Теормин TViMS (1120368)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Часть I. Теория вероятностей.P( A ∩ B), P( B) ≠ 0P( B)Формула полной вероятности: P ( A) = ∑ ( P( H k ) ∗ P( A | H k ))Условная вероятность: P ( A | B) =kP( H k ) P( A | H k )Формула Байеса: P ( H k | A) =∑ P( H i ) P( A | H i )iСлучайная величина – измеримая функция ξ : Ω → R , причём на R задана σ -алгебраПусть даны два пространства: (Ω, A) и (Λ, l ) . Отображение f : Ω → Λ называетсяизмеримым, если ∀B ∈ l ⇒ f −1 ( B) ∈ A; f −1 ( B) = {ω ∈ Ω : f (ω ) ∈ B}Функция распределения: Fξ ( y ) такая, что Fξ ( y ) = P(ξ ≤ y )Точка роста функции распределения: x0 : ∀ε > 0 ⇒ Fξ ( x0 + ε ) − Fξ ( x0 − ε ) > 01. Fξ (x) называется дискретной, если она имеет не более чем счётное число точекроста.2.

Fξ (x) называется абсолютно непрерывной, если её можно представить в видеxFξ ( x) =∫ pξ (t )dt , гдеpξ (t ) - плотность распределения.−∞3. Fξ (x) называется сингулярной, если она непрерывна и множество точек её ростаимеет нулевую меру Лебега.Теорема Лебега: Пусть ξ -случайная величина с функцией распределения Fξ (x) .

Тогдасуществуют и единственны три функции Fac ( x), Fs ( x), Fd ( x) - соответственно абсолютнонепрерывная, сингулярная и дискретная функции распределения, а также три числаp1 , p 2 , p3 ≥ 0, p1 + p 2 + p3 = 1 такие, что Fξ ( x) = p1 Fac ( x) + p 2 Fs ( x) + p3 Fd ( x) .Математическим ожиданием случайной величины ξ называется Μ ξ = ∫ ξ (ω )Ρ(dω ) ;Ωесли Μξ < ∞ , то говорят, что математическое ожидание существует.Моментом порядка k случайной величины называется Mξ k , центральным моментомпорядка k – M (ξ − Mξ ) k .Момент порядка 2 называется дисперсией: D[ξ ] = Var[ξ ] = M [(ξ − M [ξ ]) 2 ] .Свойства математического ожидания:• M (aξ + bη ) = aMξ + bMη• ξ ≥ 0 ⇒ Mξ ≥ 0• ξ ≤ η ⇒ Mξ ≤ Mη• Mξ ≤ M ξ• ΜC = C• Μξη = ΜξΜ η , если ξ ⊥ ηСвойства дисперсии• D (aξ ) = a 2 Dξ• D(ξ + C ) = DξКовариация: cov(ξ ,η ) = Μ (ξ − Μ ξ )(η − Μη ) , корреляция cor (ξ ,η ) =1cov(ξ ,η )Dξ DηСвойства ковариации:• Если ξ и η независимы, то cov(ξ ,η )0, D(ξ + η ) = Dξ + Dη• D(ξ + η ) = Dξ + Dη + 2 cov(ξ ,η )Dξ + Dη• cov(ξ ,η ) ≤2• cov(ξ ,η ) ≤ Dξ DηНеравенство Коши-Буняковского: Μ ξη ≤ Μ ξ 2 * Μ η 2Неравенство Йенсена: Если функция g(x) выпукла, то для любой случайной величины ξΜ g (ξ ) ≥ g ( Mξ )ΜξНеравенстно Маркова: Если ξ >0, тогда ∀ε : Ρ(ξ > ε ) <.

Если дополнительно ξ <C,εΜξ − εто дополнительно ∀ε : Ρ(ξ ≥ ε ) ≥CНеравенство Чебышёва: Пусть у случайной величины ξ существует дисперсия, тогдаP (| ξ − Mξ |≥ ε ) ≤Dξε2. Если дополнительно | ξ |<C, то P(| ξ − Mξ |≥ ε ) ≥Dξ − ε 24С 2Биномиальное распределение Bi(n,p)Смысл: описывает серию последовательных одинаковых испытаний БернуллиkРаспределение, свойства: k k n − k ; Mξ = np; Dξ = npq; g ξ ( z ) = (1 + p ( z − 1)) nCn p qТеорема Пуассона:Смысл: Если число испытаний Бернулли очень велико, а вероятность успеха оченьмала, причем так, что np → 1 , то такая случайная величина имеет распределение,близкое к распределению Пуассона.n⎛a m −a ⎞dm m n−m⎜⎯→ Pois (λ ) ⎜ Ρ{µ = m} = C n p qФормулировка: ∑ ξ k ≅ B( p ) ⎯e ⎟⎟→n → +∞m!k =1⎠⎝np → λГеометрическое распределение G(p)Смысл: описывает число успехов до первой неудачи (либо наоборот; эти случайныевеличины отличаются на 1)kpp1− pРаспределение, свойства:(k = 0,1,2,...); Mξ = ; Dξ = 2 ; g ξ ( z ) =kq∗ pq1 − pzqПримечание: Непрерывный аналог геометрического распределения –экспоненциальноеЭкспоненциальное (показательное) распределениеСмысл: описывает время между появлениями двух событий в потоке.11λРаспределение, свойства: exp(λ ) = 1 − e λx ; Mξ = ; Dξ = 2 ; ϕ ( s) =λ+sλλПримечание: экспоненциальное распределение является непрерывным аналогомгеометрического.Локальная теорема Муавра-Лапласа: Если в схеме Бернулли σ = npq → ∞ , то дляm − npлюбого C>0 равномерно по всем |x|<C вида x =, где m-целые неотрицательныеσ⎧⎪ µ − np⎫⎪= x⎬ =числа, Ρ ⎨⎪⎩ npq⎪⎭12π σex2−2(1 + o(1) )2Интегральная теорема Муавра-Лапласа: При σ = npq → ∞ равномерно поxb⎧⎪⎫⎪−1µ − np− ∞ ≤ a < b ≤ ∞ : Ρ ⎨a ≤≤ b⎬ −∫ e 2 dx → 0npq2π a⎪⎩⎪⎭Закон больших чисел:Смысл: среднее арифметическое большого количества одинаково распределённыхслучайных величин перестаёт быть случайной и стремится к постоянной.Рассмотрим последовательность н.о.р.с.в.

ξ1 ,..., ξ n ,...; S n = ξ1 + ... + ξ n .2⎛ S n − ΜS n⎞≥ ε ⎟⎟ ⎯n⎯⎯→ 01. Пусть ∀i ∃Dξ i < C . Тогда ∀ε > 0 выполняется Ρ⎜⎜→∞n⎝⎠(ЗБЧ в форме Чебышева)PS − ΜS n⎯n⎯⎯→ 0 (ЗБЧ в форме Хинчина)2. Пусть у ∀ξ i ∃Μ ξ i = a . Тогда n→∞n2∞σξ + ... + ξ n п.н.⎯⎯→ 0 (усиленный ЗБЧ)3. Пусть Μ ξ i = 0, Dξ n = σ n2 , ∑ 2n < ∞ . Тогда 1nn =1 nВиды сходимости случайных величин:• Сходимость почти наверное: ξ n ⎯почти⎯ ⎯наверное⎯⎯→ ξ ⇔ P(ω : ξ n (ω ) → ξ ) = 1•pСходимость по вероятности: ξ n ⎯⎯→ξ ⇔ ∀ε : lim P (| ξ n − ξ |> ε ) = 0•Сходимость в среднем порядка l: ξ n ⎯⎯→ ξ ⇔ lim M | ξ n − ξ |l = 0•n→∞ln→∞Сходимостьпоξn ⎯⎯→ ξ ⇔ Fξ ( x) → Fξ ( x)dраспределению:nпоточечно,иFξ (x) непрерывна для ∀x•wСлабая сходимость: ξ n ⎯⎯→ξ ⇔ lim Mϕ (ξ n ) = Mϕ (ξ ) ∀ϕ ( x) - непрерывной иn →∞ограниченнойВзаимосвязь между видами сходимости:Почти наверноеСлабаяПо вероятностиВ среднем порядка lПо распределениюФормула свёртки: если случайные величины ξ1 и ξ 2 независимы и имеют абсолютнонепрерывное распределение с плотностями f ξ1 ( x1 ) и f ξ 2 ( x 2 ) , то плотность распределениясуммы ξ1 + ξ 2 равна f ξ1 +ξ 2 (t ) =∞∫ f ξ (u) f ξ1∞2(t − u )du =−∞∫ fξ2(u ) f ξ1 (t − u )du−∞Характеристическая функция случайной величины ξ - функция, определённая ∀t ∈ Rкак ϕ ξ (t ) = Μ e itξ .

Свойства характеристической функции:•ϕ ξ (0) = 1, ϕ ξ (1) ≤ 1∀t•ϕ ξ (t ) равномерно непрерывна на всей числовой оси.•Эти утверждения эквивалентны: 1) ϕ ξ (t ) принимает только действительныезначения; 2) ϕ ξ (t ) -чётная функция; 3) ξ имеет симметричное распределение3•Функция ϕ ξ (t ) является характеристической функцией случайной величины ξтогда и только тогда, когда ϕ ξ (0) = 1 , ϕ ξ (t ) положительно определена.•ϕ ξ (t ) ≡ ϕη (t ) ⇔ Fξ ( x) ≡ Fη ( x)Центральная предельная теорема:Пустьξ1 ,..., ξ n ,...-последовательностьн.о.р.с.в.Тогдаn⎛ n⎞⎜ ξ −M ξ⎟x t2∑kk⎜∑⎟ d1k =1k =1P⎜< x⎟ ⎯⎯→e 2 dt ≅ N (0,1)∫nn →∞2π −∞⎜⎟D∑ ξ k⎜⎟k =1⎝⎠Смысл: Сумма независимых одинаково распределенных случайных величин ведетсебя приблизительно как нормально распределенная случайная величина.Условное распределение, условное МО.Предположим, что Bl = {η = y l }, l = 1,..., m образуют разбиение, порождённоеслучайной величиной η .Условный закон распределения η при заданном ξ = x k Ρ{η = y l , ξ = x k }, l = 1,..., m .набор условных вероятностей Ρ{η = y l | ξ = x k } =Ρ{ξ = x k }1) Условное МО случайной величины ξ относительно события B (имеющегоненулевую вероятность) определяется как интеграл Μ (ξ | Β) = ∫ ξ (ω )ΡΒ (dω ) .Ω2) Пусть имеется (Ω, A, P ) , ξ - случайная величина на этом вероятностномпространстве, Μ ξ < ∞, A1 ⊂ A, A1 − σ − алгебра .

Условное МО случайной величины ξотносительно σ -алгебры A1 – случайная величина, которая удовлетворяет двумусловиям:• Μ (ξ | A1 ) измерима относительно A1 .•∀A ∈ A1 выполняется: ∫ Μ (ξ | A1 )Ρ(dω ) = ∫ ξ (ω )Ρ(dω )ΑΑ3) Пусть ξ и η - случайные величины, Μξ < ∞ . Условное МО случайной величины ξотносительно сл. в. η - Μ (ξ | η ) = Μ (ξ | σ (η )), σ (η ) = (η −1 (Β), Β ∈ B)Свойства условного МО:• ξ измерима относительно Α1 ⇒ Μ (ξ | Α1 ) = ξ• Если ξ и η независимы, то Μ (ξ | η ) = Μ ξ• ΜΜ (ξ | η ) = Μξ• Если ξ и η - сл. в., причём Μξ < ∞ , то существует измеримая функцияϕ : Μ (ξ | η ) = ϕ (ξ )Производящая функция: ϕ ξ ( s ) = Μ s ξ . Её свойства:1.

Если ξ1 ,..., ξ n - независимые целочисленные случайные величины, ϕ ξ k (s) , k=1,…,nn- их производящие функции, то ϕ ξ1 +...+ξ n ( s ) = ∏ ϕ ξ k ( s ) .k =12. Пусть ξ1 , ξ 2 ,... - последовательность целочисленных н.о.р.с.в. с производящейфункцией ϕ ξ (s ) и ν - независимая от них случайная величина с производящейфункцией ϕν (s ) . Пусть далее ς ν = ξ1 + ... + ξν (ν ≥ 1, ς 0 = 0) . Тогда ϕ ςν ( s ) = ϕν (ϕ ξ ( s ))4Ветвящиеся процессы.Пусть p n -вероятность того, что одна частица превращается в n частиц,∞ϕ ( s ) = ∑ p n s n - производящая функция распределения вероятностей {p n }.

Если An =0среднеечислонепосредственныхпотомков⎧ A < 1 ⇒ A(t ) → 0, процесс докритический⎪⎨ A > 1 ⇒ A(t ) → ∞, процесс надкритический⎪ A = 1 ⇒ A(t ) ≡ 1, процесс критический⎩однойчастицы,тоq-вероятность вырождения. Для того чтобы q<1 необходимо и достаточно, чтобыпроцесс был надкритическим. q-корень уравнения q = ϕ (q) .Часть II. Математическая статистика.Статистическая структура - (Ω, Α, P ) (множество элементарных исходов, σ -алгебрасобытий, семейство вероятностных мер, определённых на A).Выборка – совокупность X 1 ,..., X n н.о.р.с.в.Статистика T( X 1 ,..., X n ) – любая измеримая функция от выборки.Выборочныймоментпорядкаk–следующаястатистика:nn11Α kn ( X 1 ,..., X n ) = Α nk = Α k = ∑ X ik , при этом Α1 = ∑ X i = X - выборочное среднее,n i =1n i =1или среднее ожидание.k1 nЦентральный выборочный момент порядка k – статистика M k = ∑ X i − X .

Ц.в.м.n i =1порядка 2 – выборочная дисперсия.Если X 1 ,..., X n - н.о.р.с.в., то Μ θ X ik = α k (θ ) - теоретический момент порядка k.x∈R)Эмпирическаяфункцияраспределения(прификсированном⎧0, x ≤ X (1) ,⎪⎪1 , X < x ≤ X ,( 2)⎪ n (1)⎪Fn ( x) = ⎨M⎪ 1⎪1 − , X ( n −1) < x ≤ X ( n ) ,⎪ n⎪1, x > X ( n ) .⎩()Статистика размерности k - T ( X ) = (T1 ( X ),..., Tk ( X ) ), где Ti ( X ) − статистикаθ = (θ1 ,..., θ m )m-мернаястатистикаТочечнаяоценкапараметраT ( X ) = (T1 ( X ),..., Tm ( X ) ) .

При этом Ti ( X ) − оценка θ i .Оценка T ( X ) = (T1 ( X ),..., Tk ( X ) ) - несмещённая оценка функции τ (θ ) = (τ 1 (θ ),...,τ k (θ )) ,если для любого θ выполняется Μ θ Ti ( X ) = τ i (θ ), i = 1,..., k .Оценка T ( X ) = (T1 ( X ),..., Tk ( X ) ) - асимптотически несмещённая оценка функцииτ (θ ) = (τ 1 (θ ),...,τ k (θ )) , если Μ θ Ti ( X ) = τ i (θ ) + α ni (θ ), i = 1,..., k и α ni ⎯n⎯⎯→ 0→∞⎯→τ (θ ) ∀θ поОценка T(X) – состоятельная оценка функции τ (θ ) , если T ( x) ⎯n⎯→∞вероятности.5Оценка T(X) – оптимальная оценка функции τ (θ ) , если она 1) несмещённая и 2) имеетравномерно минимальную дисперсию, то есть ∀T1 ( X ) : Dθ T ( X ) ≤ Dθ T1 ( X ) .

Еслиоптимальная оценка существует, то она единственна.Функция p X (x) - обобщённая плотность распределения сл.в. X относительно меры ν ,если p X ( B) = ∫ p X ( x)ν (dx) , ν -не обязательно мера Лебега.BФункция правдоподобия выборки X 1 ,..., X n - функция L( X , θ ) = p( X 1 ,θ ) L p( X n ,θ )Статистика T ( X ) = (T1 ( X ),..., Tk ( X ) ) является достаточной, если Ρθ ( X ∈ A | T ( X )) ∀A ⊂ R nне зависит от θ .Достаточнаястатистиканазываетсятривиальной,еслиk = k (n) ⎯n⎯⎯→ ∞ :→∞T ( X ) = (T1 ( X ),..., Tk ( n ) ( X )) с неограниченной размерностью.Статистика T(X) является полной, если из Μ θ ϕ (T ( X )) = 0 ∀θ следует равенство ϕ (u ) = 0почти всюду по распределению T(X).Критерий факторизации: Пусть L( X ,θ ) - функция правдоподобия выборки X,T ( X ) = (T1 ( X ),..., Tk ( X ) ) - некоторая статистика. Тогда T(X) – достаточная статистикатогда и только тогда, когда функцию правдоподобия можно представить в видеL( X ,θ ) = g (T ( X ),θ ) ∗ h( x)Неравенство Рао-Крамера.Пусть X 1 ,..., X n - некоторая выборка с функцией правдоподобия L( X ,θ )относительно некоторой меры µ .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)