А.Ю. Гросберг, А.Р. Хохлов - Физика в мире полимеров (1119325), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Но если вы встанете на такую точку зрения, вы никогда не поймете законов живой природы. Понятно, очень трудна поверить, что извивающиеся щупальца осьминога — это лишь игра атомов, подчиняющихся известным законам физики. Но если исследовать такое движение, пользуясь подобной гипотезой„то оказывается, что мы можем довольно точно угадывать его характер». Отказ от физического исследования проблемы происхождения жизни, вера в то, что ее зарождение обязано чуду— событию с абсурдно малой вероятностью 10 '" или меньше — это, по сути дела, малодушие, страх перед трудной задачей Спору нег, задача очень сложна.
Но, может быть, к го-нибудь дерз нег? прилоукпыив Тот факт, что для броуновской .граекторяи (пли полимерной цепи) смещение (или размер клубка) пропоэциопально корню из длины пройденного пути (или контурной длины), может служить отличным началом для рассказа об еще одной очень и~ггересной истории, пока не з) завершенной. Речь идет, как ни удивительно встретить эту тему' в книжке о полимерах, о понятии размерности прсюгранства.
Математики изучают эту тему уже около ста лет и многое о ней знают, ио важность ее для физики стала ясна совсем недавно, особепнопосле выхода в 1977 и 1982 годах двух книг американского физика Б. Мандельброта (см. (19) в списке литературы), Мы тоже собственно в математику вдаваться не будем, а будем рассуждать как физики. Все знают, что пространство, где мы живем, трехмерное — грубо говоря, потому, что пространственная система координат включает три оси х, р, г. Известно также, что время можно считать чегвертой координатой, т. е. пространство-время четырехмерно. Двумерное пространство — это обычная плоскость, одномерное — прямая.
Но оказы вается, что бываот объекты и с дробной размерностью. Рассуждая физически, будем представлять себе паш объект составленным из какпх-то частиц, условно будем '..х называть нх атомами, Например, можно представить себе составленные из атомов, объемную решетку типа кристаллической, плоскую пленку, прямолинейную цепочку. Мы понимаем, что размерности этих объектов равны соответственно 3, 2 и 1. Убедиться в этом можно так. Возьмем сферу радиуса Й и подсчитаем число помещающихся в ней атомов нашего объекта, обозначим это число Ф(Й). Лля объемной решепги Л'(1с) пропорционально обьему шара (ч'3)пй", для пленка — площади диаметрального сечения шара д17', длн цепочки — длине «протыкающего» диаметра 2Й. Во всех примсрах размерность равна степени 1эз буквы Й.
В обгцем случае можно написать Ж(й) =Кй,'", где К вЂ” не зависящее от »г числе. Чтобы избавиться от этой неинтересной посгояпной, можно взять логарифми- ческую производную: д йп л~ (л)) п(гп р) — А. Величина Л, определенная этой формулой, называется размерностью изучаемого объекта, точнее — фрактальной, или масштабной, или хаусдорфовой размерностью (в ма- тематике есть еще метрическая, топологическая и др.
размерности, о которых мы говорить не будем). Определим для примера фрактальную размерность броу- новской траектории или полимерной цепочки в свободном клубке. Число элементарных единиц, т. е. мономсрных звеньев, очевидно, прямо пропорционально контурной длине цепочки, т, е. )У вЂ” В. Следовательно, согласно фор- муле (4.3) размер У-звенного клубка пропорционален к'(Ф)-йпь или, иначе говоря, й (к)-»т». Следовательно, для данного случая д=2.
Итак, фрактальная размерность полимерной цепи в свободном клубке, хотя это и линия, равна двум, как будто это поверхность. Каков смысл этого удивительного фактами Очень простой: если сплющить полимерный клубок на плоскость (например, при адсорбцни полимера на поверхность твердого тела) или если осуществить случай- ные блуждания на двумерной плоскости (например, че- ловек в лесу), то цепочка большой длины илн траектория за большое время покроет плоскость в среднем довольно равномерно (поэтому путник и возвращается на пройден- ные места). Другими словами, нить броуновской траек- тории образует как бы ткань, а ткань — ато уже, конечно, двумерный объект.
В то же время обычная гладкая линия, скажем прямая, никакой ткани пи при какой адсорбцпи, конечно, не образует — собственно говоря, именно по- тому, что она одномерна. Аналогично определяется фрактальная размерность ли- нии цепи в набухшем клубке с исключенным объемом. В главе б мы показали, что для такого клубка »с(й) Л'»:". Из этого результата следует й (й",) Ям», т. е. искомая фрактальная размерность равна б Зж !,7 — вот и пример объекта с дробной размерностью! Итак, чтобы определить размерность, мы должны как-то мысленно «вырезать» из своего объекта шарообразные »Я куски размера тт' н смотреть, как меняется их содержимое при изменении тг. т1а практике изменению размера тг отвечает «разглядывание» объекта в микроскоп (нли иной прибор) с меняющейся разрешающей способностью, т.
е. просто фотографирование или вычерчивание его в разных масштабах. Представим себе, например, что сначала мы рассматривали фотографи1о с минимально различимыми деталями размера тс, а затем меняем масштаб в тл раз, так что минимальные детали становятся размером ттс. рис, П.!. Так выглядит окружность, если ее рассматривать в трез масштабах т ис. т).2. К йояснениш масштабной инвариантноств броуновской траектории Число катомовв в шаре размера Й пропорционально Й", а при размере лттс — (лис)"=-~яигск, т.
е. изменяется в и" раз. Поэтому величину размерности с( можно определить, следя за изменением ккартинкив при изменении масштаба изображения. Конечно, паши рассуждения имеют какой-то смысл только в том случае, если при изменении масштаба не меняется общий характер наблюдаемой картины, т. е. если она масштабно-инвариантна. Это справедливо для прямой линии нли плоскости, но пе справедливо, например, для окружности, которая в мелком масштабе предстанет едва 1;азличимой точкой, а в крупном — почти прямой линией (рис. П.!). Броуновскач траектория, а также ход цепи в идеальном или набухшем клубке обладают таким свой- 192 нвариантности «в среднем» (рис.
П.2). ывается, что масштабно-инварнантных очень много. моподобие или масштабная инвариант- место, конешю, только при ограниченнения масштаба. Например, когда мы обии полимерного клубка, то всегда Грзкса ' гн-г:гзооиаю иирбик ууд 5' ш- г:гх сенана йик бу гл=Г: бааерууу Скикдикайикий аизуаизр гаям Рнс. П,З, Трн изобра>кенни одной и той же береговой линии, взя тые из географических карт разных масштабов подразумеваем, что минимально различимые детали включают больше одного эффективного сегмента, а вся картина охватывает лишь только часть целого клубка. Обратимся к примеру. На рис.
П.З показана географическая карта береговой линии Норвегии между городами Буде и Тромсе. г',рнвая 1 взята из достаточно подробной карты с масштабом 1: 6 000 000; кривые 2 и 3 были взяты из менее подробных карт соответственно с !93 масштабами 1: 12000000 и 1: 25000000. Сравнение привык показывает, что более грубые карты, естественно, не отражают многих мелкомасштабных деталей — маленьких заливов 1фьордов), мысов и т.
п. Ьереговую лнниго на грубой карте нужно понимать не как настоящую геометрическую линию, ее нужно считать как бы «толстой», т, е. помнить, что реальный берег имеет многочисленные «загогулины» вблизи грубой изображающей линии 1см. еще раз рнс. П.З). Зададимся вопросом о длине береговой липни. Ответ, как видно нз рисунка, сильно зависит от подробности з,си г Га Ю' На На Нхб.на Рис. 0.4.
Зависимость измеренной по карте длины береговой линии от масштаба карты (график построен в логарифмических коорда- натах) используемой карты а), измерения курвиметром по кривым 1, 2, 3 дают ответы соответственно 22, 1О и 3 см. Эти данные представлены на рис. П.4 в виде точек, задающих зависимость логарифма определяемой длины от логарифма масштаба использованной карты. Как видим, зависимость приближенно линейная: 1п з = 1,4 1п т+ сопз1, т. е. з лт' '. Согласно сказанному выше зто означает, что фрактальная размерность рассмотренной береговой линии «) 'Другана словами; путь между двумя нуяхтаыи на берегу будет разный для корабля, йдутаего «прямо» открытым морем, для катера н для байдарки, вын)склонных «кать«я к берегу и повторять все более детально егО' изгибы.' приблизительно равна г)?=-1,4.
Что значит, что ф~)1? Это значит, что береговая линия «толстая» (см. выше), Почему «1~ 2? Потому что это все-такн не поверхность (не «ткань»), а линия, разделшощая плоскость на две области— сушу н море. Теперь, вероятно, вы готовы поверить в существование «иершавых поверхносгей» с размерное«ыо несколько больше двух. А специалисты по космологии всерьез утверждают, что Вселенная — это своего рода «вспененное» образование с размерностью больше четырех. Имеется еще очень много примеров масштабно-инвар «антиых объектов или, как их обычно называют, фракгзлов. Это снежинки, это частички сажи в печной трубе, это человеческие легкие и т.
д. Обширная коллекция богато иллюстрированных примеров содержится в двух книгах Б. Мандельброта (191 (к сожаленшо, эти книги не переведены на русский язык). Броуновское движение, география, космология...-- поистине обобщающая сила математики удивительна! Возможно, вам кажется, что мы забыли о своей теме, о полимерах? !!ет. Понятие фрактальной размерности очень удобно использовать для описания многих полимерных систем. Приведем еще один, кроме уже упомянутых простого свободного клубка и клубка с исключенным обьемом, пример. Рассмотрим случайно-разветвленную макромолекулу (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
