Б.А. Севастьянов - Курс теории вероятностей и математической статистики (1119910), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обозначим, как и раньше, через ит т/л ~ квантиль нормального распределения, т. е. 1 — Ф(и„)=у. Пусть а = а~ + аь Так как и~ „— — — и„, то неравенства а — и =(~х(а+и (6) выполняются с вероятностью 1 — а. Разрешая неравенства (6) относительно а, имеем доверительный интервал для а х — и а — =а(а(а=х+ и„—. (7) являющийся частным случаем (б). Доверительная вероятность (7) равна 1 — а, а его длина (и +и )=.
аа »1 ~/» Эта длина будет наименьшей, если взять а, =аз=а/2. Пусть, например, аа>а~', тогда иа,> иа,. Пусть Ь>0 таково, что а, — Ь > а, + Л; тогда иа, > иа,+ь > иа,-а > > иаа Из неравенств Ь = 1 — Ф (и ) — (1 — Ф (и )) = ы»2-д ы' а,-ь 1 1 = е 'с(х~ ~— е ' (и — и ), 1/ая „/Я' а~-Ь а: ' ыа$ А=1 — Ф(иа д) — (1 — Ф(и„))= а»1 2 х~ ыа,+а 1 1 —,/Ы = е ' ах>=е ' Ги„— и ыа,+ а ДЫ.
НОРМАЛЪНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ имеем 2 д2 "а,-л "а,+ Л и„д — иа,~ Ь~I2п е ' <!д т~2п е ' ~(и„— и„+д или и,„д + иа,+д ( иа, + иа т. е. при а! Ф!Е2 доверительный интервал не имеетнан. меньшей длины. б) Доверительный интервал для а при неизвестном о. Прежде всего докажем важное свойство выборочного среднего 1 ч х= — дт х! и и дисперсии а2= — ~ (х — х)2 ! — и — ! 2. 2-! для выборки (1) из нормального распределения. Т е о р е м а 1. Статистики х и ах для выборки (! ) из нормального распределения независил2ы.
Случайная величина зя(п — 1)/о2 имеет т2-распределение с (и — 1).и степенью свободы. Доказательство, Случайные величины х',= х — а = — независимы и имеют нормальное распределеа а ние с параметрами (О, 1). Обозначим х'= — „~ х,', в' = ! 1 — (х,' — х')2. Тогда х=а+ вх', в2=отх . Дока! ! жем, что Х' и а' независимы и что з' (и — 1) имеет Х2-распределение с (и — 1)-й степенью свободы. Случайный вектор (х'„..., х'„) имеет сферическое нормальное распределение с плотностью (й) зза гл.
гк довегнтельные интегвьлы Пусть у = Сх' — ортогональное преобразование, заданное соотношениями / уг=чтп х'= — + ... += ~/и Ч(п (9) у =- ~ с гх,', й = 2, ..., п. ! ! Всегда можно подобрать коэффициенты см так, чтобы равенства (9) задавали ортогональное преобразование. Тогда уь уг, ..., у„также будут иметь сферическое нормальное распределение с плотностшо (8), Так как ь н у, = ч/п х' и ~~' х,' = ~~' у'; (из-за ортогональностн г-! ! ! преобразования С), то (и — 1) в' = ~ (х! — х')! = ~ х,'. — пхг = ! ! Р = Х 1т'; - У'; = Х гл';. ! ! ! г поэтому (и — 1)в' имеет распределение 11з с (и — 1)-й степенью свободы.
Теорема доказана. Следствием только что доказанной теоремы является Те о р с и а 2. Пусть (1) — выборка из нартнальнага расттгсоеления. Статистика (в — ь) л1п (10) называемая отношениел! Стьгодента, алеет раг.- ирсделение Стьюдента с (и — 1)-г! степенью свободы. Доказательство. — т)п имеет нормальное а распределение с параметрами (О, 1), а вгга не зависит от х и равно /у'„-' г/(и — 1), где Х,"; ! имеет т'-распределение с (п — 1)-й степенью свободы. Поэтому отношение (!О) имеет распределенле Стьюдента с (и — 1)-й степенью свободы. Теорема доказана.
Для построения доверительного интервала для а при неизвестном а воспользуемся отношением Стыодентз (10). Пусть 5„(1) — (пункция распределения Стьюденга ФМ. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ с и степенями свободы. Обозначим Г (п) квантиль распределения 5„(!), т. е. корень уравненйя ~„(!) =1 — у. Так как распределение Стьюдента симметрично, то г! Е(п) = — 1„(и) и при построении доверительного интервала надо брать а~ — — ае — †а.
Неравенство Гаа (и 1) (~ х а <~ Гаа (п 1) а выполняется с вероятностью 1 — а. Это дает нам доверительный интервал х — — '1,а(п — 1) е-'а е-х+ — 'г,а(п — 1). в) Доверительный интервал для и при известном а. Статистика является достаточной для параметра о и имеет те-распределение с и степенями свободы, Обозначим через К,„(х) функцшо распределения т!/Ее и через е„(п) кван- тиль К„(х), т. е.
корень уравнения К„(х) = 1 — у. Пусть а = а~ + аь Тогда неравенства й, , (п) ( — ~, ( )г, (и) выполняются с вероятностью 1 — а. Это дает доверительный интервал ~/ —,() (о( ~/ Можно доказать, что зтот интервал будет иметь наименьшую длину среди всех доверительных интервалов эгого вида с доверительной вероятностью 1 — а, если а! и ае выбраны так, что плотность й„(х) =К„'(х) удовлетворяет равенству й„()е, „(п)) = й„()г (и)). 240 ГЛ !В ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ г) Доверительный интервал для о прн неизвестном а.
В этом случае за основную статистику 4! возьмем эмина!А В рнческую дисперсию. По теореме 1, имеет дз-распределение с (и†1)-й степенью свободы. Э!о приводит к доверительному интервалу, аналогичному (11): / в — ! и — ! с доверительной вероятностью ! — (а! + аз), 5 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли Той же самой процедуры построения довернтельнь х интервалов можно придерживаться на том случае, кот.ш основное распределение дискретно.
Продемонстрируем это на схеме Бернулли. Пусть и — число успехов прн и испытаниях в схеме Бернулли. Функция распределения т Г (т; р) = Р (р ( и) = ~, С,",р" (1 — р)" А-.~ рассматриваемая в целых точках т = О, 1, 2, ..., и, убывает с ростом р, так как и — р(!п; р) = ир = ~ С„° йр (1 — р)" — ~ С„'(и — й) р (1 — р) " Ф ч А-О = — ЛС„!р (1 — р) ( О. Обозначим т (р) такое нанменшпее целое число, для которого 1 — Г(т (р); р) Ъ 1 — у.
Тогда т,(р) — 1 есть такое наибольшее число, что Р(т (р) — 1; р) < у. Пусть а! + аз — — а. Тогда с вероятностью ~1 — а т! „(р) ~р (и!, (р). з 65. схемА Беенулли Обозначим решение уравнения у = пч„(р) относительно р через т„-'(у). Тогда неравенства р = а1 (р) р 1-а (4) = р (!2) задающие доверительный интервал, выполняются с вероятностью )1 — сс. Число 1 — сс называется в этом случае коэффициентом доверия. Для нахождения границ доверительных интервалов (12) можно пользовать.
ся таблицами биномиального распределения, но такие таблицы громоздки и не очень распространены. П ь этому часто используют предельную теорему Муавра— Лапласа об асимптотической нормальности у'пр () — р) для построения приближенных доверительных интервалов. Неравенство ~т) ~ ( и м при больших и выполняется с вероятностью =1 — я.
Это дает $~ — — иап < р «~ — + иыз „, (13) !а((-а) н а () — л) однако неравенства (18) не задают доверительного интервала, так как в них имеется справа и слева зависни масть от р. Поскольку — „— р, то нз (13) получают доверительный интервал и~п'~~ „~ (! „) ««р«« „+пап'~/ — ч(! — — ) ° Другой подход к построению приближенного доверительного интервала для р основан на следующей теореме.
Теорем а 3. Луста последовательность $„такова, сто М$а=а, 0;.а=о'„- 0 и распределение $а асимптотпчески нормально с параметрами (а, о„). Предпололсим, что функция й(х~ ограничена, )у(х) ) К, и имеет кепрсрывпые произвооные д'(х), д" (х) в окрестности чолуки х = а, д'(а) ~ О. Тогда случайная величина т)„=-. :=- дЯ„) асимптотнчески нормальна с параметрами (у(а), )д'(а) )о,). гл м довегительныг. интегвдлы 24з Так как правая часть равенства и„— д(а) а (а) (ан (а) 1а„(а' (а) ~ 1„— а аа имеет в пределе нормальное распределение с параметрами (О, 1), то т)„' аспмптотическн нормально с пара- Ь„ метрами (а(а),(д'(а)1п„). Докажем, что —" — О. Для ап этого обратимся к (15) и докажем соответствующую сходимость по вероятности к нулю для каждого слагаемого.
По неравенству Чебышева (32) пз ф 17 Р (А„) ( =" = о„'". По неравенству Чебышева (31) из в 17 для любого е Р (( й (а) (1у > ео„) ( " ~ (— ~1п„- О. Аналогично доказывается Р (~ д (В„) ! 1д ) еп„)-+О. Далее л по неравенству Чебышева (а' (а) 1 М1 $ — а) ~ 1„— Р (! и' (а) ( ~ в„— а ) 1- ) ео„) ( Док аз а тел ь ство. Пусть при )х — а) ( е имеет место разложение Тейлора 11(х) = д (а) + д'(а) (х — а) + г (х)(х — а)', (14) где ) г(х) (а-'К, при некотором К, ( оо, Обозначим А„= =(еи (в (аз) — а~(ал). Для п)а таких, что а„(е4, мы можем, пользуясь разложением (!4), написать Па=а(В„)1„+д(В„)1; = = 1д (а (а) + а' (а) (В„а) + г(В„)(е„а) ) + 1д ь'(В„)" Тогда 1)„=т('„+б„, где т)'„= д (а) + и' (а) ($„— а), б„= — д(а) 1д — й'(а)($„— а) 1д + +1д г(К„)(к„— а)'+а($„) 11Т. (15) % б5.
схвмА вевиулли и по неравенству Коп(н — Ьупяковского М )ь~„— а~/- ~(А/М (ք— а)аМ/;Г "о„° охи, Л Л/ ~'а поэтому !а (а))аз/ Р (! й'(а) ! ° ~$„— а ! /- > ео„~ е " — > О. И, накоиеп, Р ~~/л г($„)($„— а)'-~) ео„)( " = —" — О. ()а Итак, мы доказали, что — "- О. Так как в сумме 1 справа ч„— л (а) ч„' — е (а) т тхг ~ ' а> ~ + распределение первого слагаемого сходится к нормальному с параметрами (О, !), а второе по вероятности Ча — е ~а) стремится к нул(о, то распределение; сходится )е' (а) ~ а1 к нормальному с параметрамн (О, 1). Теорема доказана. Применяя эту теорему к случайной величине ! и„= 2 агсяп х/' — „ г н получаем асимптотнческую нормальность т)„с пара— /) х метрами (2агсэ!и ~/р, х/ — ), так как случайная величина и /и асимптотнческн нормальна с параметрами ( м'" '.) г а() — р) х р,,у 1, а функция 2 агсз!и ~/х удовлетворяет а условиям теоремы 3 и (2агсз!п )/х ) = ух (! — х) Выбирая квантиль нормального распределения иап, мы можем построить доверительный интервал для р, исходя из того, что неравенство ! /н аа 2 агсз!и ~( — — 2 агсэ!и х/ р 1 а а/и 244 гл.
<а. лови нтельныв инги валы выполняется при больших и приблизительно с вероят. постыл 1 — сс. Отсюда получаем неравенства Р «аи 2агсв)п ~( — — — ~(2агсв1п ~р ~ л (2агсв!п г~( — += не(з 'Ч ° н приближенный доверительный интервал 2 «аг< в(п загса!п ~у — — =г1( <)( «2 Ч(л г ~~р(в!п ~агсв!п ф — + — х!. Н аеи Ч а 24(«.Г Задачи !. По независимым выборкам х<, ..., хгч и р<, " ., рл, нз лвух нормальных рас«релелеиий с параметрами (а<, а<) н (а<, оз) соотвстстнен«о построить доверительный интервал с доверительной вероятностью ! — а аля разности а< — аз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
