Теормин МАТАН (1118773), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

При этом в определении класса Гёльдера на частичном сегменте [x k −1 , x k ] вкачестве значений функции на концах сегмента следует брать предельные значенияf ( x k −1 + 0) и f ( x k − 0)5Определение 9: Будем называть функцию f(x) кусочно гладкой на сегменте [a,b], еслиэта функция непрерывна на [a,b] и имеет на этом сегменте кусочно непрерывнуюпроизводную.Th Пусть кусочно гёльдеровая на [- π , π ] функция f(x) периодически (с периодом 2π )продолжена на всю прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходитсяв каждой точке x прямой к значению f(x)=[f(x+0)+f(x-0)]/2, причём сходимость этого рядаявляется равномерной на каждом фиксированном сегменте, лежащем внутри участкагладкости функции f(x).Определение 10: Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в данной точке справа(слева) условию Гёльдера порядка a, если функция имеет в точке x правое (левое)предельное значение и если существует такая постоянная M, что для всех достаточномалых положительных (отрицательных) t справедливо неравенство⎛ f ( x + t ) − f ( x − 0)⎞f ( x + t ) − f ( x + 0)≤M ⎜≤M⎟αα⎜⎟tt⎝⎠Th: Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье кусочно непрерывной ипериодической (с периодом 2π ) функции f(x) сходился в данной точке x числовойпрямой, достаточно, чтобы функция f(x) удовлетворяла в точке x справа условиюГёльдера какого-либо положительного порядка α 1 и в точке x слева условию Гёльдеракакого-либо положительного порядка α 2 (тем более достаточно, чтобы функция f(x)имела в точке x правую и левую производные).III.

Преобразование Фурье.Пусть сходится несобственный интеграл:∞∫f ( x) dx (1)−∞Определение 1: Будем говорить, что функция f(x) принадлежит на прямой (−∞, ∞)классу L1 , если функция f(x) интегрируема (в собственном смысле Римана) на любомсегменте и если сходится несобственный интеграл (1).Лемма 1. Если f ∈ L1 (−∞, ∞) , то для любой точки λ числовой прямой существуетнесобственный интеграл g (λ ) =∞∫eiλ xf ( x)dx , называемый преобразованием Фурье (или−∞образом Фурье) функции f(x).

Функция g( λ ) непрерывна по λ в каждой точке числовойпрямой.Лемма 2 (лемма Римана). Пусть функция f(x) – локально интегрируема на (−∞, ∞) и [a,b]– произвольный фиксированный интервал числовой прямой, тогдаb∫ f ( x )eiλ xdx ⎯λ⎯⎯→ 0→∞aЛемма 3. Преобразование Фурье g( λ ) функции f ∈ L1 (−∞, ∞) стремится к 0 при λ → ∞Определение 2. Для каждой функции f(x) из класса L1 (−∞, ∞) назовём предел⎡ ∞ iλ ( t − x )⎤f (t )dt ⎥ dλ⎢ ∫e∫−A− A⎣ − ∞⎦(при условии его существования) разложением функции f(x) в интеграл Фурье.1A→∞ 2πlimA1A→∞ 2π− iλ x∫ g (λ )e dλ = lim6ATh Если функция f ∈ L1 (−∞, ∞) и если f(x) удовлетворяет в данной точке x справаусловию Гёльдера порядка α 1 , где 0 < α 1 ≤ 1 , а слева условию Гёльдера порядка α 2 , где0 < α 2 ≤ 1 , то в данной точке выполнено равенствоA1f ( x + 0) + f ( x − 0)limg (λ )e −iλx dλ =∫A→∞ 2π2−AТаким образом, в каждой точке x, в которой значение f(x) равно полусуммеf ( x + 0) + f ( x − 0), в частности, в каждой точке непрерывности f(x), справедливоf ( x) =2∞1равенство f ( x) =g (λ )e −iλx dλ , в котором несобственный интеграл понимается в∫2π −∞смысле главного значения, т.

е. при симметричном стремлении пределов интегрированияк бесконечности.Определение 3. Будем говорить, что функция f(x), заданная в некоторой проколотойокрестности точки x, удовлетворяет в точке x условиям Дини, если1) в точке x существуют оба односторонних пределаf ( x + 0) = lim f ( x + u ), f ( x − 0) = lim f ( x − u )u →0 + 0u →0 + 02) для какого-нибудь положительного значения ε оба интегралаεεf ( x + u ) − f ( x + 0)f ( x − u ) − f ( x − 0)du,du∫0∫uu0сходятся абсолютно.Свойства преобразования Фурье:kУтверждение 1: Пусть для целого неотрицательного k (1 + x ) f ( x) ∈ L1 (−∞, ∞) . Тогдапреобразование Фурье g( λ ) функции f(x) дифференцируемо k раз, причём егопроизводную по λ любого порядка m=1,…,k можно вычислять дифференцированием подзнаком интеграла, т е g ( m ) (λ ) =∞∫ f ( x)(ix)me iλx dx .−∞Утверждение 2: Пусть функция f(x) имеет в каждой точке x все производные до порядкаk>1 включительно, причем f(x) и все f ( m ) ( x) , m=1,…,k, абсолютно интегрируемы на(−∞, ∞) и для любого m=0,…,k-1 f ( m ) ( x) → 0 .

Тогда g (λ ) = o( λλ →∞ч →∞−k) , где g( λ )-преобразование Фурье функции f(x).Утверждение 3 (равенство Планшереля) : Пусть функция f(x) и её вторая производнаяабсолютно интегрируемы на (−∞, ∞) , f ( x) → 0, f ′( x) → 0 . Пусть функция ϕ (x)x →∞x →∞абсолютно интегрируема на (−∞, ∞) . Тогда∞∞1g (λ )ψ (λ )dλ ,∫−∞2π −∫∞где g( λ )=F(f), ψ (λ ) = F (ϕ ) - преобразования Фурье функций f и ϕ соответственно; чертаозначает комплексное сопряжение.f ( x)ϕ ( x)dx =7.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)