Д.С. Ватолин - Алгоритмы сжатия изображений (1119068), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Теорема. (О сжимающем преобразовании)

Пусть в полном метрическом пространстве (Х, d). Тогда существует в точности одна неподвижная точка этого преобразования и для любой точки , последовательность сходится к .

Более общая формулировка этой теоремы гарантирует нам сходимость.

Определение. Изображением называется функция S, определенная на единичном квадрате и принимающая значения от 0 до 1 или

Пусть трехмерное аффинное преобразование , записано в виде

и определено на компактном подмножестве декартова квадрата [0..1]x[0..1]. Тогда оно переведет часть поверхности S в область , расположенную со сдвигом (e,f) и поворотом, заданным матрицей

.

При этом, если интерпретировать значение S как яркость соответствующих точек, то она уменьшится в p раз (преобразование обязано быть сжимающим) и изменится на сдвиг q.

Определение. Конечная совокупность W сжимающих трехмерных аффинных преобразований , определенных на областях , таких, что и называется системой итерируемых функций (IFS).

Системе итерируемых функций однозначно сопоставляется неподвижная точка — изображение. Таким образом, процесс компрессии заключается в поиске коэффициентов системы, а процесс декомпрессии — в проведении итераций системы для получения неподвижной точки. Области в дальнейшем будут именоваться ранговыми, а области — доменными.

Построение алгоритма

Как уже стало очевидным из изложенного выше, основной задачей при компрессии фрактальным алгоритмом является нахождение соответствующих аффинных преобразований. В самом общем случае мы можем переводить любые по размеру и форме области изображения, однако в этом случае получается астрономическое число перебираемых вариантов разных фрагментов, которое невозможно обработать на текущий момент даже на суперкомпьютере.

В учебном варианте алгоритма, изложенном далее, сделаны следующие ограничения на области:

1. Все области являются квадратами со сторонами параллельными сторонам изображения. Это ограничение достаточно жесткое. Фактически мы собираемся приближать все многообразие геометрических фигур лишь квадратами.

2. При переводе ранговой области в доменную уменьшение размеров производится ровно в два раза. Это существенно упрощает как компрессор, так и декомпрессор, т.к. задача масштабирования небольших областей является нетривиальной.

3. Все доменные блоки — квадраты и имеют фиксированный размер. Изображение равномерной сеткой разбивается на набор доменных блоков.

4. Ранговые области берутся “через точку” и по Х и по Y, что сразу уменьшает перебор в 4 раза.

5. При переводе ранговой области в доменную поворот куба возможен только на 0⁰, 90⁰, 180⁰ или 270⁰. Также допускается зеркальное отражение. Общее число возможных преобразований (считая пустое) — 8.

6. Масштабирование (сжатие) по вертикали (яркости) осуществляется в фиксированное число раз — в 0,75.

Эти ограничения позволяют:

1. Построить алгоритм, для которого требуется сравнительно малое число операций даже на достаточно больших изображениях.

2. Очень компактно представить данные для записи в файл. Нам требуется на каждое аффинное преобразование в IFS:

• два числа для того, чтобы задать смещение рангового блока. Если мы ограничим входные изображения размером 512х512, то достаточно будет по 8 бит на каждое число.

• три бита, для того, чтобы задать преобразование симметрии при переводе рангового блока в доменный.

• 7-9 бит, для того, чтобы задать сдвиг по яркости при переводе.

Информацию о размере блоков можно хранить в заголовке файла. Таким образом мы затратили менее 4 байт на одно аффинное преобразование. В зависимости от того, каков размер блока, можно высчитать, сколько блоков будет в изображении. Таким образом, мы можем получить оценку степени компрессии.

Например, для файла в градациях серого 256 цветов 512х512 пикселов при размере блока 8 пикселов аффинных преобразований будет 4096 (512/8×512/8). На каждое потребуется 3.5 байта. Следовательно, если исходный файл занимал 262144 (512×512) байт (без учета заголовка), то файл с коэффициентами будет занимать 14336 байт. Коэффициент архивации — 18 раз. При этом мы не учитываем, что файл с коэффициентами тоже может обладать избыточностью и архивироваться методом архивации без потерь, например LZW.

Отрицательные стороны предложенных ограничений:

1. Поскольку все области являются квадратами невозможно воспользоваться подобием объектов, по форме далеких от квадратов (которые встречаются в реальных изображениях достаточно часто.)

2. Аналогично мы не сможем воспользоваться подобием объектов в изображении, коэффициент подобия между которыми сильно отличается от 2.

3. Алгоритм не сможет воспользоваться подобием объектов в изображении, угол между которыми не кратен 90⁰.

Такова плата за скорость компрессии и за простоту упаковки коэффициентов в файл.

Сам алгоритм упаковки сводится к перебору всех доменных блоков и подбору для каждого соответствующего ему рангового блока. Ниже приводится схема этого алгоритма.

for (all domain blocks) {

min_distance = MaximumDistance;

D_ij = image->CopyBlock(i,j);

for (all range blocks) { // С поворотами и отр.

current=Координаты текущего преобразования;

R=image->CopyBlock(current);

current_distance = D_ij.L2distance(R);

if(current_distance < min_distance) {

// Если коэффициенты best хуже:

min_distance = current_distance;

best = current;

}

Save_Coefficients_to_file(best);

} //Next range

} //Next domain

Как видно из приведенного алгоритма, для каждого доменного блока делаем его проверку со всеми возможными ранговыми блоками (в том числе с прошедшими преобразование симметрии), находим вариант с наименьшей мерой L₂ (наименьшим среднеквадратичным отклонением) и сохраняем коэффициенты этого преобразования в файл. Коэффициенты — это (1) координаты найденного блока, (2) число от 0 до 7, характеризующее преобразование симметрии (поворот, отражение блока), и (3) сдвиг по яркости для этой пары блоков. Сдвиг по яркости вычисляется как:

,

где r_ij — значения пикселов рангового блока (R), а d_ij — значения пикселов доменного блока (D). При этом мера считается как:

_.

Мы не вычисляем квадратного корня из L₂ меры и не делим ее на n поскольку данные преобразования монотонны и не помешают нам найти экстремум, однако мы сможем выполнять на две операции меньше для каждого блока.

Посчитаем количество операций, необходимых нам для сжатия изображения в градациях серого 256 цветов 512х512 пикселов при размере блока 8 пикселов:

Таким образом нам удалось уменьшить число операций алгоритма компрессии до вполне вычисляемых (пусть и за несколько часов) величин.

Схема алгоритма декомпрессии изображений

Декомпрессия алгоритма фрактального сжатия чрезвычайно проста. Необходимо провести несколько итераций трехмерных аффинных преобразований, коэффициенты которых были получены на этапе компрессии.

В качестве начального может быть взято абсолютно любое изображение (например, абсолютно черное), поскольку соответствующий математический аппарат гарантирует нам сходимость последовательности изображений, получаемых в ходе итераций IFS к неподвижному изображению (близкому к исходному). Обычно для этого достаточно 16 итераций.

Прочитаем из файла коэффициенты всех блоков;

Создадим черное изображение нужного размера;

Until(изображение не станет неподвижным){

For(every domain (D)){

R=image->CopyBlock(R_coord_for_D);

For(every output pixel(i,j) in the domain){

D_ij = R_ij + o_D;

} //Next pixel

} //Next domain

}//Until end

Поскольку мы записывали коэффициенты для блоков D_ij (которые, как мы оговорили, в нашем частном случае являются квадратами одинакового размера) последовательно, то получается, что мы последовательно заполняем изображение по квадратам сетки разбиения использованием аффинного преобразования.

Как можно легко подчитать, количество операций на один пиксел изображения при восстановлении необычайно мало, благодаря чему декомпрессия изображений для фрактального алгоритма проходит гораздо быстрее декомпрессии, например, для алгоритма JPEG.

Оценка потерь и способы их регулирования

При кратком изложении упрощенного варианта алгоритма были пропущены многие важные вопросы. Например, что делать, если алгоритм не может подобрать для какого-либо фрагмента изображения подобный ему? Достаточно очевидное решение — разбить этот фрагмент на более мелкие и попытаться поискать для них. В то же время понятно, что эту процедуру нельзя повторять до бесконечности, иначе количество необходимых преобразований станет так велико, что алгоритм перестанет быть алгоритмом компрессии. Следовательно, мы допускаем потери в какой-то части изображения.

Характеристики

Список файлов книги