2002. Теория вероятности и математическая статистика. Лектор - В.Г.Ушаков (1120051), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Гипотезы приобретают при этом следующий вид:nnH 0 : ∑ X i ~ Pois(nθ 0 ),H1 : ∑ X i ~ Pois(nθ1 ) .i =1i =1Функция распределения при θ = θ0 выглядит так:691αe − nθ 0e− nθ 0(nθ 0 )22!(nθ 0 )1!e − nθ 0123KαВозможны два случая:m(nθ 0 ) j = α . В этом случае полагаем K = m + 1 и γ = 0.1. ∃m : ∑ e −nθ0ααj!j =0m2. ∃m : ∑ ej =0−nθ 0(nθ 0 )jj!m+1< α < ∑e− nθ 0(nθ 0 )j .

В этом случае снова полагаем Kj!j =0mγα =α − ∑ e − nθ 0j =0e− nθ 0α=m + 1, а(nθ 0 ) jj!(nθ 0 )(m + 1)!m +1.Критерий построен.Заметим, что попутно можно решить задачу проверки сложных гипотез:H0: θ ≥ θ0 и H1: θ < θ0.§10. Критерии согласия Колмогорова и χ-квадрат1°°. Критерий согласия Колмогорова. Выборка X1, …, Xn имеет распределение F(x) изсемейства распределение F = {F(x)}. Требуется проверить гипотезу H0: F(x) = F0(x). Непараметрический критерий Колмогорова основан на статистикеDn (X ) = sup Fn (x ) − F0 (x ) ,Xгде F0(x) — непрерывная функция распределения, а Fn(x) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1, …, Xn.Из того, что если ξ — случайная величина, Fξ (x) — непрерывна, то случайная величинаη = Fξ (ξ ) равномерно распределена на [0,1], следует что при F0(x) = t вероятностьP(Dn(X) < t)не зависит от θ и F0(x).Теорема 7 [А.

Н. Колмогоров]. Для любой непрерывной F(x), x > 0 выполняется()limP n Dn (X ) < t = K (t ) =n→∞70+∞∑ (− 1) ej = −∞j− 2 j 2t 2.На основе этого предельного соотношения строится непараметрический критерий Колмогорова. Пусть γα — α-квантиль предельного распределения K(t):()1 – K(γα) = α, или P n Dn (X ) ≥ γ α H 0 = α .Тогда гипотеза о том, что выборка взята из распределения с функцией F0(x) принимается, если n Dn (X ) ≤ γ α и принимается, если n Dn (X ) > γ α . Уровень значимости этого критерияравен приближённо α.2°°. Критерий χ-квадрат.

Пусть имеется выборка X1, …, Xn и требуется проверить гипотезу H0: F(x) = F0(x). Разобьём числовую прямую на m промежутков ∆1, ∆2, …, ∆m–1, ∆m. Обозначим νk — число наблюдений, попавших в интервал ∆k. Тогда еслиnξ i(k ) = I(X i ∈ ∆ k ) , то ν k = ∑ ξ i(k ) .i =1При этом имеет место сходимостьνk→ P(X 1 ∈ ∆ k ) = ∫ dF0 (x ) = pk .n n→∞∆kСтроится статистикаm(ν i − npi )2i =1npiχ =∑2Если фиксировать α — вероятность ошибки первого рода, то гипотеза H0 отвергается, еслиχ2 > α и принимается в противном случае. При этом Kα ищется из уравненияP(χ 2 > Kα | H0) = α.Для решения уравнения используется следующее предельное соотношение:Теорема 8. lim P χ 2 < t = Gm−1 (t ) ,n→∞()где Gm–1(t) — функция распределения χ-квадрат с m – 1 степенью свободы. При этом по определению случайная величина ξ имеет распределение χ-квадрат с k степенями свободы, если P(ξ < t ) = P η12 + $ + ηk2 < t , ηi ~ N(0,1).

Плотность этого распределения определяетсяформулой()x n−−1 12 2e x , x > 0, np(x ) =  2 2 Γ n 20,x ≤ 0.и является частным случаем Г-распределенияα λ x λ −1 −αxe , x > 0,p(x, λ ,α ) =  Γ(λ )0,x ≤ 0.при α =1n,λ= .2271ЛитератураК части I1.Ширяев А. Н. Вероятность2.Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики3.Климов Г.

П. Теория вероятностей и математическая статистика4.Боровков А. А. Теория вероятностей5.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей6.Розанов Ю. А.Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы7.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей8.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения9.Ушаков В.

Г., Ушаков Н. Г., Прохоров А. В. Задачи по теории вероятностей10.Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П.Сборник задач по теории вероятностейК части II1. Ивченков Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика.2. Чибисов Д. М., Пагурова В.

И. Задачи по математической статистике.72.

Характеристики

Список файлов лекций