Интегрируемые бильярдные книжки моделируют все 3-атомы интегрируемых гамильтоновых систем (1121277), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Óðîâíþ λ = b − ε îòâå÷àþò òðàåêòîðèè, êîòîðûå êàñàþòñÿÐèñ. 23: Ïðîîáðàç ãèïåðáîëû íàóðîâíå λ = b − ε.Ðèñ. 24: Ïðîîáðàç ãèïåðáîëû íàóðîâíå λ = b + ε.òîíêîãî ýëëèïñà, áëèçêîãî ê ôîêàëüíîìó îòðåçêó. Ïðîåêöèÿ π âñåõ òî÷åê èçQ3 , ëåæàùèõ íà ýòîì óðîâíå åñòü ω 0 áåç âíóòðåííåé ÷àñòè ýëëèïñà (ñì.
ðèñ.23), ïîñêîëüêó òî÷êè âíóòðè ýëëèïñà íå ìîãóò ëåæàòü íà ïðÿìûõ, êàñàþùèõñÿ00åãî. Îáîçíà÷èì ýòó ÷àñòü ω 0 çà ωb−ε. Òîãäà â ïðîîáðàçå âíóòðåííèõ òî÷åê ωb−εëåæèò 8k âåêòîðîâ(ñì. ðèñ. 23). Âåêòîðû íàïðàâëåííûå âíèç è ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåêòîðû, íàïðàâëåííûå ââåðõ òàê æå, êàê è íà êðèòè÷åñêîì óðîâíåλ = b ñêëåèâàþòñÿ, ïðèáëèæàÿñü ê ãðàíèöå ýëëèïñà. Ïîýòîìó ïðîîáðàç ãèïåðáîëû òàêæå ñîñòîèò èç äâóõ ñêëååííûõ îòðåçêîâ. Îäíàêî, òóò îíè íå äîõîäÿòäî ôîêàëüíîé ïðÿìîé è íàõîäÿòñÿ âûøå êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ.
Çäåñü ìîæíîòàêæå óêàçàòü íàïðàâëåíèå, êàê è íà êðèòè÷åñêîì óðîâíå (ñì. ðèñ. 23).Óðîâíþ λ = b + ε îòâå÷àþò òðàåêòîðèè, êîòîðûå êàñàþòñÿ óçêîé ãèïåðáîëû, áëèçêîé ê ëó÷àì íà ôîêàëüíîé ïðÿìîé, âûõîäÿùèì èç ôîêóñîâ â áåñêîíå÷íîñòü. Ïðîåêöèÿ π âñåõ òî÷åê èç Q3 , ëåæàùèõ íà ýòîì óðîâíå åñòü ω 0 ,y2x2+ −ε= 1 ëåæèò âíå ω 0 è èç ëþáîé òî÷êè èç ω 0 ìîæïîñêîëüêó ãèïåðáîëà a−b−εíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ ê íåé. Òîãäà â ïðîîáðàçå âíóòðåííèõ òî÷åê ω 0 ëåæèò8k âåêòîðîâ (ñì. ðèñ.
24), à â ïðîîáðàçå êàæäîé ÷àñòè ôèêñèðîâàííîé ãèïåðáîëû ëåæèò 8k âåêòîðîâ, óìíîæåííûõ íà îòðåçîê. Íà ôîêàëüíîé ïðÿìîé îíèíå ñêëåèâàþòñÿ. Êðèòè÷åñêèé óðîâåíü ïðè ìàëîì ñäâèãå íà ε íà êàæäîé ïîëîâèíå êðåñòà ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ñâÿçíûå êîìïîíåíòû: âåêòîðû, èäóùèå íàâåðõè âíèç. Íà íèõ òàêæå ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íàïðàâëåíèå ñîîòâåòñòâóþùååâåêòîðàì äâèæóùèìñÿ íàâåðõ è âíèç (ñì. ðèñ. 24).Òàêèì îáðàçîì, íà êàæäîì ëèñòå ïðîîáðàç ãèïåðáîëû â ε-îêðåñòíîñòèóðîâíÿ λ = b åñòü äâà ïîëóêðåñòà, íà êîòîðûõ ìîæíî åñòåñòâåííûì îáðàçîì21ôèêñèðîâàòü íàïðàâëåíèå. Îäíîìó èç ïîëóêðåñòîâ ñîîòâåòñòâóþò âåêòîðû,íàïðàâëåííûå âëåâî, äðóãîìó - âïðàâî.Îñòàëîñü ïðîâåðèòü, ÷òî 2-àòîì P ïðàâèëüíî ñêëååí èç ïîëóêðåñòîâ.
Ïóñòüâñå òàêæå ôèêñèðîâàíà ãèïåðáîëà èç ýëëèïòè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Ñìîòðèì íàåå ïðîîáðàç.×òî ïðîèñõîäèò íà ÷àñòè ãðàíèöû, ñîñòîÿùåé èç îòðåçêà ôîêàëüíîé ïðÿìîé?Íà i-ì ëèñòå âåêòîð, íàïðàâëåííûé âíèç, ñêëåèâàåòñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìâåêòîðîì, íàïðàâëåííûì ââåðõ íà σ1 (i)-ì ëèñòå ñîãëàñíî îòíîøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè èç îïðåäåëåíèÿ 8 M 4 .  ñëó÷àå óðîâíÿ λ = b + ε íà êàæäîìïîëóêðåñòå åñòü òîëüêî îäèí òàêîé âåêòîð.  ñëó÷àå óðîâíÿ λ = b òîæå îäèí,íî òîò, êîòîðûé ïîëó÷èëñÿ ñêëåéêîé âåêòîðîâ, íàïðàâëåííûõ âíèç è íàïðàâëåííûõ ââåðõ.
Òî åñòü, ïî ñóòè, òàì ñêëåèâàþòñÿ 4 âåêòîðà â 1.  ñëó÷àåóðîâíÿ λ = b − ε òàêèõ âåêòîðîâ è âîâñå íåò. Ïðè ýòîì, åñëè âåêòîðû êàñàëèñüýëëèïñà, òî îíè ïåðåõîäÿò íà äðóãîé ëèñò, òàêæå êàñàÿñü òîãî æå ýëëèïñà.Àíàëîãè÷íî ñ ãèïåðáîëîé è ôîêóñàìè. Ïîýòîìó óðîâåíü îñòàåòñÿ òåì æå. Êðîìå òîãî, äâà ïîëóêðåñòà áóäóò ñêëååíû êðåñò, åñëè ìû óêàæåì ïåðåñòàíîâêóσ1 = (1 2)(3 4) . .
. (2k − 1 2k).×òî ïðîèñõîäèò íà ýëëèïòè÷åñêîé ãðàíèöå?Âåêòîðû, íàïðàâëåííûå ââåðõ íà i-ì ëèñòå ñêëåèâàþòñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåêòîðàìè, íàïðàâëåííûìè âíèç íà σ2 (i)-ì ëèñòå ñîãëàñíî îòíîøåíèþýêâèâàëåíòíîñòè â îïðåäåëåíèè 8 M 4 . Òî åñòü èñõîäÿùåå ðåáðî i-ãî ïîëóêðåñòàñêëåèâàåòñÿ ñî âõîäÿùèì ðåáðîì σ2 (i)-ãî ïîëóêðåñòà.
Ïîýòîìó, ÷òîáû çàäàòüñêëåéêó àòîìà P èç êðåñòîâ, íóæíî óêàçàòü σ2 (i) â ñîîòâåòñòâèè ñî ñêëåéêîé êðåñòîâ, ÷òî ìû è ñäåëàëè â àëãîðèòìå. ßñíî,÷òî ïðè ýòîì ñêëåèâàþòñÿñîîòâåòñòâóþùèå óðîâíè.Òàêèì îáðàçîì, â ïðîîáðàçå π −1 ãèïåðáîëû â îêðåñòíîñòè óðîâíÿ λ = b ìûïîëó÷èëè äâà 2-àòîìà P , ñîîòâåòñòâóþùèõ 3-àòîìó U . Îäèí èç íèõ îòâå÷àåòâåêòîðàì, íàïðàâëåííûì â ïðàâî, äðóãîé - âëåâî. Îñòàëîñü ïîíÿòü, ïî÷åìóîêðåñòíîñòü óðîâíÿ λ = b ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíà ïðîîáðàçó ãèïåðáîëû, ñîîòâåòñòâóþùåìó ïðàâûì (èëè ëåâûì) âåêòîðàì, óìíîæåííîìó íà îêðóæíîñòü.Íà ïðàâîé ýëèïòè÷åñêîé è ëåâîé ãðàíèöàõ ïðàâûå è ëåâûå âåêòîðû ñêëåèâàþòñÿ, ïîñêîëüêó ê ýòèì ãðàíèöàì ïðèïèñàíû òîæäåñòâåííûå ïåðåñòàíîâêè.Òî åñòü íà âíóòðåííèõ òî÷êàõ ó íàñ äâà ïîëóêðåñòà, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðàâûìè ëåâûì âåêòîðàì. À íà ãðàíèöàõ ýòè êðåñòû ñêëåèâàþòñÿ, òåì ñàìûì îáðàçóÿîêðóæíîñòü (ñì.
ðèñ. 25).Òàêèì îáðàçîì, îêðåñòíîñòü óðîâíÿ λ = b ïîñëîéíî ýêâèâàëåíòíà ïðîîáðàçó ãèïåðáîëû, óìíîæåííîìó íà îêðóæíîñòü, òî åñòü 2-àòîìó P , óìíîæåííîìóíà îêðóæíîñòü, à ýòî è åñòü 3-àòîì U , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Äîêàçàòåëüñòâî ñëó÷àÿ, êîãäà 3-àòîì U - ñî çâåçäî÷êàìè ïðîâîäèòñÿ àíà22Ðèñ. 25: Ñêëåéêà ëåâûõ è ïðàâûõ âåêòîðîâ äàåò îêðóæíîñòü ïîëóêðåñòîâ .ëîãè÷íî, òîëüêî òåïåðü íà ëåâîé ãðàíèöå îáëàñòè ó íàñ ïðîèñõîäèò ïåðåõîäñ îäíîãî ëèñòà íà äðóãîé, â ñîîòâåòñòâèè ñ èíâîëþöèåé. È òåì ñàìûì ïîëó÷àåòñÿ íå îáû÷íîå óìíîæåíèå íà îêðóæíîñòü, à ðàññëîåíèå, îïèñàííîå âêîíñòðóêöèè àòîìà ñî çâåçäî÷êîé íà ñòð.
15.23Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Â.Â. Êîçëîâ, Ä.Â. Òðåù¼â, Ãåíåòè÷åñêîåóäàðàìè, Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1991ââåäåíèå â äèíàìèêó ñèñòåì ñ[2] Jacobi C. G. J. Vorlesungen uber dynamik. 1884 (Ïåðåâîä íà ðóññêèé ÿçûê:ßêîáè Ê. Ëåêöèè ïî äèíàìèêå Ì.; Ë.: ÎÍÒÈ, 1936)[3][4]Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. Ãåîìåòðèÿ, òîïîëîãèÿ, êëàññèôèêàöèÿ.// À.Â. Áîëñèíîâ, À.Ò. Ôîìåíêî - òîì 1.
Èæåâñê ÍÈÖ "Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà" 1999Òîïîëîãè÷åñêàÿ êëàññèôèêàöèÿ áèëëèàðäîâ â ëîêàëüíî-ïëîñêèõ îáëàñòÿõ,/ Ôîêè÷åâà Â. Â. // Ìàòåìàòè÷åñêèé ñáîðíèê. 2015. Ò. 206, 10. Ñ. 127176.îãðàíè÷åííûõ äóãàìè ñîôîêóñíûõ êâàäðèê24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
