Ответы к экзамену (1118758)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Определения и формулы№1Дайте определение функции, однолистной на некотором множествеФункция комплексного переменного ω(z) на множестве Z является однолистной, если ∀z1 , z2 ∈ Z : ω(z1 ) 6= ω(z2 ).Дайте определение показательной функции ezze = limnXzin→∞i=0i!=∞Xzii=0i!Можно поступить иначе: определим показательную функцию чисто мнимого числа ai, a ∈ R : eai = cos(a) + i sin(a). Тогда для произвольногокомплексного аргумента z = a + bi : ez = ea ∗ eib .Дайте определение тригонометрических функцийОпять та же самая двойственность. Либо используем соотношение Эйsin(z)лера: sin z = Im(ez ), cos(z) = Re(ez ), tan(z) = cos(z), cot(z) = tan−1 (z).Если расписывать мнимую и вещественную части, как 2Re(z) = z +z, 2iIm(z) = z − z:sin(z) =ez − e−zez + e−z, cos(z) =2i2Либо же с помощью рядов:sin(z) =∞X(−1)i−1i=1cos(z) =∞Xz 2i−1(2i − 1)!(−1)ii=0z 2i(2i)!Тангенс и котангенс определяются очевидным образом.Определение гиперболических функцийС помощью рядов - точно также, как и в предыдущем, но все (−1) заменить на (+1).

Либо перенося определение из действительной переменной:z−zz−zsh(z) = e −e, ch(z) = e +e. Остальные определяются очевидно.22Дайте определение общей степенной функции z a , a 6= 01Определим через комплексный логарифм, который определяется как обратная функция к экспоненте:z a = eaLn(z)Писать Ln или ln - уже вопрос определения, можно делать и так, и так.Дайте определение функции комплексной переменной,дифференцируемой в точке, дайте пример.Пусть функция комплексной переменной ω(z) определена в некоторойокрестности точки z0 . Тогда, рассмотрим внутри этой окрестности следующий предел:ω(z0 + dz) − ω(z0 )limdz→0dzПримером будет, например, экспонента.Сформулируйте необходимое и достаточное условиедифференцируемости функции в точкеИмеются в виду условия Коши-Римана. Функция в точке является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она является аналитической в некоторой окрестности этой точки.

То есть тогда, когда внекоторой окрестности для этой функции выполняются условия КошиРимана. Например:∂Im(ω) ∂Re(ω)∂Im(ω)∂Re(ω)=,=−∂Re(z)∂Im(z) ∂Im(z)∂Re(z)Дайте определение функции, аналитической в области, несодержащей точку z = ∞. Приведите пример.Функция, дифференцируемая в комплексном смысле в любой точке области, является аналитической в ней. Или же: аналитическая функция та, что совпадает со своим рядом лорана в каждой точке этой области.Условия Коши-Римана для: ω(x, y) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iyУже записывали их:∂u∂v ∂u∂v=,=−∂x)∂y ∂y∂xТо же самое для z = ρeiϕ2Re(z) = ρ cos(ϕ), Im(z) = ρ sin(ϕ)uρ =uϕvϕ, vρ = −ρρУсловия Коши-Римана для z = x + iy,ω = u(ρ, ϕ) + iv(ρ, ϕ)Выводятся тупо подстановкой специального вида функции в обычныесоотношения:ρx = ρψy , ρψx = −ρy <=> ψy = ln(ρ)x , ψx = −ln(ρ)uАналогично, когда и z в параболическихСобственно, подставляем в выведенные выше пораболические специального вида функцию ReiΦ :Rϕ = −ρRΦρ , Φϕ =ρRρRДайте определение конформного в точке z 6= ∞ отображенияЭтоотображение, аналитическое в этой точке, и у которого существует вобразе этой точки также аналитическое обратное отображение.Дайте определение гармонической функции в областиФункция в области называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению лапласа: ∆ω = 0.

Легко показать, что любая компонента(мнимая или действительная) аналитической функции является гармонической, если у нее(функции) равны смешанные производные второго порядка(по x, y).Дайте определение сопряженных гармонических в некоторой областифункцийСопряженными гармоническими функциями, называются два таких решения уравнения лапласа u(x, y) и v(x, y), что эти решения связаны со∂v ∂u∂v∂u= ∂y, ∂y = − ∂xотношениями Коши-Римана: ∂x)Сформулируйте теорему Коши для односвязной областиПо любому замкнутому контуру, целиком лежащему внутри односвязнойобласти, для функции, аналитичной в этой области, интеграл по этомуконтуру будет равен 0.3Для ограниченной: если функция аналитично в области, и непрерывнана ее границе, то интеграл от функции по границе области равен 0.Для многосвязной: если функция аналитична в области, ограниченнойснаружи неким контуром C0 , а изнутри - контурами Ci , то интеграл отэтой функции по полной границе это области(то есть по всем Ci ∪ C0 )равен 0Интегральная формула Коши для односвязной областиПусть функция аналитична внутри области U .

Тогда для произвольнойточки z0 внутри этой области:Zf (z)1dzf (z0 ) =2πi Γ z − z0Дайте определение интеграла типа КошиЯ в ахуе пошел за кофеем.Сформулируйте теорему о среднемОписав окружность вокруг точки z0 , испльзуя формулу коши получимформулу:Z1f (ζ)ds, s = R0 ϕ − длина дуги окружностиf (z0 ) =2πR0 CR0Сформулируйте теорему ЛуивилляОграниченная и аналитическая на всей комплексной плоскости функцияесть константа.Сформулируйте принцип максимума(минимума) модуляаналитической функции ωПусть целая функция ограничена в области сверху(1/ω ограничена сверху и не имеет нулей). Тогда или она константа, или она достигает максимума(1/ωДостигает максимума)(относительно точек области) на границе этой области.Сформулируйте теорему о почленном интегрированиифункционального ряда4Если все функции под суммой ряда интегрируемы на неком сегмента, иесли ряд сходится равномерно на этом сегменте, тогда интеграл ряда наэтом сегменте существует и есть ряд интегралов.Вторая теорема Вейерштрасса о функциональных рядахЕсли имеется ряд из функций, аналитических в некоторой области, инепрерывных на ее границе, и вдобавок к этому, ряд из этих функцийравномерно сходится на границе области, то он сходится равномерно вовсей замкнутой области.Сформулируйте теорему Абеля о степенных рядахЕсли имеется степенной ряд по степеням (z − z0 ), который сходится внекоторой точке z1 6= z0 , то он абсолютно сходится и внутри круга.

сцентром в z0 , проходящего через эту точку, причем внутри круга он сходится равномерно.Запишите формулу Коши-Адамара для радиуса круга сходимостистепенного рядаpПо признаку коши, ряд будет сходиться, если: n an |z|n → 1 − , >0 => R = lim 1√n a . Если предел берется неоднозначно, то нужно братьnбольший из этих пределов(то есть готовиться к худшему, сужая свойрадиус сходимости под все гадости)Сформулируйте теорему ТейлораЛюбую аналитическую в точке области функцию можно представитьв некой окрестности этой точки сходящимся степенным рядом, причемоднозначно:∞Xf (n) (z0 )f (z) =(z − z0 )nn!n=0Сформулируйте теорему МорерыЕсли функция в односвязной области комплексной плоскости непрерывна, и интеграл от нее по любому замкнутому контуру внутри этой области равен 0, то это - аналитическая функция.Сформулируйте первую теорему Вейерштрасса о функциональныхрядах:5Пусть имеется ряд из аналитических в области функций, причем этифункции по любой замкнутой подобласти сходятся к некоторой функцииω равномерно.

Тогда ω - аналитическая функция в этой области, причемтеорема о почленном дифференцировании выполняется сколько угоднораз, и, соответственно, k-я производная ω есть ряд из k-ых производныхисходных функций, причем этот ряд тоже сходится равномерно.Теорема единственности аналитической функцииЕсли существует такая фундаментальная последовательность комплексных чисел, значения в которой у двух аналитических функций f и gравны, то это равные функции.Дайте определение аналитического продолжения функции, заданнойзиначально на мнлжестве TАналитическое продолжение - это функция, совпадающая с данной намножестве Е и являющаяся аналитической на неком множестве Х, содержащем Е.Сформулируйте теорему ЛоранаЛюбая аналитическая в круговом кольце функция однозначно представляется в нем сходящимся рядом Лорана.Дайте определение изолированной особой точки аналитическойфункцииИзолированная особая точка - такая точка, что существует ее проколотаяокрестность, внутри которой функция аналитична и однозначна, а саматочка - некая особая точкаДайте определение устранимой особой точкиУстранимая точка - такая, что существует конечный предел функциипри стремлении к этой точке.

Аналогично, что минимальный отличныйот нуля коэффициент ряда лорана этой функции в этой окрестности неменьше нуля. ПРимер: 2i(z − i), у которой в точке i Значение слегкаприподняли.Определение оплюса с примеромТакая точка, что ее ряд лорана в этой точке содержит конечное число отрицательных членов. При этом старший член определяет порядокполюса. f = 1/z в нуле6Существенно особая точкаЕе ряд лорана содержит бесконечно много отрицательных членов: lnz внуле.Сформулируйте теорему о конечной утсранимой особой точкефункцииЕсли функция, аналитичная в кольце, вокруг этой точки(так, что нижний радиус = 0) ограничена в этом окльце, то эта точка - устранимаяособая точка.Теорема о конечном полюсеЕсли вне зависимости от стремления к точки, мы получаем в пределефункции бесконечность, то эта точка - полюс конечного порядка.Теорема сохоцкого для случая обычной существенно особой точкикомплексной плоскости.Для любого эпсилон и для любой окрестности найдется хотя бы однаточка z1 , значение функции в которой будет отличаться от произвольнозаданного числа B меньше, чем на .определение вычета в конечной изолированной особой точкеаналитической функцииВычет - −1 коэффициент в разложении в ряд лорана этой функции вэтой точке.

Если расписать уже это, то получим интеграл взятый в положительном направлении вокруг этой точки по любому контуру в областианалитичности.Дайте определение вычета в изолированной бесконенчо удаленнойточке.Вообще говоря, либо домноженный на −1 −1-же коэффициент в разложении в бесконечно удаленной точке, то есть как вычет от обратнойфункции в 0, либо как интеграл по бесконечно удаленному контуру вотрицательном направлении.запишите формулу для вычисления вычета в полюсе конечногопорядкаd(m−11lim (m−1) (z − z0 )m f (z)(m − 1)! z→z0 dz7Сформулируйте основную теорему теории вычетовДля аналитической внутри замкнутой области функции, содержащейвнутри области лишь конечное число изолированных особых точек, интеграл по границе контура, проходимой в положительном направлениибудет равен домноженной на 2πi сумме вычетов во всех особых точках.Сформулируйте теорему о вычетах функции, аналитичной на всейплоскости, за исключением окнечного числа особых точекСумма вычетов во всех точках, включая бесконечно удаленную, равна 0.Сформулируйте леммы жордана по всем дурацким полуплоскостямЕсли функция аналитична в нужной нам полуплоскости за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно по углустремиться к нулю, то в зависимости от коэффициента при показателеэкспоненты интеграл от нее по бесконечной полуокружности в этой полуплоскости будет равен нул.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)