Теормин TViMS (1120368), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Введём функцию ϕ (θ ) = ∫ T ( x) L( x, θ ) µ (dx) < ∞ .RnГоворят, что функция L( X ,θ ) удовлетворяет условиям регулярности для m-ой∂ m L ( x, θ )d mϕ (θ )=T(x)µ (dx) , причём множество∫∂θ mdθ mRnпроизводной, если существует(x: L( x,θ ) >0) не зависит от θ .Th Рао-Крамера: Пусть X 1 ,..., X n -выборка, причём L( X , θ ) удовлетворяет условиямрегулярности для первой производной и τ (θ ) - дифференцируемая функция θ .Тогда: 1) Для любой несмещённой оценки T(X) функции τ (θ ) справедливонеравенство Dθ T ( X ) ≥[τ ′(θ )]2∂ ln L( X ,θ )-функция вклада;∂θтогда и только тогда, когда∀θ , где U ( X ,θ ) =Μ θ U ( X ,θ )2)В неравенстве равенство достигается∃a n (θ ) : T ( X ) − τ (θ ) = a n (θ ) ∗ U ( X , θ )Оценка называется эффективной, если для неё в неравенстве Рао-Крамера достигаетсяравенство (если она существует, то она оптимальна).Th Рао-Блэкуелла-Колмогорова: Пусть T(X) – достаточная статистика выборкиX 1 ,..., X n .

Тогда если существует оптимальная оценка Τ1 ( X ) для функции τ (θ ) , тоΤ1 ( X ) = ϕ (T ( X )) .2Распределение χ 2r(ν k − np k )2k =1np kχ -статистика Пирсона: χ = ∑22n6Th: распределение χ n2 при n → ∞ слабо сходится к χ 2 -распределению с (r-1)степеньюсвободысфункциейраспределенияux r −1−1 −1u 2 e 2 du , x ≥ 0Κ r −1 ( x) = r −1∫⎛ r −1⎞ 02 2 Γ⎜⎟⎝ 2 ⎠Лемма Неймана-Пирсона.Пусть выборка X 1 ,..., X n имеет функцию распределения F ( X ,θ ), где θ ∈ Θ ⊂ R ифункцию правдоподобия L( X ,θ ) .

Введём класс Φ критических функций:относительно двух простых гипотез H 0 : θ = θ 0 , H 1 : θ = θ1 ≠ θ 0 , 0 < α < 1 , где α заданныйразмеркритерия,Κ α -некотороезначение.⎧⎫⎧ L( X , θ1 )⎪⎪1, L( X ,θ ) > Κ α ,⎪⎪⎪⎪0Φ = ⎨ϕ : ϕ ( X ) = ⎨⎬ . ТогдаL(X,θ)1⎪0,⎪< Κα ⎪⎪⎩ L( X , θ 0 )⎪⎩⎪⎭1) ∀0 < α < 1 ⇒ ∃ϕ ∈ Φ : Μ θ 0 ϕ ( X ) = α (существует критерий любого размера)2) Если ϕ ∈ Φ и Μ θ 0 ϕ ( X ) = α , то ϕ - наиболее мощный критерий.3)Если ϕ -наиболее мощный критерий размера α , то ϕ ∈ Φ (необходимость)7.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)