А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1120656), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Общая схема установки, позволяющей наблюдать расщепление, приведена на рис.1.1. Излучающие атомы ( S ) помещаются между полюсами электромагнита.На выходной щели спектрографа (Sp) формируется изображение, позволяющее анализировать спектральный состав излучения. В полюсах магнита имеется сквозное отверстие,позволяющее наблюдать спектр излучения в том числе в направлении вектора напряrженности магнитного поля H . Какуже отмечалось, в рамках теорииЛоренца атомные электроны являются гармоническими осцилляторами, поэтому уравнения движенияатомных электронов при наложениивнешнего магнитного поля имеютследующий вид:r&rr& + ω 2 rr = e rr& , H ,(1.1)0mcздесь ω 0 - частота колебаний атомrного электрона, H - напряженность внешнего магнитного поля.
Вводя обозначениеrΩ = eH 2mc , и расписывая (1.1) в проекциях (ось z направлена по вектору H ), получим&x& = −ω 02 x + 2Ωy& ,[ ]&y& = −ω02 y − 2Ωx& ,(1.2)&z& = −ω02 z.2H.A.Lorentz (1853-1928) – нидерландский физик - теоретик.P.Drude (1863-1906) – немецкий физик.4P.Zeeman (1865-1943) – нидерландский - физик.367Заметим, что колебания электрона вдоль оси z не зависят от наличия магнитного поля ипроисходят с атомной частотой ω 0 . Значит, атом будет излучать на этой частоте, как вотсутствие, так и при наличии внешнего магнитного поля.
Что касается двух оставшихсяуравнений, то несложный их анализ показывает, что колебания в направлении перпенrдикулярном H происходят с частотами ω = ω0 ± Ω (мы полагаем здесь выполненнымусловие Ω << ω 0 ). Таким образом, при наложении магнитного поля атомная линия расщепляется на три (несмещенная частота и две сдвинутых на ± Ω - триплет Лоренца).Особенности углового распределения дипольного излучения (диполь не излучает в направлении колебаний дипольного момента) приводят к тому, что в направлении перпендикулярном магнитному полю будут видны все три линии, в то время как в направлениимагнитного поля будут видны только две смещенные компоненты (центральная частотаисчезнет). Такая картина расщепления действительно наблюдалась экспериментально иизвестна как нормальный эффект Зеемана. В экспериментах, однако, наблюдается ианомальный эффект Зеемана, когда картина расщепления отличается от описанной выше(число линий либо не равно трем, либо величина расщепления не совпадает с рассчитанной).
Однако, и в этом случае порядок величины расщепления правильно описывается рассмотренной выше моделью, и вполне можно было надеяться, что развитие теориив дальнейшем позволит получить согласие с экспериментом и в этом случае.Теория Лоренца удачно сочеталась с моделью атома Томсона5, предложенной имв 1903 году через несколько лет после открытия им же электрона в 1897 году. Хотя теория Лоренца и испытывала ряд трудностей, в частности при описании ферромагнетизма,аномального эффекта Зеемана, количественного объяснения спектров различных элементов и др., в целом она выглядела вполне удовлетворительной.
Казалось, нужны ещенебольшие усилия, и физическая картина мира атомно-молекулярных масштабов будетполностью завершена.Тем не менее, ряд экспериментальных фактов принципиально не укладывался вновую столь успешную теорию. Многочисленные попытки «примирить» теорию с нимипривели, в конце концов, к пониманию, что это принципиально невозможно и послужили толчком к созданию квантовой теории.Обсудим наиболее важные из таких фактов.а) Проблема равновесного электромагнитного излучения.Известно, что любая замкнутая система рано или поздно приходит в состояниетермодинамического равновесия, причем все свойства этого состояния определяютсяодним единственным параметром – температурой.
В данном разделе нас будет интересовать электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии сатомами его излучающими. Такое равновесное излучение проще всего получить внутризамкнутой полости, стенки которой удерживаются при некоторой постоянной температуре T . Испускание и поглощение электромагнитного излучения атомами, образующими стенки полости, приведет к заполнению полости электромагнитным полем, котороеобязательно в конце концов придет в состояние термодинамического равновесия с веществом, а значит тоже будет характеризоваться той же температурой T .
Важнейшая характеристика равновесного излучения – распределение энергии по спектру, которое задается функцией ρ ω - спектральной плотностью энергии электромагнитного поля. Величина ρ ω dω определяет величину энергии поля в единице объема в спектральном интер57J.J.Thomson (1856-1940) – английский физик, Нобелевская премия (1906) «За теоретические и экспериментальные исследования прохождения электричества через газы».8вале от ω до ω + dω , а интеграл по всему спектру есть объемная плотность энергии поля:U = ∫ ρ ω dω .(1.3)Наша задача – научиться вычислять спектральную плотность ρ ω , как функцию температуры.Не ограничивая общности рассмотрения, будем считать, что электромагнитноеполе находится в кубическом объеме с зеркальными стенками6 (размер стенки куба L).Тогда произвольное состояние электромагнитного поля в полости может быть представлено в виде суперпозиции стоячих волн (полевых мод), причем на стенках куба находятся узлы электрического поля волны.
Каждая полевая мода описывает гармонические колебания поля с некоторой частотой, поэтому о таком представлении часто говорят как оразложении поля на осцилляторы. Наша задача заключается в вычислении числа различных типов колебаний (полевых мод) в спектральном интервале (ω, ω + dω) . Умноживпотом полученную величину на среднюю энергию одной полевой моды, мы и получимвыражение для спектральной плотности энергии электромагнитного поля.Рассмотрим сначала одномерный случай.
Условие существования стоячей электромагнитной волны в резонаторе размером L запишем в виде:λ(1.4)n = L,2где n – число длин полуволн, укладывающихся на длине резонатора. Переходя от длиныr rrволны λ к волновому вектору k = e x ⋅ 2π λ ( e x - единичный вектор), перепишем (1.4) ввидеLnx = k x ,(1.5)πили в интервале волновых векторов от k x до k x + dk x укладывается dn x различных нормальных колебаний поля:Ldn x = dk x .(1.6)πДо сих пор мы говорили о стоячих волнах. На практике часто оказывается удобнее говорить о бегущих. Учитывая, что стоячая волна может быть рассмотрена как суперпозициядвух бегущих, распространяющихся в противоположных направлениях, перепишем (1.6)в видеL(1.7)dn x =dk x ,2πгде область определения волнового вектора k x уже продлена на всю числовую ось:k x ∈ (− ∞,+∞ ) .Проводя аналогичные рассуждения для полевых мод, характеризующихся проекrциями волнового вектора k на два других направления, легко записать следующее общее выражение33⎛ L⎞⎛ L⎞dN = dn x dn y dn z = ⎜ ⎟ dk x dk y dk z = ⎜ ⎟ d 3 k .⎝ 2π ⎠⎝ 2π ⎠6(1.8)Вопрос о возможности формировании зеркально отражающей поверхности и из совокупности большогоколичества излучающих и поглощающих атомов требует отдельного рассмотрения, которое находится зарамками нашего изложения.89Поделив полученное на L3 (объем резонатора),r rr получим число полевых мод в единицеобъема в интервале волновых векторов k , k + dk :dndk = d 3 k (2π) 3 .(1.9)Выражение (1.9) носит весьма общий характер вне зависимости от конкретной природыволнового поля.
Применительно к электромагнитному полю надо еще учесть, что одноrму и тому же значению волнового вектора k соответствуют две полевых моды, отличающихся состояниями поляризации. Поэтому для электромагнитного поля в (1.9) должен быть введен множитель «2»:dndk = 2 ⋅ d 3 k (2π) 3 .(1.9’)Определим теперь число различных типов колебаний в интервале частот ω, ω + dω .Вспоминая, что k = ω c и выполняя интегрирование в (1.9’) по всем различным направvлениям волнового вектора k , окончательно получим1ω 2 dω2dndω = 2 ⋅4πk dk = 2 3 .(1.10)(2π) 3π cТеперь очевидно, что спектральная плотность энергии в единице объема естьω2ρ ω dω = ε ω dndω = 2 3 ε ω dω .(1.11)π cЗдесь ε ω - средняя энергия полевой моды с частотой ω .()Найдем величину среднюю энергию ε ω , исходя из следующих соображений.Вспомним, что каждая полевая мода представляет собой гармонический осциллятор, т.е.речь идет фактически о вычислении средней энергии осциллятора, находящегося в состоянии термодинамического равновесия со средой при температуре T .
Учитывая, что всоответствии с законом Больцмана вероятность обнаружить у осциллятора энергию εестьw(ε) = A exp(− ε k B T )(1.12)(здесь A - нормировочная константа, k B - постоянная Больцмана), для средней энергиизапишем∫ εw(ε)dε = k T .(1.13)ε =Bwεdε()∫Полученный ответ есть прямое следствие общего закона классической статистическоймеханики – закона равнораспределения энергии по степеням свободы. На каждую колебательную степень свободы в состоянии термодинамического равновесия приходитсяэнергия равная k B T .
Подставляя полученное значение в (1.11) для спектральной функции ρ ω найдемω2⋅ k BT .(1.14)π2c3Строго выражение (1.14) было получено в 1905 году и носит название формулы Рэлея7 иДжинса8. Отметим еще раз, что полученное выражение получено из наиболее общихпредставлений классической физики и описывает распределение энергии по спектруравновесного электромагнитного излучения. Когда формула Рэлея и Джинса была полуρω =78J.Rayleigh (1842-1919) –английский физик, Нобелевская премия (1904) «За …открытие … аргона».J.Jeans (1877-1946) – английский физик и астрофизик.910чена, ее неудовлетворительность была уже всем очевидна.
Действительно, выполняя интегрирование по частотам, т.е., вычисляя объемную плотность энергии равновесного излучения, имеем∞k BT ∞ 2(1.15)U = ∫ ρ ω dω = 2 3 ∫ ω dω → ∞ .π c 00Таким образом, плотность энергии электромагнитного поля должна быть бесконечна велика. Эта ситуация П.Эренфестом9 была названа «ультрафиолетовой катастрофой». Неудовлетворительность подхода была ясна, конечно, еще с самого начала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
