2002. Теория вероятности и математическая статистика. Лектор - В.Г.Ушаков (1120051), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда по определению∫ X (ω )µ (dω ) = ∫ I (ω )⋅ X (ω )µ (dω ).AAΩОчевидно, для определения интеграла Лебега функция должна быть измеримой.Рассмотрим для примера заданную на измеримом пространстве (Ω, A) функцию C , ω ∈ Aˆ ,Xˆ (ω ) = 1, где Â ∈ A . Интеграл от неё равен C1µ Aˆ + C2 µ (Ω ) − µ Aˆ .ˆC,ωA, 2 ∉2°°. Свойства интеграла Лебега.1. Интеграл Лебега — линейный функционал: если X(ω) и Y(ω) интегрируемы, α и β —произвольные числа, то() (( ))∫ (αX (ω ) + βY (ω ))µ (dω ) = α ∫ X (ω )µ (dω ) + β ∫ Y (ω )µ (dω ).2. X (ω ) ≥ 0 ⇒ ∫ X (ω )µ (dω ) ≥ 0 .2a. X (ω ) ≥ Y (ω ) ⇒ ∫ X (ω )µ (dω ) ≥ ∫ Y (ω )µ (dω ) .∫ X (ω )µ (dω ) ≤ ∫ X (ω )µ (dω ) .3. µ (A) = 0 ⇒ ∫ X (ω )µ (dω ) = 0 для любой измеримой функции X(ω).2b.A4.
A1 , A2 ,!, An ,! ∈ A , Ai ∩ A j = ∅(i ≠ j ) ⇒∞∫ X (ω )µ (dω ) = ∑ ∫ X (ω )µ (dω ) .∞" Aii =1 Aii =1Рассмотрим три важных частных случая вычисления интеграла Лебега.141) Пусть функция принимает не более счётного числа значений: X(ω) = xi, ω ∈ Ai,∞" Ai = Ω . Тогдаi =1∞∫ X (ω )µ (dω ) = ∑ xi µ (Ai ) . При этом функция интегрируема, если ряд схоi =1Ω x , x > 0,и интеграл равен разности двухдится абсолютно, так как X + (ω ) = xˆi , ω ∈ Ai, xˆi = i i0, xi > 0,рядов с неотрицательными членами. По определению требуется, чтобы хотя бы один сходился, следовательно, для интегрируемости нужно, чтобы сходились оба ряда.2) Мера µ называется атомической, если существует не более чем счётное множествоточек ω1, ω2, …, ωn, …, {ωi}∈ A, что ∀A ∈ A такого, что ωi ∉ A ∀i ⇒ µ(A) = 0.
Такие точкиназываются атомами. Иными словами мера сосредоточена на конечном или счётном числеточек. Пусть µ — атомическая мера с атомами ω1, ω2, …. Тогда∞∫ X (ω )µ (dω ) = ∑ X (ωi )µ ({ωi }).i =1Ω3) Пусть Ω = R и µ — мера Лебега: µ(dx) = dx. Тогда если X(ω) в собственном смыслеинтегрируема по Риману, то она интегрируема по Лебегу и эти интегралы равны.Сформулируем, наконец, пятое свойство интеграла Лебега:5. Пусть X(ω) — интегрируемая функция на измеримом пространстве (Ω, A).
Пустьтакже X(ω) ≥ 0. Тогда функцияν (A) = ∫ X (ω )µ (dω )Aбудет определена для любого A ∈ A и принимать на любом A конечные или бесконечныезначения.3°°. Свойства ν(A).1. ν(A) ≥ 0.2. Для любых A1, …, An таких, что Ai ∈ A, Ai ∩ Aj ≠ ∅ (i ≠ j) выполняется∞ ∞ν " Ai = ∑ν ( Ai ) . i=1 i=1Из первых двух свойств следует, что ν — мера как функция множеств.3.
Если µ(A) = 0, то ν(A) = 0.Определение 2. Пусть (Ω, A) — измеримое пространство, µ и ν — меры на A. Мера νназывается абсолютно непрерывной (относительно меры µ), если ∀A ⊂ A, такого что µ(A) == 0 справедливо ν(A) = 0.Определение 3. Пусть (Ω, A) — измеримое пространство, µ и ν — меры на A. Мера νназывается сингулярной относительно меры µ, если существует такое N ∈ A, что µ(N) = 0, аν(Ω \ N) = 0. Иными словами, сингулярная мера ν сосредоточена на множестве, имеющемнулевую меру µ.Пример. Любая атомическая мера сингулярна относительно меры Лебега.Теорема 4 (о разложении меры) [А. Лебег]. Пусть имеется измеримое пространство(Ω, A), на котором существуют две меры µ и ν. Тогда существую и единственны меры νac иνS, такие что νac абсолютно непрерывна относительно µ, νS сингулярна относительно µ иν = νac + νS.Определение 4. Пусть (R, B) — измеримое пространство, µ — мера на нём.
Функциейраспределения меры µ называется Fµ(x) = µ((– ∞, x)), x ∈ R.Теорема 5. Fµ(x) однозначно определяет меру µ.15§5. Случайные величины1°°. Случайная величина. Пусть даны (Ω, A) — измеримое пространство и (R, B), гдеB — борелевская σ-алгебра множеств на числовой прямой R. Тогда измеримая функцияξ: Ω → R называется случайной величиной.Очевидны утверждения (ω: ξ (ω) < 0) ∈ A, (ω: ξ (ω) < a) ∈ A. ∀B ∈ B (ω: ξ (ω) ∈ B) ∈ C1 , ω ∈ A,(ω: ξ (ω) ∈ B) = ξ –1(B) = A, то C1 ∈ B,∈ A. Если A = (∅, Ω), то ξ = C.
Если ξ = C2 , ω ∈ A ,C2 ∉ B.2°°. Порожденное и индуцированное вероятностные пространства. ОбозначимAξ = {ξ –1(ω), B ∈ B}.Отметим следующие факты:1) Aξ ⊂ A. ∞ ∞ −12) Aξ — σ-алгебра. Действительно, ξ (B ) = ξ (B ) и ξ " Bi = " ξ (Bi ) , если Bi по i=1 i=1парно не пересекаются.Вероятностное пространство (Ω, Aξ, P) называется вероятностным пространством, порождённым случайной величиной ξ.Вероятностное пространство (R, B, Pξ) называется вероятностным пространством, индуцированным случайной величиной ξ.
При этом для B ∈ B Pξ (B) = P(ξ –1(B)) = P(ξ ∈ B) называется распределением вероятностей случайной величины ξ.3°°. Функция распределения, её свойства.Определение 1. Функцией распределения Fξ (x) случайной величины ξ называетсяфункция, определённая для любого вещественного x как−1−1−1Fξ (x) = Pξ ((– ∞, x)) = P(ξ < x).Теорема 6.
Fξ (x) однозначно определяет Pξ (B).Доказательство. Действительно, любое борелевское множество может быть представлено в виде разности числовой оси, одной или двух полупрямых и не более чем счётногообъединения отрезков. В силу однозначности определения Pˆξ ([a, b ]) = Fξ (b + 0 ) − Fξ (a )утверждение теоремы справедливо.Свойства функции распределения:1. ∀x ⇒ 0 ≤ Fξ (x) ≤ 1.2. lim Fξ (x ) = 1, lim Fξ (x ) = 0 .x →+∞x→−∞3.
Fξ (x) монотонно неубывает.4. Fξ (x) непрерывна слева: P̂ξ ((− ∞, b )) = Fξ (b ) , P̂ξ ([a,+∞ )) = 1 − Fξ (a ) . На любом полуин∞тервале [a, b), – ∞ ≤ a < b ≤ + ∞, представленном в виде [a, b ) = " [ai , bi ) , a1 = a, bi = ai+1 разi =1ность значений функции распределения на концах этого полуинтервала может быть представлена в виде Fξ (b) – Fξ (a) = … Fξ (bn) – Fξ (an) + Fξ (bn–1) – Fξ (an–1) + … + Fξ (b1) – Fξ (a1).Точкой роста функции распределения Fξ (x) назовём такую точку x0, что∀ε > 0 ⇒ Fξ (x0 + ε) – Fξ (x0 – ε) > 0.16Fξ (x)Fξ (x1 + ε)Fξ (x1)Fξ (x1 – ε)1x1 x0x1 – ε x1 + εx1 — точкароста0xточка ростаВозможен случай, когда точка роста является точкой разрыва:lim Fξ (x0 + ε ) − Fξ (x0 − ε ) = Fξ (x0 + 0 ) − Fξ (x0 ) > 0 ⇔ P(x0 − ε ≤ ξ < x0 + ε ) = P(ξ = x0 ) > 0 .ε →0Определение 2.
Функция распределения Fξ (x) называется дискретной, если она имеет неболее чем счётное число точек роста (x1, …, xn, …). В этом случае x1, x2, x3, … — точки разрывафункции распределения, которая принимает последовательность значений pi = P(ξ = xi). График функции распределения в данном случае выглядит так:Fξ (x)1P(ξ = x2)P(ξ = x1)x1x20xОпределение 3. Функция распределения Fξ (x) называется абсолютно непрерывной, есxли её можно представить в виде Fξ (x ) =∫ p (u )du , где pξ (u) ≥ 0 — плотность распределенияξ−∞случайной величины.Определение 4. Функция распределения Fξ (x) называется сингулярной, если она непрерывна и множество точек её роста имеет нулевую меру Лебега.Пример. Построим пример сингулярной функции распределения.Fξ (x)134121401929132379891xПоложим её равной 0, если x ≤ 0, 1 если x > 1.
В остальных же точках определим её по закону17 12 , 13 1,1 4 9 34 , 791 1 8 , 273 7 8 , 27 85 , 1927 7 25 8 , 27< x ≤ 23 ,< x ≤ 92 ,< x ≤ 89 ,< x ≤ 272 ,< x ≤ 278 ,< x ≤ 2027 ,26,< x ≤ 27%Действительно, построенная функция монотонно неубывает во всех точках, меняется от 0 до1 и непрерывна во всех точках. Посчитаем меру множества, на котором функция постоянна:k11111 ∞ 21 21 ⋅ + 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 + ! + 2 n−1 n + ! = ⋅ ∑ = ⋅ 3 2 = 1 ,33332 k =1 3 2 1− 3следовательно, мера точек области определения функции, где она меняется равна нулю.
Сдругой стороны это множество несчётно. Действительно, используя запись чисел в троичнойсистеме счисления, получим, что такими искомыми будут являться числа, не содержащие втроичной записи цифры 2, т.е. числа вида 0.δ1δ2…δn…, где δi = 0, 1. Однако, между такимичислами и всеми вещественными числами, записанными в двоичной записи, можно установить взаимно однозначное отображение.
Следовательно, множество точек роста имеет мощность континуум.Если Fµ (x) — функция распределения меры µ — дискретная или сингулярная, то мера µсингулярна относительно dx. Если Fµ (x) — абсолютно непрерывная, то мера µ абсолютнонепрерывна.Теорема 7 (о разложении функции распределения) [А. Лебег].
Пусть ξ — случайнаявеличина с функцией распределения Fξ (x). Тогда существуют и единственны три функцииFac (x), Fs (x), Fd (x), соответственно абсолютно непрерывная, сингулярная и дискретнаяфункции распределения, три числа p1, p2, p3 ≥ 0, p1 + p2 + p3 = 1 такие, чтоFξ (x) = p1Fac (x) + p2Fs (x) + p3Fd(x)(единственность соответствующей функции подразумевается лишь в том случае, когда коэффициент, стоящий при ней не равен нулю).Доказательство. Рассмотрим два возможных случая:1) Fξ (x) имеет хотя бы одну точку разрыва.2) Fξ (x) непрерывна.
В этом случае следует перейти к шагу II, положив p3 = 0.I. Количество точек разрыва функции Fξ (x) не более, чем счётное. Это следует из того,что функция монотонна. По-другому это можно доказать так: поскольку функция неубываетот 0 до 1, она может иметь не более двух скачков, больших или равных 12 .
Затем, она можетиметь не более четырёх скачков, больших или равных 14 , и так далее можно пересчитать всескачки функции Fξ (x). Пусть x1, x2, …, xn, … — точки разрыва, упорядоченные по возрастанию. Обозначимϕi = Fξ (xi + 0) – Fξ (xi) — скачок в точке xi.Введём функцию180, x ≤ x1 , ϕ ,x < x ≤ x ,1 12Fˆd (x ) = ϕ1 + ϕ 2 , x2 < x ≤ x3 ,%∞Очевидно, Fˆd (x ) неубывает и непрерывна слева, lim Fˆd (x ) = 0 , lim Fˆd (x ) = ∑ ϕ i ≤ 1 .
Возx →−∞x →+∞i =1можны два случая:i)ii)∞∑ϕ= 1 . Положим p3 = 1, p1 = p2 = 0 и теорема доказана.ii =1∞∑ϕi =1i= α < 1 . В таком случае положим Fd (x ) = α1 Fˆd (x ) . Функция Fˆc (x ) = Fξ (x ) − Fˆd (x )будет непрерывной неубывающей функцией, lim Fˆc (x ) = 0 , lim Fˆc (x ) = 1 − α . Тогда функцияx →−∞Fc (x ) =x →+∞Fˆc (x )1−αбудет непрерывной функцией распределения.1Fξ (x)ϕ2Fˆc (x )Fˆd (x )ϕ1x1x20xТаким образом, получено разложение функции Fξ (x) на дискретную и непрерывную части:Fξ (x ) = Fˆc (x ) + Fˆd (x ) = αFd (x ) + (1 − α )Fc (x ).II. Разложим Fc (x) на Fac (x) и Fs (x).
Fc (x), как функция распределения порождает меруνc (dx). Рассмотрим кроме этой меру Лебега. Тогда в силу теоремы Лебега 4 о разложениимеры, существуют и единственны две меры νac и νs, такие что νac абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, а νs сингулярна относительно меры Лебега:νc (B) = νs (B) + νac (B), ∀B ∈ B.Каждая из этих мер порождает функцию распределения меры, иFc (x) = νs ((–∞, x)) + νac ((–∞, x)).Обозначим Fˆs (x ) = ν s ((− ∞, x )) , Fˆac (x ) = ν ac ((− ∞, x )) . Fˆs (x ), Fˆac (x ) непрерывные, неубывающие функции, lim Fˆs (x ) = lim Fˆac (x ) = 0 , lim Fˆs (x ) = ν s (R ) , lim Fˆac (x ) = ν ac (R ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
