Интегрируемые бильярдные книжки моделируют все 3-атомы интегрируемых гамильтоновых систем (1121277), страница 2
Текст из файла (страница 2)
âåêòîð v1 íàïðàâëåí èç îáëàñòè ω 0 , âåêòîð v2 - âíóòðü îáëàñòè ω 00, ãäå σ - ïåðåñòàíîâêà, ïðèïèñàííàÿ ê ãðàíèöå îáëàñòè,7. x1 ∈ ωi0 , x2 ∈ ωσ(i)íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ òî÷êà π((x1 , v1 )), åñëè ãðàíèöà ω 0 - ãëàäêàÿ â ýòîéòî÷êå8. x1 ∈ ωi0 , x2 ∈ ωσ0 1 ◦σ2 (i) , ãäå σ1 è σ2 - ïåðåñòàíîâêè, ïðèïèñàííûå ê äóãàìãðàíèöû îáëàñòè, íà êîòîðûõ íàõîäèòñÿ òî÷êà π((x1 , v1 )), åñëè ýòà òî÷êàÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà íà ãðàíèöå îáëàñòè ω 0Ïîëó÷åííîå ïîñëå ôàêòîðèçàöèè òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è áóäåì îáîçíà÷àòü äàëåå êàê M 4 .Çàìå÷àíèå 7. Òî÷êà íà M 4 - ýòî, ïî ñâîåé ñóòè, ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé ÷à-ñòèöû, äâèæóùåéñÿ ïî îáëàñòè, êîòîðîå ôèêñèðóåòñÿ òî÷êîé íà áèëëèàðäíîéêíèæêå è åå âåêòîðîì ñêîðîñòè.Íà M 4 åñòü äâå ôóíêöèè, êîòîðûå ïîñòîÿííû íà ïðîòÿæåíèè âñåé òðàåêòîðèè (èíòåãðàëû), - ýòî êâàäðàò ìîäóëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè, ïîñêîëüêó ìûðàññìàòðèâàåì äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöû áåç òðåíèÿ è ñ àáñîëþòíîóïðóãèì îòðàæåíèåì î ãðàíèöó è ïàðàìåòð êâàäðèêè, î êîòîðîì ïîéäåò ðå÷üíèæå.8Ðèñ.
8: Ïðèìåð, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ñêëåéêà, áèëëèàðäíàÿ êíèæêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîé ñêëåéêå è íèæå îäíèì öâåòîì èçîáðàæåíû âåêòîðû, êîòîðûå ìû ñ÷èòàåì ýêâèâàëåíòíûìè â îïðåäåëåíèè 8. êíèãå Â.Â. Êîçëîâà è Ä.Â. Òðåù¼âà [1, ãë. 4] ñêàçàíî, ÷òî ëþáàÿ áèëëèàðäíàÿ òðàåêòîðèÿ â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé äóãàìè ñîôîêóñíûõ êâàäðèê, êàñàåòñÿ íåêîòîðîé äðóãîé ñîôîêóñíîé ñ íèìè êâàäðèêè (ñì. ðèñ. 9). Ýòî ìîæíîïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì â ýëëèïòè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Êàñàíèå â ÷àñòíîì ñëó÷àå - â ýëëèïòè÷åñêîì áèëëèàðäå ñëåäóåò èç åùåáîëåå ðàííåãî ôàêòà - èç êëàññè÷åñêîé òåîðåìû ßêîáè-Øàëÿ [2].Òåîðåìà 1 (ßêîáè, Øàëü).êâàäðèêå ân-ìåðíîìÊàñàòåëüíûå ïðÿìûå ê ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè íàåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå, ïðîâåäåííûå âî âñåõ òî÷êàõãåîäåçè÷åñêîé, êàñàþòñÿ êðîìå ýòîé êâàäðèêè åùån−1êîíôîêàëüíûõ ñ íåéêâàäðèê, îäíèõ è òåõ æå äëÿ âñåõ òî÷åê ãåîäåçè÷åñêîé.Ñëó÷àé áèëëèàðäíîé êíèæêè â ýòîì ñìûñëå íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò ñëó÷àÿ áèëëèàðäà â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé äóãàìè ñîôîêóñíûõ êâàäðèê.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âñå ëèñòû ñïðîåöèðîâàòü íà îäèí, òî ïîëó÷èòñÿ áèëëèàðä9à)á)â)Ðèñ. 9: Íà âñåõ ðèñóíêàõ ðàññìîòðåí áèëëèàðä â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé äóãàìè ñîôîêóñíûõ êâàäðèê. Íà ðèñóíêå à) òðàåêòîðèÿ êàñàåòñÿ ñîôîêóñíîãîýëëèïñà, íà ðèñóíêå á) - ñîôîêóñíîé ãèïåðáîëû. Ðèñóíîê â) èëëþñòðèðóåòáèëëèàðä â ýëëèïñå.
 äàííîì ñëó÷àå òðàåêòîðèÿ êàñàåòñÿ åùå îäíîãî ñîôîêóñíîãî ñ íèì ýëëèïñà.â ïðîñòåéøåé îáëàñòè ω 0 , îãðàíè÷åííîé äóãàìè ñîôîêóñíûõ êâàäðèê. È òîãäà, íà ïðîòÿæåíèè âñåé òðàåêòîðèè áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ïàðàìåòð êâàäðèêè λ,êîòîðîé êàñàåòñÿ òðàåêòîðèÿ ïîñëå ïðîåêöèè (ñì. ðèñ. 10). Ýòî è áóäåò åùåîäíèì èíòåãðàëîì.ßâíûé âèä èíòåãðàëîâ. Ïóñòü m ∈ M 4 . áåðåì ëþáóþ òî÷êó m0 èç êëàññàFýêâèâàëåíòíîñòè òî÷êè m. Ýòî áóäåò òî÷êà èç ( ni=1 ωi0 ) × R2 . È ñîïîñòàâèì åéòî÷êó m00 = (x1 , x2 , v1 , v2 ) â ïðîñòðàíñòâå R4 , ïîëó÷åííóþ çàáûâàíèåì, êàêîìóèç ëèñòîâ ïðèíàäëåæèò m0 .
Òîãäà èíòåãðàëû áóäóò èìåòü âèä:(2)v = v12 + v222v12 bv22 a(x1 v2 − x2 v1 ) ++(3)22v1 + v2F ñèëó îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè íà ïðîñòðàíñòâå ( ni=1 ωi0 ) × R2 (ñì. îïð.8) çíà÷åíèå ôóíêöèé íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëÿ m0 , òî åñòü ôóíêöèèêîððåêòíî çàäàíû.λ=Îïðåäåëåíèå 9.Èçîýíåðãåòè÷åñêèì òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîìâåì Q := {m ∈ M : v(m) = 1}, ãäå v(m) çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (2).3íàçî-4Áóäåì èçó÷àòü òîïîëîãèþ Q3 , ðàññëàèâàÿ åãî íà óðîâíè èíòåãðàëà λ. Äëÿýòîãî íàì ïîíàäîáèòñÿ èíñòðóìåíò, îïèñàííûé â êíèãå [3] À.Â. Áîëñèíîâà,À.Ò.
Ôîìåíêî, à èìåííî: ïîíÿòèÿ àòîìîâ è ìîëåêóë.4Àòîì. Ìîëåêóëà.Ðàññìîòðèì ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå X n è íà íåì ãëàäêóþ ôóíêöèþ f : X −→ R.10Ðèñ. 10: Ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé, ÷òî òðàåêòîðèÿ íà áèëëèàðäíîé êíèæêåòàêæå êàñàåòñÿ êâàäðèêè, ñîôîêóñíîé ñ ãðàíèöåéÎïðåäåëåíèå 10. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿäëÿ ôóíêöèè f , åñëè âñå÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû íóëþ â ýòîé òî÷êå.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå òî÷êàíàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíîé.êðèòè÷åñêîéÎïðåäåëåíèå 11. Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé äëÿ ôóíê-öèè f , åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòëè÷åí îò íóëÿ.Îïðåäåëåíèå 12.
Óðîâåíü (f = c) íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì, åñëè íà ýòîìóðîâíå åñòü õîòÿ áû îäíà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îí íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì.Îïðåäåëåíèå 13. Ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿêðèòè÷åñêèå òî÷êè íåâûðîæäåíû., åñëè âñå ååôóíêöèåé ÌîðñàÏóñòü f - ôóíêöèÿ Ìîðñà.Îïðåäåëåíèå 14. Ââåäåì íà X ñëåäóþùåå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè: íàêàæäîì óðîâíå ôóíêöèè f òî÷êè x1 è x2 ∈ X áóäåì ñ÷èòàòü ýêâèâàëåíòíûìè,åñëè îíè ïðèíàäëåæàò îäíîé êîìïîíåíòå ñâÿçíîñòè.
Ïðîôàêòîðèçóåì X ïî11ýòîìó îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè è ïîëó÷èì íåêèé ãðàô (ñì. ðèñ. 11), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ãðàôîì Ðèáà äëÿ ôóíêöèè f íà òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâåX.Ðèñ. 11: Ãðàô Ðèáà äëÿôóíêöèé âûñîòû íà òîðå èñôåðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìèÐèñ. 12: Ìîëåêóëà äëÿ ôóíêöèé âûñîòû íàòîðå è ñôåðå ñ äâóìÿ ðó÷êàìèÎïðåäåëåíèå 15. Ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íî ìàëóþ ε−îêðåñòíîñòü íåêîòîðîéòî÷êè ãðàôà Ðèáà, ïðèíàäëåæàùåé ñâÿçíîé êîìïîíåíòå ñëîÿ, ãäå åñòü êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà. Åå ïðîîáðàç ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîãî ãîìåîìîðôèçìà áóäåìíàçûâàòü àòîìîì.Çàìå÷àíèå 8. Âñå âåðøèíû ãðàôà Ðèáà ëåæàò íà êðèòè÷åñêîì ñëîå. Êðîìåòîãî, ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé èìååò ìåðó íóëü, à â ïðîîáðàçå âñåõðåãóëÿðííûõ çíà÷åíèé ëåæèò n − 1-ìåðíûé òîð.Îïðåäåëåíèå 16. Ãðàô Ðèáà âìåñòå ñ óêàçàííûìè àòîìàìè â ñîîòâåòñòâóþ-ùèõ òî÷êàõ íà íåì íàçûâàåòñÿðàçèè X (ñì.
ðèñ. 12).ãðóáîé ìîëåêóëîéäëÿ ôóíêöèè f íà ìíîãîîá-Ââåäåííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ èçíà÷àëüíî áûëè îïðåäåëåíû äëÿ ãëàäêèõôóíêöèé Ìîðñà íà ìíîãîîáðàçèè. Íî, ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå ýòî íå òàê,ìû îáîáùèì ýòó êîíñòðóêöèþ äî ñëó÷àÿ, êîãäà X òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ó êîòîðîãî ïî÷òè âñå òî÷êè äèôôåîìîðôíû äèñêó Dn , à ôóíêöèÿ f :X −→ R íà íåì òîëüêî íåïðåðûâíà.Ãðàô Ðèáà ìîæíî îïðåäåëèòü òàêèì æå ñïîñîáîì.Îïðåäåëåíèå 17. Ðàññìîòðèì ïðîîáðàç òî÷êè íà ãðàôå, êîòîðûé íå ãîìåî-ìîðôåí n − 1-ìåðíîìó òîðó. Ïðîîáðàç äîñòàòî÷íî ìàëîé ε−îêðåñòíîñòè ýòîéòî÷êè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñëîéíîãî ãîìåîìîðôèçìà íàçîâåì àòîìîì.12Îïðåäåëåíèå 18. Ãðàô Ðèáà ñ óêàçàííûìè àòîìàìè â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷-êàõ íàçîâåìñòâå X .ãðóáîé ìîëåêóëîéäëÿ ôóíêöèè f íà òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàí-Çàìå÷àíèå 9.
ßñíî, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà X - ãëàäêîå äâóìåðíîå èëè òðåõ-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, à f - ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ Ìîðñà, òàêîå îïðåäåëåíèå áóäåòñîâïàäàòü ñ áîëåå ðàííèì. Ïîýòîìó, ýòî äåéñòâèòåëüíî îáîáùåíèå îïðåäåëåíèé. ñëó÷àå, êîãäà X - ãëàäêîå äâóìåðíîå èëè òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, àf - ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ Ìîðñà, â êíèãå [3] À.Â. Áîëñèíîâà, À.Ò. Ôîìåíêî â ÿâíîì âèäå îïèñàí âèä âñåõ àòîìîâ è ìîëåêóë.
Êðîìå òîãî, åñëè áû M 4 ó íàñáûëî ãëàäêèì ìíîãîîáðàçèåì, òî òåîðåìà Ëèóâèëëÿ äàëà áû íàì òî, ÷òî âïðîîáðàçå âñåõ ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé íàõîäÿòñÿ òîðû.  íàøåì ñëó÷àå ìû íåìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ îáîèìè ýòèìè ôàêòàìè, òàê ÷òî áóäåì äîêàçûâàòü âèäìîëåêóëû íåçàâèñèìî. Îäíàêî, àíàëîãèÿ ñ ãàìèëüòîíîâûìè äèíàìè÷åñêèìèñèñòåìàìè ñóùåñòâóåò.  òåîðèè ãàìèëüòîíîâûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ìîëåêóëà îïèñûâàåò òîïîëîãèþ îêðåñòíîñòè êàæäîãî îòäåëüíîãî óðîâíÿ. Ïîýòîìó,îïèñàâ ìîëåêóëó íàøåé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, ìû ñìîæåì óêàçàòü ñ êàêèìèäèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè è â êàêîé îêðåñòíîñòè ñîâïàäàåò íàøà.5Îáùèé âèä 3-àòîìîâ. ñëó÷àå, êîãäà ìíîãîîáðàçèå X èìååò ðàçìåðíîñòü 2, òî àòîìû áóäåì íàçûâàòü 2-àòîìàìè, êîãäà ðàçìåðíîñòü 3 3-àòîìàìè.Íèæå â ðàçäåëå áóäåò îïèñàíà òåîðèÿ, ïîäðîáíî èçëîæåííàÿ â êíèãå [3]À.Â.
Áîëñèíîâà, À.Ò. Ôîìåíêî.2-àòîìû îïèñûâàþò ïåðåñòðîéêó îäíîãî êîëè÷åñòâà îêðóæíîñòåé â äðóãîå,3-àòîìû - ïåðåñòðîéêó òîðîâ, òàê êàê íà ðåáðàõ ñòîÿò ðåãóëÿðíûå òî÷êè.Àòîìû áûâàþò äâóõ ñîðòîâ: àòîìû òèïà A (ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà ôóíêöèè) è ñåäëîâûå àòîìû. Àòîìû ïåðâîãî òèïà ïîñëîéíî ãîìåîìîðôíû äâóìåðíîìó äèñêó D, ðàññëîåííîìó íà îêðóæíîñòè, â ñëó÷àå 2-àòîìà è D × S 1 , ðàññëîåííîìó íà òîðû, â ñëó÷àå 3-àòîìà.íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàç ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè 0 ôóíêöèè x − y , çàäàííîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0) ñî ñòðóêòóðîéñëîåíèÿ, íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî, ÷òîáû ãîâîðèòü î ïîñëîéíîì ãîìåîìîðôèçìå(ñì. ðèñ.
13). Çäåñü óðîâåíü 0 - êðèòè÷åñêèé.Îïðåäåëåíèå 19.2Êðåñòîì2Ëþáîé ñåäëîâîé 2-àòîì P ìîæåò áûòü ñêëååí èç k ∈ N êðåñòîâ òàê, ÷òîáû êàæäûé óðîâåíü (x2 − y 2 = c), c ∈ (−ε, +ε) íà îäíîì êðåñòå ñêëåèâàëñÿ13Ðèñ. 13: Êðåñò. Çàêðàøåíû óðîâíè c ∈ (−ε, 0), íå çàêðàøåíû óðîâíè c ∈(0, +ε).Ðèñ.
14: Òàáëèöà íåêòîðûõ 2-àòîìîâ. Òóò ìîæíî ÿâíî óâèäåòü, êàê íóæíîñêëåèâàòü êðåñòû, ÷òîáû ïîëó÷èòü àòîì.ñîîòâåòñòâóþùèì óðîâíåì (x2 − y 2 = c) íà äðóãîì êðåñòå (ñì. ðèñ. 14). kíàçûâàåòñÿ ñëîæíîñòüþ àòîìà P .Ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ, êàê îðèåíòèðóåìûå (êàê ñàìîñòîÿòåëüíîå ìíîãîîáðà14çèå) àòîìû, òàê è íåîðèåíòèðóåìûå. Îðèåíòèðóåìûå àòîìû ìîãóò áûòü ïîãðóæåíû â ïëîñêîñòü.Åñòåñòâåííî ñâÿçûâàòü ñ 2-àòîìîì ãðàô, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîìêðèòè÷åñêèõ óðîâíåé, íåñêîëüêî êîëåö, ÿâëÿþùèõñÿ ïðîîáðàçîì (−ε, 0) è íåñêîëüêî êîëåö, ÿâëÿþùèõñÿ ïðîîáðàçîì (0, +ε). Ó òàêîãî ãðàôà âåðøèíû ìîãóòáûòü òîëüêî êðàòíîñòè 0 èëè 4.Çàìå÷àíèå 10. 3-àòîìû áûâàþò òàêæå, êàê îðèåíòèðóåìûìè, òàê è íåîðè-åíòèðóåìûìè. Åñëè íà êàêîì-òî óðîâíå âîçíèêàåò íåîðèåíòèðóåìûé àòîì, òîìíîãîîáðàçèå â öåëîì ïîëó÷àåòñÿ íåîðèåíòèðóåìûì.  òåîðèè èíòåãðèðóåìûõãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì áûâàþò òîëüêî îðèåíòèðóåìûå ìíîãîîáðàçèÿ, ïîýòîìóâîïðîñ î ïðåäñòàâëåíèè íåîðèåíòèðóåìûõ 3-àòîìîâ ïîêà íåàêòóàëåí.Ëþáîé îðèåíòèðóåìûé ñåäëîâîé 3-àòîì ìîæåò áûòü ïîëó÷åí îäíèì èç äâóõñïîñîáîâ:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
