêîå ïîëíîòîðèå, íî îáõîäÿùåå äâà ðàçà âäîëü îñè. Îñîáûé ñëîé L ïîëó÷àåòñÿ ïðîòàñêèâàíèåì âäîëü îêðóæíîñòè âðàùàþùåéñÿ âîñüìåðêè, óñïåâàþùåéïðîâåðíóòüñÿ íà óãîë π çà îäèí îáîðîò.
Ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç îñîáûé óðîâåíü îäèí òîð ïåðåñòðàèâàåòñÿ â îäèí òîð.Ðèñ. 15: 3-àòîì A.Ðèñ. 16: 3-àòîì B .16Ðèñ. 17: 3-àòîì A∗ .6Ìîäåëèðîâàíèå 3-àòîìîâ ïðè ïîìîùè áèëëèàðäíûõ êíèæåêÃèïîòåçà (À.Ò. Ôîìåíêî) Áèëëèàðäíûå êíèæêè ïîçâîëÿþò ìîäåëèðîâàòü:1.âñå 3-àòîìû2.âñå ãðóáûå ìîëåêóëû Ôîìåíêî3.âñå ìå÷åííûå ìîëåêóëû Ôîìåíêî-ÖèøàíãàÓäàëîñü äîêàçàòü ïåðâóþ ÷àñòü ãèïîòåçû À.Ò. Ôîìåíêî.Òåîðåìà 2.Äëÿ ëþáîãî ñåäëîâîãî îðèåíòèðóåìîãî 3-àòîìà ñóùåñòâóåò áèë-ëèàðäíàÿ êíèæêà, òàêàÿ ÷òî â å¼ èçîýíåðãåòè÷åñêîì ìíîãîîáðàçèèä¼òñÿε-îêðåñòíîñòüîñîáîãî óðîâíÿλ = b,Q3íàé-ïîñëîéíî ãîìåîìîðôíàÿ ýòîìóàòîìó.Çàìå÷àíèå 11.
Îñîáîìó óðîâíþ λ = b ñîîòâåòñòâóþò òðàåêòîðèè, ëåæàùèåíà ïðÿìûõ, êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåç ôîêóñû.Çàìå÷àíèå 12. Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé íåñåäëîâîãî 3-àòîìà íàì íå èíòåðåñåí,ïîñêîëüêó îí âñòðå÷àåòñÿ â êàæäîé áèëëèàðäíîé êíèæêå íà óðîâíÿõ λ = 0 èλ = a.Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ïðîñòåéøóþ áèëëèàðäíóþ îáëàñòü,îãðàíè÷åííóþ ýëëèïñîì, ãèïåðáîëîé è äâóìÿ ïðÿìûìè (ñì.
ðèñ. 21). À áèëëèàðäíàÿ êíèæêà ïóñòü ñîñòîèò èç îäíîãî ëèñòà, òî åñòü ïåðåñòàíîâêè íàãðàíèöàõ - òîæäåñòâåííûå ïåðåñòàíîâêè èç îäíîãî ýëåìåíòà.Âñïîìíèì êàíîíè÷åñêóþ ïðîåêöèþ π : M 4 −→ ω 0 èç îïðåäåëåíèÿ 8. Ðàññìîòðèì ýòó ïðîåêöèþ òîëüêî íà òî÷êàõ èç Q3 è ýòî ñóæåíèå áóäåì äàëüøåòàêæå íàçûâàòü π : Q3 −→ ω 0 .Óðîâíþ λ = 0, îòâå÷àåò òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ òîëüêî ïî ãðàíèöåýëëèïñà. Òî åñòü ïðîåêöèÿ π èç îïðåäåëåíèÿ 8 ýòîãî óðîâíÿ íà ω 0 - ýòî äóãàýëëèïñà.
À â ïðîîáðàçå êàæäîé åå òî÷êè ëåæàò òîëüêî âåêòîðû, èäóùèå íàëåâî è íàïðàâî, ïðè÷åì, ñòàëêèâàÿñü î ëåâóþ èëè ïðàâóþ ãðàíèöó ëåâûé âåêòîðñêëåèâàåòñÿ ñ ïðàâûì, îáðàçóÿ îêðóæíîñòü (ñì. ðèñ. 18).Áëèçêèå ðåãóëÿðíûå óðîâíè - ýòî óðîâíè λ = ε.
Äîêàæåì, ÷òî åãî ïðîîáðàçòîð. Óðîâíþ λ = ε îòâå÷àþò òðàåêòîðèè, êîòîðûå êàñàþòñÿ ýëëèïñà, áëèçêîãîê ãðàíè÷íîìó. Ïðîåêöèÿ π âñåõ òî÷åê èç Q3 , ëåæàùèõ íà ýòîì óðîâíå åñòü ω 0áåç âíóòðåííåé ÷àñòè ýëëèïñà c ïàðàìåòðîì ε (ñì. ðèñ. 18), ïîñêîëüêó òî÷êèâíóòðè ýëëèïñà íå ìîãóò ëåæàòü íà ïðÿìûõ, êàñàþùèõñÿ åãî. Îáîçíà÷èì ýòó÷àñòü ω 0 çà ωε0 . Òîãäà â ïðîîáðàçå êàæäîé òî÷êè ëåæèò 4 âåêòîðà v1 , v2 , v3 , v4 .Íà âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöå ñêëåèâàþòñÿ âåðõíèé è íèæíèé âåêòîðû, íà17ëåâîé è ïðàâîé ãðàíèöå - ëåâûé è ïðàâûé âåêòîðû. Åñëè èçîáðàçèòü ÷åòûðåäâóìåðíûõ äèñêà, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷åòûðåì âåêòîðàì, à íà ãðàíèöàõ îáîçíà÷èòü ñêëåéêè ýòèõ âåêòîðîâ è ñêëåèòü èõ, ïîëó÷èì äâóìåðíûé òîð (ñì. ðèñ.19).Ðèñ. 18: Áèëëèàðäíàÿ êíèæêà, ìîäåëèðóþùàÿ 3-àòîì A .Ðèñ.
19: Ñêëåéêà äâóìåðíûõ äèñêîâ, îòâå÷àþùèõ âåêòîðàì v1 , v2 , v3 , v4 , â òîð.Òàêèì îáðàçîì îêðåñòíîñòü óðîâíÿ λ = 0 ñîñòîèò èõ òîðîâ, óìåíüøàþùèõñÿ äî îêðóæíîñòè, íàõîäÿùåéñÿ íà êðèòè÷åñêîì óðîâíå, à ýòî è åñòü 3-àòîìÀ. À ëþáîé íåñåäëîâîé àòîì - ýòî àòîì À ìèíèìóìà èëè ìàêñèìóìà ôóíêöèè.Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ. Ïóñòü äàí ïðîèçâîëüíûé ñåäëîâîé 3-àòîì U áåççâåçäî÷åê. Òîãäà U = P × S 1 , ãäå P - ñîîòâåòñòâóþùèé åìó 2-àòîì. Îí ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñêëåéêè èç k êðåñòîâ, ãäå k ∈ N - ñëîæíîñòü àòîìà.
P ìîæíî18ïîãðóçèòü â ïëîñêîñòü ñ ñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè (ñì. [3, ñòð. 96]). Òîãäà íàêàæäîì èç ðåáåð ãðàôà, ñîîòâåòñòâóþùåãî àòîìó P ìîæíî çàäàòü íàïðàâëåíèå òàê, ÷òîáû îòðèöàòåëüíûé óðîâåíü îñòàâàëñÿ ñëåâà. Ýòî íàïðàâëåíèåìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ïî íåïðåðûâíîñòè íà áëèçêèå ðåãóëÿðíûå óðîâíè. Ðàçäåëèì åãî ïîïîëàì ïî ïîëîæèòåëüíîìó óðîâíþ. Òîãäà êàæäûé êðåñò âûãëÿäèò òàê, êàê óêàçàíî íà ðèñ. 20. Çàôèêñèðóåì ïîëîæåíèå êðåñòîâ â ïëîñêîñòè,êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Òåïåðü ìû ìîæåì íàçûâàòü ïîëîâèíû êðåñòîâ âåðõíèìè è íèæíèìè. Çàíóìåðóåì êðåñòû.
Íà i-ì êðåñòå ïîñòàâèì ñâåðõó èíäåêñ2i − 1, ñíèçó 2i. È òåïåðü ìû ìîæåì óêàçàòü ñêëåéêó. Ñêëåéêà ñîäåðæèò ïðîñòåéøóþ áèëëèàðäíóþ îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ ýëëèïñîì, ãèïåðáîëîé è äâóìÿïðÿìûìè, óêàçàííóþ íà ðèñ. 21. Îñòàëîñü òîëüêî çàäàòü ïåðåñòàíîâêè. Ïðîâåäåì àíàëîãèþ: ïîëîâèíà êðåñòà - ýòî ïðîñòåéøàÿ áèëëèàðäíàÿ îáëàñòü, èçêîòîðîé ñêëååíà êíèæêà, íàïðàâëåíèå íà ðåáðàõ ãðàôà - íàïðàâëåíèå òðàåêòîðèè. σ1 , σ2 , σ3 , σ4 áóäóò ïåðåñòàíîâêàìè èç 2k ýëåìåíòîâ. Òðè èç íèõ ìûìîæåì ñðàçó íàïèñàòü.σ1 = (1 2)(3 4) . .
. (2k − 1 2k), σ3 = σ4 = id(4)Îñòàëîñü óêàçàòü ïåðåñòàíîâêó σ2 . Ñìîòðèì íà èñõîäÿùåå íàïðàâëåíèå i-îéïîëîâèíû êðåñòà. Ýòî ðåáðî ñêëååíî ñ íåêîòîðûì âõîäÿùèì íàïðàâëåíèåì j îé ïîëîâèíû êðåñòà. Çàäàåì σ2 (i) = j . Ïðîäåëàâ òàêóþ îïåðàöèþ äëÿ âñåõïîëîâèí êðåñòîâ, ïîëó÷èì ïåðåñòàíîâêó σ2 èç 2k ýëåìåíòîâ.Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ñåäëîâîãî 3-àòîìà ñî çâåçäî÷êàìè îïèøåì êðàòêî.Ñíà÷àëà ñòðîèì äóáëü äëÿ àòîìà ñî çâåçäî÷êàìè. Ýòî áóäåò ñåäëîâîé àòîìáåç çâåçäî÷åê.
Ïðèìåíÿåì ê íåìó ïåðâóþ ÷àñòü àëãîðèòìà. È óêàçûâàåì σ3òåïåðü íå òîæäåñòâåííîé, à â ñîîòâåòñòâèè ñ èíâîëþöèåé, êîòîðàÿ îïðåäåëåíàíà äóáëå.Äîêàæåì, ÷òî ïîñòðîåííàÿ ïî àëãîðèòìó áèëëèàðäíàÿ êíèæêà äåéñòâèòåëüíî èìååò íà óðîâíå λ = b íàïåðåä çàäàííûéîðèåíòèðóåìûé ñåäëîâîé 3-àòîì U áåç çâåçäî÷åê. Ïóñòü 3-àòîì U áåç çâåçäî÷åê èìååò ñëîæíîñòü k .
Ïî àëãîðèòìó ìû ïîñòðîèì ñêëåéêó ν , ïî êîòîðîéîäíîçíà÷íî ñòðîèòñÿ áèëëèàðäíàÿ êíèæêà ñ 2k ÷èñëîì ëèñòîâ.Âñïîìíèì êàíîíè÷åñêóþ ïðîåêöèþ π : M 4 −→ ω 0 èç îïðåäåëåíèÿ 8. Ðàññìîòðèì ýòó ïðîåêöèþ òîëüêî íà òî÷êàõ èç Q3 è ýòî ñóæåíèå áóäåì äàëüøåòàêæå íàçûâàòü π : Q3 −→ ω 0 .Íà ω 0 åñòü ýëëèïòè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Ôèêñèðóåì ãèïåðáîëó - êîîðäèíàòíóþ ëèíèþ, ïåðåñåêàþùóþ ω 0 .
È ðàññìîòðèì åå ÷àñòü, ëåæàùóþ â ω 0 . Äàëååáóäåì îïóñêàòü òî, ÷òî ýòî äóãà ãèïåðáîëû, èìåíóÿ ïðîñòî ãèïåðáîëîé. Èçó÷èìïðîîáðàç ôèêñèðîâàííîé ãèïåðáîëû â Q3 â ε-îêðåñòíîñòè óðîâíÿ èíòåãðàëà(λ = b). Ïîêàæåì, ÷òî îí ýêâèâàëåíòåí 2-àòîìó P , ñîîòâåòñòâóþùåìó 3-àòîìóU.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.19Ðèñ. 20: Êðåñò, ðàçäåëåííûé íà âåðõíèå è íèæíèå ïîëîâèíû è ñ óêàçàííûì íàïðàâëåíèåì. Çàêðàøåíû óðîâíè c ∈ (−ε, 0), íå çàêðàøåíû óðîâíèc ∈ (0, +ε).Ðèñ. 21: Ñêëåéêà - ïðîñòåéøàÿ áèëëèàðäíàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ ýëëèïñîì, ãèïåðáîëîé è äâóìÿ ïðÿìûìè ñóêàçàííûìè ïåðåñòàíîâêàìè.Ôèêñèðóåì óðîâåíü èíòåãðàëà (λ = b).
 ýòîì ñëó÷àå òðàåêòîðèè ëåæàòíà ïðÿìûõ, êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåç ôîêóñû. Çíà÷èò, äëÿ êàæäîé âíóòðåííåéòî÷êè x ∈ ω 0 åå ïðîîáðàç π −1 (x) ñîñòîèò èç 8k âåêòîðîâ åäèíè÷íîé äëèíû, êîòîðûå íàïðàâëåíû îò èëè ê îäíîìó èç äâóõ ôîêóñîâ íà âñåõ 2k ëèñòàõ. Òîãäàâ ïðîîáðàçå ôèêñèðîâàííîé ãèïåðáîëû ëåæàò 8k âåêòîðîâ, óìíîæåííûõ íàîòðåçîê (ñì. ðèñ. 22). Ïðèáëèæàÿñü ê ôîêàëüíîé îñè âåêòîðû, íàïðàâëåííûåâíèç è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåêòîðû, íàïðàâëåííûå ââåðõ, ñòàíîâÿòñÿ áëèæå,è íà ôîêàëüíîé îñè óæå ñîâïàäàþò. Òî åñòü îòðåçêè òàì ñîåäèíÿþòñÿ.
Ïîëó÷àþòñÿ êðèòè÷åñêèå óðîâíè 4k ïîëîâèí êðåñòîâ. 2k ïîëîâèí êðåñòîâ ñîñòîèòèç âåêòîðîâ, íàïðàâëåííûõ âëåâî, îñòàâøèåñÿ 2k ïîëîâèí - èç íàïðàâëåííûõâïðàâî. Óêàæåì íà êàæäîì ïîëóêðåñòå íàïðàâëåíèå: åñëè âåêòîð íàïðàâëåíââåðõ, òî îí ñîîòâåòñòâóåò èñõîäÿùåìó íàïðàâëåíèþ íà ðåáðå ãðàôà ïîëóêðåñòà, âíèç - âõîäÿùåìó.Ðèñ. 22: Ïðîîáðàç ãèïåðáîëû íà óðîâíå λ = b.20Òàêèì îáðàçîì, íà êàæäîì ëèñòå ïðîîáðàç ãèïåðáîëû íà óðîâíå λ = båñòü êðèòè÷åñêèé óðîâåíü äâóõ ïîëóêðåñòîâ ñ ôèêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì.Îäíîìó èç ïîëóêðåñòîâ ñîîòâåòñòâóþò âåêòîðû, íàïðàâëåííûå âëåâî, äðóãîìó- âïðàâî.Ðàññìîòðèì áëèçêèå ðåãóëÿðíûå óðîâíè ê êðèòè÷åñêîìó âñå òàêæå â ïðîîáðàçå ãèïåðáîëû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
