Д. Кнут - Искусство программирования том 1 (1119450), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Рациональное число — зто"отношение (частное) двух целых чисел, р/д, где д — положительное число. Действительное число — это величина х, которая имеет деслгпичное представление: х = и+ 0 дгг(гдз..., где и — целое число, а каждое д, — любая цифра от 0 до 9, причем в конце не должно быть бесконечной последовательности из идущих подряд девяток. Представление (1) означает, что для любого положительного к де дь 4 дз дь 1 и+ — +=+ + — <х<п+ — +=+ + — + —, 10 100 10ь 10 100 10" 10ь Р) Вот два примера действительных чисел, которые не являются рациональными: х = 3.14159265358979..., отношение длины окружности к ее диаметру: ф = 1.61803398874989..., золотое сечение (1+ з/5)/2 (см.
раздел 1.2,8). Таблица важнейших числовых постоянных с точностью до сорокового десяти шого знака приведена в приложении А. Думаю, нет необходимости обсуждать хорошо известные всем свойства сложения„вычитания, умножения, деления и сравнения действительных чисел. Сложные проблемы, возникающие при оперировании целилии числами, часто решают с помощью действительных чисел, а сложные проблемы, связанные с действительными числами,— с помощью более общего класса ве1зичин, которые называются комплексными числами. Хомплексное число — это величина х, которую можно представить в виде х м х + ту, где х и у — действительные числа, а т— особая величина, удовлетворяющая уравнению 1~ = -1*.
Будем называть х и у действительной и мнимой частями х н определим модуль комплексного числа х как (3) Под комплексным числом, сопрл01сенным к х, понимают у = х — ту, и, таким образом, хх = хз + уз = [х[з. Теория комплексных чисел во многих отношениях проще и изящнее теории действительных чисел, хотя она и считается более сложной. Поэтому в данной книге мы ограничимся действительными числами, за исключением случаев, когда использование только действительных чисел приводит к необоснованным сложностям. Если и и и — действительные числа, для которых и < и, то замкнутым интервалом [и ..0] будем называть множество действительных чисел х, таких, что и ( х < ш Аналогично открытый интервал (и .. и) — это множество действительных х, для которых и < х < ю. И, наконец, палуотакрытые интервалы [и/,и) нли (и..и] определяются подобным образом.
Мы допускаем также, что и может принимать значение -оо, а и — оо; в этом случае соответствующая сторона интервала остается открытой и мы считаем, что нижней или верхней границы у него нет. Таким образом, запись (-оо., оо) обозначает множество всех действительных чисел, а запись [О ..
оо) — множество неотрицательных действительных чисел. В дальнейшем в этом разделе буква Ь будет обозначать положительное действительное число. Если п — целое число, то 6" определяется известными правилами 60 Ь" = Ь" 'Ь, если и > О, Ь" = Ь"+'/Ь, если и < О. (4) По индукции легко доказать справедливость ттравил возведения в стпепеньи Ь*"'" = 6*6", (6*)" = 6*", (5) где х и у — целые числа. Если и — положительное действительное число, а т — положительное целое, то всегда существует единственное положительное действительное число и, такое, что и = и; оно называется корнем т-й степени из и и обозначается и = 1/й. Теперь определим операцию возведения в степень Ь" для рациональных чисел г = р/9 следующим образом: 6 "= '/Ьр.
(6) Это определение, введенное Оремом (Огевше) (ок. 13бО г.), очень удачное, так как 6'и/'е = ЬР/е и правила возведения в степень остаются в силе, даже если х и у— произвольные рациональные числа (см. упр. 9). И, наконец, определим операцию возведения в степень Ь' для всех действительных чисел х. Предположим, что 6 > 1; если х определяется формулой (1), то получаем Ьне-а1/10+" +Вв/10" ( Ьз ( Ьи+а1/10Ь. МВ /10 -~-1/10 (7) Итак, мы определили положительное действительное число Ь* единственным образом, так как разность между правой и левой частями соотношения (7) равна е Ее называют мнимой единицей. — Прим.
нерее. Ь"""' по+" +""?ю (Ькпе — 1). Как следует из упр. 13, приведенного ниже, эта разность меньше, чем Ь"+'(Ь вЂ” 1)/10~, н если взять достаточно большое Ь, то можно получить значение 6' с любой заданной точностью. Например, 10~л~ю~~~~ = 1.9999999739..., 10е зшозеео = 2.0000000199.
х = Ь"а'* =- !окэ(6*). (9) Например, из соотношений (В) вытекает, что !ок,с 2 = 0.30102999... Из правил возведения в степень следует, что (10) 1окэ(хв) = !окэх+!ондп, если х > О, 9 >.О, !обэ(с") = У !ояэс, если с > О. (Г2) В равенстве (10) приведен пример так называемого десятичного логарифма, т. е. логарифма по основанию 10. Можно было бы ожидать, что в работе с компьютером более удобными окажутся двоичные логарифмы (по основанию 2), так как основу вычислений в большинстве компьютеров составляют операции с двоичными числами. Как мы вскоре увидим, двоичные логарифмы действительно очень полезны и широко используются, но дело не только в этом.
Главная причина заключается в том, что ход выполнения компьютерного алгоритма часто разветвляется на два потока. Мы будем достаточно часто использовать двоичные логарифмы, поэтому имеет смысл ввести для них краткое обозначение. Итак, следуя предложению Эдварда М. Рейнгольда (ЕсЬчагб М. Ве!пко!О), будем использовать запись !бх = !октх. (13) поэтому для Ь = 10 и х = 0.30102999... мы знаем значение 10* с большей точностью, чем до одной десятимиллионной (но при этом даже не знаем, каким будет десятичное представление 10* — 1.999... или 2.000...). Для Ь < 1 определим операцию возведения в степень следующим образом: Ь* = (1/Ь) *; если же 6 = 1, то 6* = 1.
При этих определениях можно доказать, что правила возведения в степень, определяемые соотношениями (5), выполняются для всех дейсгпвительнмх чисел х и Ьс Эти идеи определения Ь*. впервые были высказаны Джоном Валлисом (Зппп %'а!!!э) в 1555 году и Исааком Ньютоном в 1669 году. А теперь мы подошли к одному важному вопросу. Предположим, дано положительное действительное число Ьс Можно ли.найти такое действительное число х, что р = 6*? Ответ на этот вопрос утвердительный (при условии, что Ь эЕ 1), так как можно просто использовать неравенства (7) в обрашном направлении„чтобы определить п и д„дт,...
для заданно~о соотноси ння 6* = у. Полученное в результате число х называется логарифмом у по ослиеинию 6 и записывается как х =!охэ р. Согласно этому определению имеем А теперь возникает вопрОс„. существует ли некая связь между !8х и !о81о х. К счастью.
она действительно счшествует. Из (9) и (12) следует, что !о81о х = !о81о(2~г ) = (18 х) (!о81о 2). Таким образом, 18 х = 1обш х/1обш 2. В общем виде эта формула выглядит следующим образом: !о8, х = —. !061 х (14) !обг с Соотношения (11), (12) и (14) — это фундаментальные правила выполнения операций с логарифмами. Оказывается, в большинстве случаев ни 10, ни 2 не являются идеальным основанием логарифма. Но если взять в качестве основания действительное число е = 2.718281828459045..., то логарифмы приобретают более простые свойства. Логарифмы с основанием е принято называть натуральными логарифмами; при этом используется следующая запись: (15) 1пх = )об,х. Это нестрогое определение (в сущности, мы даже не определили число е) вряд ли позволит читателю почувствовать особую "натуральность" (т.
е, естественность) такого логарифма; но по мере работы с натуральными логарифмами 1пх они будут казаться нам все более естественными. Фактически натуральные логарифмы были введены Джоном Непером (3оЬп Хар!ег) (в несколько видоизмененном виде и вне связи со степенями) еще до 1590 года, за много лет до (1, 1) того, как стали известны другие виды логарифмов. Следующие два примера, рассматриваемые (х,1/х) в любом учебнике по теории вычислений, проливают свет на то, почему логарифмы Непера за- (1,о) (х,э) служили название "натуральных". (а) На рис. 6 Рис. 6.
Натуральный логарифм. площадь заштрихованной области равна 1пх. (Ь) Если банк выплачивает сложные проценты по ставке г, начисляемые каждые полгода, то прибыль на каждый доллар составит (1+г/2)г долларов; если начисление происходит каждый квартал, то вы получите (1+г/4)4 долларов; если же начисление происходит каждый день, то вы полу чите (1+с/365)~~~ долларов. Если бы проценты начислялись непрерывно, то вы получили бы в точности е' долларов на каждый доллар (если не учитывать ошибку округления). В нашу компьютерную эпоху многие банки уже фактически достигли в своей работе этой предельной формулы. История возникновения и развития понятий "логарифм" и "степень" приводится в ряде интересных статей Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
