KURS3 (1118021)
Текст из файла
Из Т.14.1 и Т.14.4. следует
Т е о р е м а 14.5. Если - Ф.С.Р. уравнения
то общее решение
представимо в виде (14.1.):
Возникает вопрос: ли Ф.С.Р. для уравнения
и единственна ли она.
Т е о р е м а 14.6. Фундаментальная система решений для уравнения
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть дана некоторая матрица , такая, что ее определитель
. Тогда введем
как решение задач Коши:
Для этой системы определитель Вронского - линейно независимые функции
Ф.С.Р. Т.к. систем с определителем
бесконечное множество, то и Ф.С.Р. -бесконечное множество.
п.15. Построение дифференциального уравнения по известной Ф.С.Р. Формула Остроградского - Лиувилля.
Дана Ф.С.Р. Следовательно, известен порядок уравнения "n" (число функций в Ф.С.Р.). Можно ли по Ф.С.Р. определить коэффициенты уравнения, т.е. построить дифференциальное уравнение ?
Рассмотрим определитель
Выражение дает уравнение "n"- го порядка
причем коэффициент при
в
т.к. он равен определителю Вронского
Т.е. уравнение
и
имеют одинаковые Ф.С.Р.
Заметим, что
Откуда определитель Вронского определяется через .
Это формула Остроградского - Лиувилля. находим из начальных данных, а по (15.2)
при
Формула (15.2) позволяет получить общее решение уравнения 2-го порядка, если известно одно частное решение.
Пусть - известное решение и
- общее решение. Тогда
или
или
Окончательно,
п.16. Понижение порядка дифференциального уравнения при известном частном решении.
Т е о р е м а 16.1.Если известно частное решение уравнения
то можно понизить порядок уравнения, введя новую неизвестную
, для которой будем иметь
. Причем по Ф.С.Р.
для уравнения
строится Ф.С.Р.
для уравнения
в виде:
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим
Продифференцировав, получим
.............................................,
Подставив в уравнение получим
,
Следовательно,
то при
есть Ф.С.Р. для
. Ясно
удовлетворяет уравнению
. Следовательно, надо доказать линейную независимость
.
Предположим противоречие
продифференцировав , что невозможно дляФ.С.Р.
п.17. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка.
Т е о р е м а 17.1. Если - Ф.С.Р. уравнения
, а
- частное решение неоднородного уравнения
, то любое решение неоднородного уравнения представимо в виде:
Доказательство следует из принципа суперпозиции теоремы 14.5 о представлении общего решения однородного уравнения.
Для определения частного решения неоднородного уравнения рассмотрим задачу Коши с нулевыми начальными данными:
Заметим, что, если правая часть уравнения представлена в виде:
то решение задачи Коши с нулевыми начальными данными имеет вид
где
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Умножим (17.2) на и проинтегрируем
. Т.к. можно переставить дифференцирование по t и интегрирование по
, то получится окончательный результат.
то из (17.2) следует
Тогда имеем
Теперь возмем
Тогда
Следует из теоремы о среднем для Тогда, согласно (17.2 - 17.5), следует
где где
является решением задачи (17.2), где
Заметим, что при
имеем при
и т.д. до
Если берем , то из условия непрерывности имеем
и т.д. до
но
(*)
Тогда при будем иметь (если
мало)
и т.д. до
, но
(согласно (*)).
Таким образом, является решением задачи при
.
Т е о р е м а 17.2. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными данными
представимо в виде (17.7), где является решением задачи Коши (17.8)
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Проверим дифференцированием
................................................................................................................
Умножив на и просуммировав, получим
Получили нужное уравнение и нулевые начальные данные из теоремы ! имеет, что формула (17.7) правильная.
18. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследование уравнения колебания маятника.
Исследуем уравнение 2-го порядка
1. Свободные колебания маятника .
Возможны три случая.
1. - действительные и отрицательные, причем различные. Общее решение
т.к.
линейно независимые функции
При начальных данных и
получим:
Эти колебания не осциллирующие, а затухающие ( апериодически).
2. корни комплексные, сопряженные
и
линейно независимые функции.
Общее решение
Решение осциллирует и затухает. Если , то
(затухания нет) и имеем
Другим решением линейно независимым с является
.
Решение
Откуда вынужденные колебания
При имеем возрастание амплитуды колебаний (резонанс).
19. Общие свойства линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка
Найти Ф.С.Р.
Вводится понятие характеристического многочлена
Л е м м а 19.1.Cправедливо тождество
Доказательство дифференцированием.
...........................................................................................................................................
Умножим на и, складывая, получим (19.3).
Из условия имеем алгебраическое уравнение n - степени, у которого в общем случае
корней
кратности
, причем
Т е о р е м а 19.1.
Корню характеристического уравнения
кратности
отвечает
частных решений уравнения (19.1)
а функции (19.6) для всех образуют Ф.С.Р. для уравнения
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Тогда в соответствии с (19.3) при
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.