Основные понятия по матстату (1120335)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Осн. понятия.

(,А,Р) –вер. простр.; Р  Р<круглое> – класс допустимых вер-тей,  = (₁,… _n) – n испытаний Бернулли. ={}, А – все подмн-ва, Р() = Р = ^{ i}(1-- )^{n -- i}; вер-ть успеха не известна, определяется на каждом .

ОПР. выборка – сл. вектор (n-мерный) Х = (Х1…Хn), где результаты i-ого испытания

описываются сл. величиной Xi. Эксперимент – n испытаний, n – объём выборки.

Вектор х=(х1…хn) – реализация выборки.

Пусть F<круглое> = {F_X} -- мн-во допустимых ф-ий распр. F_X (x) = P( X₁< x₁,…, Xn< x_n) = {т.к. Хi – н.о.р.с.в.} = П{i=1 to n} F_i (x_i) = П{i=1 to n} P(Xi< x_i); все Хi имеют одинаковую ф-ию распр. (неизвестную).

ОПР. Х ~ F_  X – выборка из генеральной совокупности L(), имеющей F_.

ОПР. Пусть х = (х1…хn) – реализация выборки. Упорядочим ее по возрастанию: х₍₁₎ … х_(n) –

это вариационный ряд (нету независимости, т.к.  ). Выпишем все такие упорядоченные

выборки одну под другой  if взять k-ый столбец, то получим значения новой сл. вел.

X_(k) – k-ая порядковая статистика.

ОПР. Эмпирическая ф-ия распр.: Fn(x) = 1/n {i=1 to n} I( X_(i)< x); F(x) не зависит от выборки

– теоретическая ф-ия распр.; Fn – измеримая ф-итя борелевской сл. вел.  тоже явл. сл.

вел., м. принимать значения (0; 1/n; 2/n;…;n/n=1). {i=1 to n} I( X_(i)< x) – кол-во успехов в

n испытаниях Бернулли  Fn имеет биномиальное распр. Bi( n,F(x) ), т.е. Р( Fn(x) = k/n,

где k=0,…,n) = CnkFk(x)(1 – F(x))n-k.

ТЕОРЕМА 1. Пусть Fn – эмп.ф-ия распр., построенная по выборке (X1…Xn) с распределением

L(), т.е. Xi ~ F(x): ~F(x),   xRe и >0  lim{n} P( |Fn(x) – F(x)| < ) = 1,

т.е. Fn(x) –^P F(x) при n .

ТЕОРЕМА Бернулли.(следствие из ЗБЧ). If _n – число успехов в схеме Бернулли_n /n –^P p.

ТЕОРЕМА Гливенко. В условиях Т1 выполнено Р( lim_{n} sup_{xRe}|Fn(x) – F(x)| = 0) = 1.

[ = Dn(x) ]

ТЕОРЕМА Колмогорова. If F(x) непрер   фиксир. t >0  {насколько отклоняется от F}

lim_{n} P( Dn(x)* n  t ) = K(t) = _{{-- to +}} (-1)^j *exp(-- 2j² * t²).

ТЕОРЕМА Смирнова (проверка гипотезы, что 2 выборки одного распределения).

Пусть F_1n(x) и F_2m(x) – 2 эмпирич. ф-ии распр., постр. на основе 2-х независимых

выборок объемов n и m одного и того же распр. L() и Dn,m = sup_{xRe}|F_1n(x) – F_2m(x)|.

Тогда if F9x) непрер. фиксир. t >0  lim{n,m} P ( Dn * (nm / n+m)  t) = K(t).

Частоты.

Пусть  -- дискр. сл. вел., приним. знач. 1,2… _r /n (кол-во эл-тов в выборке, равных a_r;

_r = {i=1 to n} I( X_(i)= a_r);) сх. по вер-ти к P( = a_r).

Группировка. Пусть  -- непрер. сл. вел. с = f(x). Пусть  принимает значения в обл. Е; разобьем ее на интервалы Еr: E = _r Er, EiEj =  при i  j; _r = {i=1 to n} I( X_(i)Er).  _r /n сх. по вер-ти к P(Er) =

_{{по Er}}f(x)dx  |Er|*f(x_r), x_rEr. Аналог плотности: _r / n|Er|  f(x_r).

Неравенство: P( |X+Y|  x)  P( |X|  x/2) + P(|Y|  x/2).

ОПР. G – эмпирическая (выборочная) хар-ка: G = G(X) = g(x)dFn(x) = {if не фиксировать выборку} =

1/n {i=1 to n} g(Xi), Xi – компонент выборки.\

ОПР. k-ый порядковый момент A_k = 1/n {i=1 to n}Xi^k. Выборочное среднее (аналог М.О.):

x^~ = 1/n {i=1 to n} Xi.

ОПР. Эмпирические центральные моменты M_k = M_k(X) = 1/n {i=1 to n} (Xi – x^~)^k ; при k=2 

выборочная дисперсия. _k = E^k, _k = E( -- _k)^k; M_k = {r=0 to k} (-1)^r C_k^r x^{~ r}A_k—r =

{r=0 to k-2} (-1)^r C_k^r x^{~ r}A_k—r + (k-1) x^{~ k} .

ОПР. центральный выборочный момент s² = M₂ = A₂ – A₁ = A₂ – x^{~ 2};

M₃ = A₃ – 3 x^~A₂ + 2x^{~ 3} ; ₁ = Ex^~ ; EFn(x) = F(x); Dx^~ = D 1/n {i=1 to n}Xi = 1/n² {i=1 to n} ₂ =

= ₂ /n; Es² = ₂ -- ₂ /n = (n-1)/n ₂ ,  ₂ !!!; Ds² = (n-1)²/n³ [₄ – (n-3 / n-1) ₂²];

ТЕОРЕМА. Пусть сл. вел. ₁(n)…_r(n) cх. по вер-ти при n  к const C1…Cr   нерер. ф-ии

(х1…xr)  сл. вел. (n) = (₁(n)…_r(n)) cх. по вер-ти к (C1…Cr).

Замечание. Теорема верна, if  непрер. только в некоторой окр-ти вектора С.

ОПР. Коэфф. асиимметрии наз-ся ₃= ₃ /₂^3/2; коэфф. эксцесса ₄ = ₄ /₃² -- 3;

Асимптотич. нормальность выборочных моментов.

ОПР. if _n  ~ N(, ²)  распр. _n асимптотич. норм.: L(_n)  N(, ²).

ОПР. if V выборки ; посл-ть центральных выборочных моментов A_nk = 1/n {i=1 to n}Xi^k, Xi –н.о.р.с.в.

DA_nk = (_2k -- _k²) /n;  по ЦПТ  P{ (A_nk -- _k) /  DA_nk < x}  Ф(х). Рассм. x^~ = 1/n {i=1 to n} Xi.

L(x^~) = N(, ²/n),  n нормально (не асимпт.). E x^~ = ₁; D x^~ = ₂ /n;

Порядковые статистики.

Пусть L() абсол. непрер., имеет F(x) и f(x); X=(x1…xn) -- выборка из L; Ф-ия распр. k-ой порядковой статистики F_X(k)(x) = P(  I (X_(k) < x)  k) = P(число успехов  k) = {m=k to n} C_n^m F^m(x) (1—F(x))^n—m =

B(F(x), k, n-k+1), где В –неполная В-ф-ия: В(z,a,b)=Г(a+b) / Г(a)Г(b) * {0 to z} x^a--1(1-x)^b dx, z[0,1].

Плотность k-ой пор. стат.: = g_k(x) = F’_X(k)(x) = n! /(k-1)!(n-k)! F^k-1(x) (1—F(x))^n—k *f(x).

ОПР. u_p -- р-квантиль – корень ур-ия 1--Ф(u_p) = p; типа медианы распределения, но не 1/2, а р берем.

р(0,1).– число, для к-рого F()(u_p^--)  p и F()(u_p⁺)  p. {м.б. весь отрезок [u_p‘ ,u_p “]}.

ОПР. Выборочная р-квантиль – р-кв-ль эмпирической ф-ии распр., это сл.вел.

ОПР. p = inf u_p -- левая р-кв-ль.

ТЕОРЕМА. if в некоторой окр-ти p теоретич. плотность f(x) непрер. вместе с 1-ой произв. и f(p) >0 

при n  левая р-кв-ль Z(n,p) ~ N(p, p(1-p)/ n*f²(p) ). {асимпт. норм.}

ОПР. Выборочная медиана (только одна точка) Mn =  (X _{n / 2} + X _{n / 2 + 1}) / 2, if n = 2m;

 X_{[n / 2] + 1} , if n= 2m+1.

Несмещенные оценки.

ОПР. X – выборка; T(X) – ф-ия от нее -- статистика;  t определена ф-ия F_T(t) = P( T(x) < t); Т зависит

только от выборки и не зависит от неизвестного параметра распределения. Пусть () – неизвестная

оцениваемая хар-ка. Оцениваем Т(х): Т(х)  (), х. Лучше для оц. та ф-ия, у к-рой дисперсия min.

Критерий min-ии среднеквадр. ошибки. E_ = (T(x) -- () )²  min надо, () – типа М.О.

ОПР. Т(х) – несмещенная оц. для , if E_T(x) = (),  .

ОПР. Смещение оценки: b() = E_T(x) -- .

ОПР. среднеквадр. ошибка: E_( Т(x) -- () )² = DT, if несмещенная, и = DT +b²(), else.

ТЕОРЕМА. Пусть Х – выборка из N(, ²).  x^~ и s² – нез. сл. вел., причем L( (x^~--)n /) =N(0,1), и

L( n s²/²) = ²_n—1 {c n-1 степепнью свободы}. Если Xi ~ N(0,1)  {i=1 to n}Xi² ~ ²_n; E=n, D=2n.

Оптимальные оценки.

Х – выборка, F ={F(x, ), } – статистическая модель. Т= Т(х) – несмещ. оц.  = () и D_T < . Пусть

 -- класс несмещенных оценок ф-ии .

ОПР. Пусть Т, Т*  ;  if   DT*  DT  по критерию среднеквадр. ош.  Т* равномерна по 

не хуже, чем Т. if хотя бы для одного  неравенство строгое T–оптимальная оценка. Опт. оц. ф-ии 

обознач. *. *  <==> D_T = inf{по } D_T,  .

ТЕОРЕМА.if T1,Т2 – две несмещ. оц. ф-ии =(), T1-^П.Н.T2, т.е. опт.оц. единств. с точн. до мн-ва меры 0.

ТЕОРЕМА. Относительная частота произвольн. события в n независ. испыт. Бернулли явл. опт. оц. для

вер-ти этого события (для теоретич. ф-ии распр.).

ТЕОРЕМА. Пусть Т1*, Т2* -- опт. оц. 1 и 2 соотв.,  статистика Т* = а₁Т₁* + а₂Т₂* явл. опт. оц. (с точки

зрения несмещ. и среднеквадр.) для ф-ии () = а₁1() + а₂2().

ОПР. Пусть Х – выборка, х – ее реализация, распределение L()  F{стат. модель}, f(x, ) – плотность (или

вероятность для дискр. случая).  L(x, ) = f(x1, )*…*f(xn, ) – ф-ия правдоподобия -- ф-ия от 

при фиксир. х.

ОПР. Пусть  -- скаляр; вклад выборки Х – сл. вел. U(Х,) = /{ln L(x,)} = _{{i=1 to n}}/{ln f(Xi,)}.

Предполагается, что 0 < E_² U(x,) < ,  . {2-ой момент}

ОПР. Регулярные модели – где можно менять порядок интегрирования и дифференцирования.

СВ-ВА РЕУЛЯРНЫХ МОДЕЛЕЙ.

1.  L(x, ) dx  1 {как -л по всему  от плотности}, dx = dx1*…*dxn;

2. E_ U(x,) = 0,  .

ОПР. Ф-ия информации Фишера о параметре , содержащаяся в выборке Х: i_n() = D_ U(x,) = E_ U² (x,).

i() = i1() = {информ., сод-ся в одном наблюдении} = E_ /{ln L(x,)} = /{ln f(x,)}; i_n() = n*i()

 информация во всей выборке, т.е. чем больше V выборки, тем больше в ней информации.

Предположим, что f(x) 2 раза дифф. по   инф., сод-ся в одном наблюдении, i_n() = -- E_ ²/²{ln f(x,)}.

Чему равна i_n для некоторых распределений.

М одель N(,²) N( , ²) Bi(k, ) Pois() Bi^--(r, )

i _n() 1/² 2/² k / (1-) 1/  r/ (1-)²

П ричина нерегулярности – выборочное простр-во зависит от неизв. параметра .

Неравенство Рао -- Крамера.

ТЕОРЕМА.  оценки Т =Т(X)   D_T  [’()]² / n*i(). Равенство <==> T – линейная ф-ия вклада

выборки, т.е. {критерий эффективности:} Т() -- () = Q() U(X, ). {тогда оц. Т хороша в смысле

несмещенности; if равенство  оц. с min возм. диспересией (оптим.)}

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)