А.С. Белокопытов, К.С. Ржевкин, А.А. Белов, А.С. Логгинов, Ю.И. Кузнецов, И.В. Иванов - Основы радиофизики (1119801), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Она характеризует статистическую связь между двумя значениями случайной величины, отделенными интервалом времени т. В дальнейшем будем рассматривать так называемые стационарные случайные процессы. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если х и и не зависят от времени, а функция автокорреляции определяется только величиной !т!. Отсюда следует, что функция автокорреляции стационарного случайного процесса является четной К(т) = К( — т). Если распространить спектральные представления, развитые в гл. 1 по отношению к детерминированным сигналам, на случайные процессы, т. е. вычислить спектральную плотность Я(ы) случайного процесса х(!) по формуле (1.13) Я(ы) = х(!)е ' Ж, — х то полученная функция Я(ы) будет тоже случайной функцией частоты.
Например, если х(!) — смещение какой-либо броуновской частицы, то функция Я(ы) будет характеризовать движение только этой частицы, координату которой описывает функция времени х(1). Если вести наблюдение за другой броуновской частицей, то ее движение будет описывать другая функция времени х,(!), и для спектральной плотности получится другая функция частоты Я,(ы). Движение (-й броуновской частицы будет характеризоваться ее "индивидуальным" спектром Я;(ы).
Попытка усредннть спектральные плотности Я;(ы), характеризующие движение большого количества броуновских частиц, приведет к нулевому результату, так как фазы спектральных составляющих в спектрах различных броуновских частиц имеют случайную величину и независимы. Этот пример показывает, что спектр случайного процесса желательно определить так, чтобы получить для спектральной плотности некоторую неслучайную функцию частоты. С этой целью вводят понятие спектральной плотности не самой случайной величины, а ее среднего квадрата. Применительно к электрическим флуктуациям средний квадрат есть величина, пропорциональная средней мощности флуктуаций. Поэтому .спектральную плотность б(ы) среднего квадрата флуктуаций называют также энергетическим спектром. Эта величина определяется соотношением д а С(ы) = 1!т —, а -0 Ьы' Глава 8.
Ш мы 190 где охи' — среднеквадратичное шумовое напряжение, генерируемое в интервале частот озоо, расположенном около средней частоты оо. Для того чтобы найти среднеквадратичное шумовое напряжение, генерируемое в полосе частот от оо, до и„нужно вычислить интеграл (8.2) В соответствии с этим для определения среднеквадратичного напряжения, генерируе- мого на всех частотах от нуля до бесконечности, необходимо в выражении (8.2) распро- странить интегрирование на интервал от 0 до со: а' = ог = б(оо) о(оо о (8.3) 8.2. Белый шум Этим термином принято называть стационарный случайный процесс с постоянным на всех частотах энергетическим спектром: С(оо) = Со = сопят. (8.4) Используя теорему Винера — Хинчина, можно показать, что функцией автокорреляции белого шума является б-функция.
По этой причине белый шум называют б-коррелированным процессом. Строго говоря, постоянство энергетического спектра на всех частотах не может иметь места в действительности, в связи с тем что полная шумовая мощность такого процесса была бы равна бесконечности. В этом можно убедиться с помощью соотношения (8.3). Так как реальные процессы не могут обеспечивать бесконечно большую шумовую мощность, их энергетический спектр должен иметь конечную верхнюю граничную частоту, Таким образом, белый шум является абстрактной математической моделью. В природе таких процессов не существует. Однако это не мешает приближенно заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом тогда„когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказывается существенно' уже ширины спектра шума. Чем быстрее убывает функция автокорреляции с увеличением сдвига времени т, тем быстрее и резче меняется данная случайная величина и тем шире должен быть ее энергетический спектр.
Следовательно, свойства функции автокорреляции и ее энергетического спектра связаны между собой. Суть этой связи раскрывает теорема Винера— Хинчина. Она утверждает, что энергетический спектр и функция автокорреляции связаны преобразованиями Фурье, которые, пользуясь четностью функций К(т) и С(оо), можно записать в виде 1 / К(т) = — / С(оо) сов оот о(ои, С(оо) = 4 К(т) сов оот о(т, 2ог / о о Из этих соотношений, так же как и из выражения (8.1), следует, что энергетический спектр всегда веществен и не несет никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными компонентами.
Поэтому по энергетическому спектру принципиально невозможно восстановить закон изменения случайной величины во времени. 8.3. Основные виды ш мов 191 8.3. Основные виды шумов К наиболее часто встречающимся шумам относят тепловой, дробовой, генерационно-рекомбинационный шумы, а также флнккер-шум. Рассмотрим эти шумы подробнее. г(и' = Со г(г». (8.5) Следовательно резистоР можно Рассматривать как генеРатоР с р 81 ц внутренним сопротивлением В и шумовой ЭДС, которая в ин- зуема„лля рас„ета спек тервале частот г(г» определяется соотношением (8.5).
Эта ЭДС трельной плотности тесоздает на конденсаторе напряжение. Среднеквадратичное зна- ялового шума чение (Ы), этого напряжения в полосе частот г(г» можно найти методом комплексных амплитуд: 1 ) г»С Со г(г» 1+ г»'В'С' 1 Л+ —. гг»С Проинтегрировав это соотношение по всем частотам от нуля до бесконечности, найдем полную величину среднеквадратичного напряжения на конденсаторе: й» яаО ,г' 1 + ы'В'С' 2ВС 0 Отсюда для среднего значенгвг энергии конденсатора получаем С(яг~ яС0 2 4В (8.6) Среднее значение энергии конденсатора можно также найти с помощью теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы, применимой к любому Тепловой шум Тепловой шум вызывают флуктуации объемной плотности электрического заряда в проводящих телах, возникающие благодаря хаотическому тепловому движению носителей заряда.
Несмотря на электрическую нейтральность проводника в целом, внутри объема проводника возникают переменные во времени электромагнитные поля, а на внешних зажимах появляется шумовая разность потенциалов. Спектр шумового напряжения оказывается очень широким из-за высокой концентрации заряженных частиц и большой средней тепловой скорости их движения.
Это обстоятельство позволяет утверждать, что на частотах радиодиапазона тепловой шум можно приближенно рассматривать как белый. Найдем спектральную плотность теплового шума. Для этого рассмотрим цепь, показанную на рис. 8.1. Будем считать, что резистор В поддерживается при температуре Т и является источником белого шума с неизвестной пока спектральной плотностью С,. Шум резистора создает на обкладках конденсатора некоторое напряжение и, следовательно, сообщает конденсатору энергию. Вычислим среднее значение энергии конденсатора. В соответствии с (8.1) в интервале частот й», расположенном около средней частоты ы, резистор генерирует среднеквадратичное шумовое напряжение Глава 8. Ш ы 10г телу, которое находится в тепловом равновесии с окружающей средой. В соответствии с этой теоремой для любой физической системы с одной степенью свободы и любого механизма флуктуаций средняя энергия флуктуаций равна ИТ72, где и — постоянная Больцмана.
Поскольку рассматриваемая нами электрическая цепь является системой с одной степенью свободы, средняя энергия, накопленная в конденсаторе, должна быть равна кТ(2. Следовательно, С~из), 'яТ (8.7) 2 2 Приравнивая (8.6) и (8.7), найдем спектральную плотность белого шума, которым можно приближенно описать шум резистора: Со= 2ИТЯ (8.8) Подставляя это выражение в (8.5), найдем среднеквадратичное шумовое напряжение, генерируемое резистором в полосе частот Ы~ = йи7'2я: Уи' = 4'кТЯ4~.
(8.9) Это соотношение носит название формулы Найквиста. Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы справедлив при таких частотах и температурах, когда квантовомеханические эффекты несущественны, т. е. величина кванта энергии йи мала по сравнению с ЙТ; (8.10) Ьи «ЕТ. При температуре жидкого гелия это условие выполняется для всех частот вплоть до сантиметрового диапазона. В тех случаях, когда условие (8.10) нарушается, например в оптическом диапазоне, закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы не выполняется и выражение (8.8) для спектральной плотности теплового шума должно быть изменено.
Соответствующие расчеты показывают, что в этом случае для спектральной плотности теплового шума следует использовать выражение которое сводится к (8.8) при условии Ьи 4, 'яТ. Несмотря на кажущуюся малость тепловых шумов, они в ряде случаев оказываются решающим фактором, ограничивающим реальную чувствительность электронной аппаратуры. Единственным радикальным средством борьбы с тепловыми шумами является глубокое охлаждение шумящих устройств. Заметим, что в соответствии с формулой Найквиста величина теплового шума определяется только активным сопротивлением цепи. Это обстоятельство отражает тот факт, что реактивные элементы не генерируют тепловой шум. Для доказательства этого утверждения снова рассмотрим цепь рис.
8.1. Будем считать, что конденсатор находится в тепловом контакте с термостатом, имеющим температуру Т. Шумовой ток, генерируемый резистором, не может нагревать конденсатор, так как сдвиг фаз между током и напряжением на конденсаторе равен я/2. Допустим, что конденсатор генерирует тепловой шум.
Тогда шумовой ток, генерируемый конденсатором, должен нагревать резистор. В результате температура резистора должна повышаться. Но даже если температура резистора сганет выше температуры конденсатора, процесс должен продолжаться, так как фазовые соотношения между током и напряжением в цепи при изменении температуры резистора не изменяются. В итоге тепло от конденсатора с температурой Т должно было бы передаваться резистору с более высокой температурой. Но такой процесс противоречит второму началу термодинамики. Следовательно, он 'невозможен и остается предположить, что идеальный 6.3.
Основные виды мов 193 Дробовой шум Причиной дробового шума являются дискретная природа электрического заряда и статистическая независимость перемещения заряженных частиц в электронных приборах. Получим выражение для энергетического спектра дробового шума. С этой целью рассмотрим вакуумный диод с нагретым катодом. Будем считать, что анодное напряжение достаточно велико, так что диод рабо~ае~ в режиме насыщения, т. е, все электроны, вылетающие из катода, попадают на анод. Анодный ток диода обусловлен движением электронов от катода к аноду под действием электрического поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
