2002. Теория вероятности и математическая статистика. Лектор - В.Г.Ушаков (1120051), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Требуется найти распределение случайной величиныη = ξ1 + ξ2.Отметим, что для независимых абсолютно непрерывного случайного вектора ξ = (ξ1,…,ξn)выполняется pξ (u1 ,!, un ) = pξ1 (u1 )$ pξ n (un ) . Следовательно,P(η < y ) = P(ξ1 + ξ 2 < y ) =∫∫ p (u )⋅ p (u )du duξ11ξ2212=u1 +u2 < yu2u2 = y – u1u1=+∞∫ du1−∞y −u1∫ pξ1 (u1 )pξ2 (u2 )du2 =−∞+∞∫ pξ1 (u1 )du1−∞y −u1∫ pξ2 (u2 )du2 =−∞+∞∫ p (u )⋅ F (y − u )duξ11ξ2−∞Любая функция распределения почти всюду дифференцируема, поэтомуpη ( y ) =+∞∫ p (u )⋅ p (y − u )duξ1ξ2−∞2411.3°°.

Примеры распределений.Дискретные распределения:1. Геометрическое распределение: P(ξ = k) = (1 – p)·p k–1, k = 1, 2, …, 0 < p < 1.nk2. Биномиальное распределение: P(ξ = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p ) , k = 0, …, n, 0 < p < 1.k 3. Распределение Пуассона: P(ξ = k ) = e −λλk, λ > 0, k = 0, 1, 2, ….k!Абсолютно непрерывные распределения:−1e2π σ1. Нормальное распределение: pξ (x ) =( x−a )22σ 2, σ > 0, a ∈ R.x ∈ [a, b ], 1 ,2. Равномерное распределение на отрезке [a, b]: pξ (x ) =  b−ax ∉ [a, b ].0, xα −1λα −λx+∞e ,x > 0,3. Гамма-распределение: pξ (x ) =  Γ(α )где λ > 0, α > 0, Γ(α ) = ∫ t α −1e −t dt ,00,x ≤ 0,Г(n + 1) = n!, n ∈ N.

В случае α = 1 гамма-распределение превращается в 4.λe − λx , x > 0,4. Показательное распределение: pξ (x ) = где λ > 0.0,x0,≤Рассмотрим распределение η = ξ1 + ξ2 суммы двух независимых случайных величин ξ1 иξ2, каждая из которых равномерно распределена на отрезке [0, 1].

Имеем формулуpη ( y ) =+∞∫ p (u )⋅ p (y − u )du .ξ1ξ2−∞Из равномерного распределения каждой из ξ1 и ξ2 следует, что плотность не равна нулю при0 ≤ u ≤ 1; 0 ≤ y – u ≤ 1 ⇒ y – 1 ≤ u ≤ y. Возможны четыре случая расположения отрезка [ y – 1, y]относительно отрезка [0, 1]:1)y–1y01В этом случае плотность, очевидно равна нулю.2)01y–1yВ этом случае плотность также равна нулю.3)y–10y1В этом случае (0 < y ≤ 1) плотность равна y.4)0y–11yВ этом случае (1 < y ≤ 2) плотность равна 2 – y.Таким образом, плотность приобретает вид250,0,pη ( y ) =  y,2 − y,y ≤ 0,y ≥ 2,0 < y ≤ 1,1 < y ≤ 2.График плотности pη (y) выглядит так:pη(y)1012yТакая плотность называется треугольной плотностью распределения.§8.

Виды сходимости последовательностей случайных величинДалее: случайная величина ξn (ω) задана на вероятностном пространстве (Ωn, An, Pn)Определение 1. Последовательность случайных величин {ξn } сходится к случайной величине ξ по вероятности: lim ξ n = ξ , если ∀ε > 0 ⇒ lim P(ξ n − ξ > ε ) = 0 .Pn→∞n→∞Определение 2. Последовательность случайных величин {ξn } сходится к случайной вес вероятностью 1личине ξ с вероятностью 1 (почти всюду): ξ n n→ ξ , если P(ω : ξn (ω) → ξ (ω)) = 1.

Рас→∞сматривается на вероятностном пространстве (Ω, A, P), {ξn (ω)} — последовательностьслучайных величин (по определению измеримых), следовательно, определение корректно.Введём множество A = {(ω : ξn (ω) → ξ (ω)}. Его можно представить в виде∞ ∞ ∞1 ∞1A = #" #  ω : ξ n (ω ) − ξ (ω ) <  = # lim ω : ξ n (ω ) − ξ (ω ) <  , A ∈ A,k  k =1 n→∞kk =1 N =1 n = N 1или, что то же самое, A =  ω : ∀k ∈ N, ∃N : ∀n ≥ N ⇒ ξ n (ω ) − ξ (ω ) <  .kТогда определение сходимости с вероятностью 1 можно переписать в виде: P(A) = 1.Определение 3. Последовательность случайных величин {ξn } сходится к случайной величине ξ в среднем порядка α > 0: ξn → ξ, если lim E ξ n − ξn→∞α= 0.Определение 4.

Последовательность случайных величин {ξn } сходится к случайной величине ξ по распределению: ξn → ξ, если Fξn (x ) → Fξ (x ) , ∀x0 ⇒ Fξ (x0) непрерывна.Определение 5. Последовательность случайных величин {ξn } сходится к случайной величине ξ слабо: ξn ⇒ ξ, если для любой непрерывной ограниченной функции ϕ верно:lim Eϕ (ξ n ) = Eϕ (ξ ) .n→∞Покажем следующие импликации:26Сходимость свероятностью 1(2)(3)СлабаясходимостьСходимость повероятности(1)Сходимость всреднемСходимость пораспределению(1) Покажем, что из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности.

Действительно,используя неравенство Маркова,(∀ε > 0 ⇒ P(ξ n − ξ > ε ) = P ξ n − ξα>εα)Eξn − ξ≤εααn→ 0 .→∞(2) Докажем, что из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности.Перепишем определение сходимости с вероятностью 1:∞ ∞ ∞1 P # " #  ω : ξ n (ω ) − ξ (ω ) <   = 1 ,k  k =1 N =1n = Nили что то же самое ∞ ∞1 ∀k ⇒ P " #  ω : ξ n (ω ) − ξ (ω ) <   = 1 .k  N =1 n= N Введём множествоBN =∞1# ω : ξ (ω ) − ξ (ω ) < k nk=NОчевидно, B1 ⊂ … ⊂ Bn ⊂ Bn+1 ⊂ ….

Из монотонности этой последовательности следует, что∞lim BN = " Bn .N →∞n =1Из непрерывности вероятности()∞ ∞ ∞1 lim P(BN ) = P lim BN = P " Bn  = P " #  ω : ξ n (ω ) − ξ (ω ) <   = 1 .N →∞N →∞k  n=1  N =1 n= N Наконец, ∞11 1 ≥ P ξ n − ξ <  ≥ P #  ξ n − ξ <   n→1 , следовательно,kk   →∞ n= N 11из lim P ξ n − ξ <  = 1 ⇒ lim P ξ n − ξ ≥  = 0 .N →∞N →∞kkУтверждение доказано.(3) Докажем, что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость. Имеем∀ε > 0 ⇒ lim P(ξ n − ξ > ε ) = 0 .n→∞Надо доказать, что для любой ограниченной непрерывной функции ϕ выполняетсяlim Eϕ (ξ n ) = Eϕ (ξ ) .n→∞27Действительно,Eϕ (ξ n ) − Eϕ (ξ ) ≤ E ϕ (ξ n ) − ϕ (ξ ) = ∫ ϕ (ξ n (ω )) − ϕ (ξ (ω ))P(dω ) ==ϕ (ξ (ω )) − ϕ (ξ (ω ))P(dω ) +∫)) ( ( ))nϕ (ξ n (ω −ϕ ξ ω >εΩϕ (ξ (ω )) − ϕ (ξ (ω ))P(dω )∫)) ( ( ))nϕ (ξ n (ω −ϕ ξ ω ≤εВ силу ограниченности ϕ, имеем |ϕ (x)| < C, |ϕ (x) – ϕ (x)| < 2C и∫ ϕ (ξ (ω )) − ϕ (ξ (ω ))P(dω ) < 2C ⋅ P(ξnn− ξ > ε )+Ω∫ ϕ (ξ (ω )) − ϕ (ξ (ω ))P(dω ).nϕ (ξ n (ω ))−ϕ (ξ (ω ))≤εПоскольку ϕ непрерывна, ∀δ > 0 ∃ε > 0 : |ξn (ω) – ξ (ω)| ≤ ε ⇒ |ϕ (ξn (ω)) – ϕ (ξ (ω))| < δ и2C ⋅ P(ξ n − ξ > ε )+ϕ (ξ (ω )) − ϕ (ξ (ω ))P(dω ) < 2C ⋅ P(ξ∫)) ( ( ))nϕ (ξ n (ω −ϕ ξ ω ≤εПоскольку ∃N : ∀n ≥ N ⇒ P(ξ n − ξ > ε ) <n− ξ > ε )+ δ .δ, получаем2CEϕ (ξ n ) − Eϕ (ξ ) < 2δ .Утверждение доказано.Эквивалентность слабой сходимости и сходимости по распределению принимается бездоказательства.Примеры.

1. Из сходимости по распределению не следует сходимость по вероятности.Пусть Ω = [0, 1], A — σ-алгебра борелевских множеств, P — мера Лебега. Введём две случайные величины: ξ (ω) = ω и η (ω) =1 – ω. Они имеют одну и ту же функцию распределенияx < 0,0 ≤ x ≤ 1,x > 1.0,Fη (x ) = Fξ (x ) =  x,1,Определим последовательность случайных величин как ξ, η, ξ, η, …, иначе говоря, ξ2k–1 = ξ,ξ2k = η. Эта последовательность сходится по распределению, так как функция распределенияодна и та же у любых двух элементов последовательности. Покажем, что нет сходимости повероятности:ξ1η10ω113и ω < или ω > .2442.

Из сходимости по вероятности не следует сходимость с вероятностью 1. Построимпоследовательность {ξn} следующим образом:Действительно, достаточно взять ε =280,ξ1 = 1,0,ξ3 = 0, 2ω ∈ 0,  , 32 ω ∈  ,1 ;3 1,ξ2 = 0, 1ω ∈ 0,  , 21 ω ∈  ,1 ;2 0,ξ4 = 1, 1ω ∈ 0,  , 21 ω ∈  ,1 ;2  1  2 ω ∈ 0,  ∪  ,1 , 3  3  1 2ω ∈ , ; 3 31,ξ5 = 0, 1ω ∈ 0,  , 31 ω ∈  ,1 ;3 $и так продолжим. На определённом шаге отрезок [0, 1] разделится на n частей, и n подряд1идущих элементов последовательности будут принимать на одной из частей длинызначеnние 1, а на оставшейся части отрезка — 0.

Как легко проверить, последовательность {ξn} небудет сходиться ни в одной точке (начиная со сколь угодно большого номера в любой точкеω, среди значений ξ (ω) будут как нули, так и единицы). С другой стороны эта последовательность сходится к ξ ≡ 0, так как мера множества, на котором ξn – ξ не является бесконечномалой, стремится к нулю.3. Из сходимости в среднем не следует сходимость с вероятностью 1 (это фактическипоказано в предыдущем примере).4.

Из сходимости с вероятностью 1 не следует сходимость в среднем. Из этого такжеследует, что из сходимости по вероятности не следует сходимость в среднем. Построим последовательность по следующему закону: βn ,ξ n (ω ) = 0,nβ 1ω ∈ 0,  , n 1ω ∉ 0,  . nξ (ω)01ωПоследовательность сходится почти всюду к нулю, однакоαE ξ n = nαβ ⋅1= nαβ −1 .nДостаточно потребовать лишь αβ – 1 ≥ 0, то есть β ≥Отметим некоторые свойства сходимости:1, и сходимости в среднем не будет.α1. Если последовательность ξn → ξ по вероятности и |ξn| < C (равномерно (по ω) ограничены), тоξn → ξ в среднем порядка α > 0.2. Из слабой сходимости ξn ⇒ ξ = C следует сходимость по вероятности.29§9.

Характеристики

Список файлов лекций