А.В. Булинский - Программа экзамена по теории вероятностей (1120377)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Программа экзамена по теории вероятностейЛектор — А. В. БулинскийIV семестр, 2004 г.1. Вероятностные модели случайных экспериментов. Алгебра и σ-алгебра подмножеств. Аксиоматика Колмогорова. Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение вероятности.2.

Свойства вероятности. Связь счетной аддитивности, конечной аддитивности и непрерывности. ТеоремаКаратеодори (без доказательства).3. Схема Бернулли. Геометрическое, гипергеометрическое и пуассоновское распределения.4. Функция распределения вероятностной меры на борелевской σ-алгебре B(R), свойства. Построение мерына B(R) по неубывающей функции, непрерывной справа и имеющей должные пределы на ∞ и −∞.5.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры.6. Первая лемма Бореля – Кантелли. Независимость событий (попарная и в совокупности). Вторая леммаБореля – Кантелли.7. Равномерное на отрезке, экспоненциальное и гауссовское (нормальное) распределения.8. Случайные элементы, их распределения вероятностей. Теорема об F |B-измеримости отображения X : Ω →S для случая, когда B = σ {M} и X −1 (M) ⊂ F (рассматриваются измеримые пространства (Ω, F ) и (S, B),M — система подмножеств S).

Действия над действительными случайными величинами. Борелевскиефункции от случайных величин.9. Пополнение вероятностного пространства. Сходимость случайных величин почти наверное. Измеримостьпредельной случайной величины. Построение случайного элемента с заданным распределением. Независимость (попарная и в совокупности) случайных элементов.10. Предельная теорема об асимптотически пуассоновском распределении числа частиц в данных областях Rn .11. π- и λ-системы множеств. Теорема о монотонных классах. Совпадение (вероятностных) мер на σ {K},если они совпадают на π-системе K. Следствие о независимости случайных элементов.

Независимостьслучайных величин в терминах функций распределения.12. Математическое ожидание (интеграл Лебега по вероятностной мере). Конструкция EX. Построение простых случайных величин 0 6 Xn ր X, n → ∞. Лемма о сходимости EXn к EX для 0 6 Xn ր X, n → ∞,где Xn – необязательно простые величины.13. Свойства математического ожидания (линейность, положительность; если X = Y почти наверное, тоEX = EY . Пространства Lp . Гильбертово пространство L2 , неравенство Коши – Буняковского – Шварца.Независимость борелевских функций от непересекающихся наборов, взятых из семейства независимыхслучайных величин. Формула EXY = EX · EY для независимых X, Y ∈ L1 .14.

Построение (с помощью бернуллиевских величин) последовательности независимых случайных величинX1 , X2 , . . . с заданными функциями распределения F1 , F2 , . . . .15. Дисперсия и ковариация, их свойства. Неравенство Чебышева.16. Закон больших чисел в форме Чебышева. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса.17. Теоремы о предельном переходе под знаком математического ожидания (теорема о монотонной сходимости,лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости).18.

Доказательство формулEh(X) =ZΩh X(ω) P (dω) =Zh(x)PX (dx),REh(x) =Zh(z)pX (z) dz,Rгде h — борелевская функция, pX (z) — плотность случайной величины X.19. Схема Пуассона. Оценка точности (по вариации) пуассоновской аппроксимации распределений сумм индикаторных случайных величин.120. Усиленный закон больших чисел для некоррелированных величин.21. Виды сходимости последовательности случайных величин и соотношения между ними.22.

Теорема Этемади.23. Закон нуля или единицы Колмогорова. Усиленный закон больших чисел Колмогорова.24. Критерий слабой сходимости вероятностных мер (теорема А. Д. Александрова без доказательства). Слабаясходимость в терминах функций распределения.25. Слабая относительная компактность и плотность семейства мер. Теорема Хелли. Доказательство теоремыЮ. В. Прохорова для вероятностных мер на B(R).26. Характеристические функции. Формула обращения.27.

Свойства характеристических условий. Теорема Бохнера – Хинчина (необходимость).28. Теорема П. Леви (теорема непрерывности).29. Свертка распределений. Центральная предельная теорема в условиях Линдеберга. Теорема Ляпунова.30. Теорема Феллера. Интегрирование по частям в интеграле Лебега – Стилтьеса. Неклассические условияцентральной предельной теоремы (без доказательства).31. Случайные векторы со значениями в Rn . Характеристические функции векторов. Многомерное нормальное(гауссовское) распределение, его свойства.32. Многомерная центральная предельная теорема.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)