KURS1 (1118019), страница 2
Текст из файла (страница 2)
то функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на .
С л е д с т в и е.
Если - непрерывная функция и ряд
сходится равномерно, то предел ряда
-непрерывная функция.
Докажем, что ряд сходится, тогда
.
Для этого построим можарантную оценку членов ряда (5.3)
и т.д. получим по методу математической индукции
Мажорантный ряд сходится по признаку Даламбера
Следовательно, функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса при
и мы имеем предел
Покажем теперь, что
Так как удовлетваряет условиям 1), 2) теоремы 4.1, то
, если
(N-коэффициент Липшица).
Тогда такое, что при
имеем из условия
, что
.
Следовательно,
имеем
Продифференцировав получим
п.6. Нормальные системы DУ. Теорема существования и единственность задачи Коши для нормальной системы и уравнения
n-ого порядка.
Т е о р е м а 6.1. Если для всех
удовлетворяет условиям
1) непрерывности по всем аргументам
то решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений существует и единственно на отрезке
, где
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Строится эквивалентная система интегральных уравнений
1) Доказательство эквивалентности аналогично лемме 4.1 .
2) Доказательство единственности аналогично теореме 4.1, но только нужно учитывать векторный характер решения.
Пусть есть два решения
у которых не все равны
, тогда не равна нулю функция
(K не зависит от к).
Из леммы Гронуолла - Беллмана имеем
Eдинственность доказана.
3) Доказательство существования аналогично теореме 5.1.
Строим итерационный процесc
т.е. для рассматриваем сходимость ряда
.
Дальше все аналогично теореме 5.1. Мажорантный ряд сходится по признаку Даламбера. Функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно к непрерывной функции по признаку Вейерштрасса.
Так как интегральное уравнение эквивалентно решению задачи Коши задачи
Существование и единственность решения уравнения n-ого порядка.
Имеем
Т е о р е м а 6.2. Задача Коши (6.1) для уравнения n-ого порядка разрешенного относительно старшей производной, правая часть которого удовлетваряет условиям
1) непрерывности по всем аргументам
2) удовлетваряет условию Липшица по аргументам
имеет решение и притом единственное.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Сведем к нормальной системе
Тогда имеем нормальную систему
Проверяем удовлетваряет ли условиям 1) и 2) теоремы (6.1)? Удовлетворяет. Следовательно, теорема 6.2 доказана.
n.7. Общий интеграл уравнения I- порядка. Интегральный множитель.
Уравнение всегда можно представить в виде
Если , а
, то (7.1) уравнение в полных дифференциалах и мы имеем
Следовательно, имеем
Представление (7.3) - общий интеграл уравнения (7.1). Неявно представлено однопараметровое сесейство решений. Оно разрешимо, т.к. следовательно
Если мы для уравнения (7.1) имеем задачу Коши , то
и общее решение
Это другое определение общего решения через задачу Коши для произвольного .
Чтобы найти явное выражение решения (7.4) необходимо, чтобы . Если в некоторой точке
, а
, то можно определить
Если в некоторой точке одновременно и
, то это особая точка.
Т е о р е м а 7.1. Необходимым и достаточным условием представления уравнения (7.1) в полных дифференциалах является условие ( если решение
).
1) Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и.
2) Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и.
Пусть
Теорема доказана.
Общее решение можно записать в виде:
Предположим, что . Можно тогда поставить вопрос; существует ли такая функция
, называемая интегрирующим множетелем, что
Т е о р е м а 7.2. Если уравнение
имеет общий интеграл , то это уравнение имеет интегрирующий множитель.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Имеем
Откуда имеем
уравнение в полных дифференциалах.
Число интегрируемых множетелей бесконечно, т.к. если -интегральный множетель, то
, также интегральный
,
Т е о р е м а 7.3. Формула дает любой интегрирующий множитель уравнения
(если его решение
).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть и
два различных интегральных множителя
Так как Якобиан функции и
равен нулю, то
С л е д с т в и е. Если известно два интегральных множителя при ,то условие
дает общее решение дифференциального уравнения т.к.
Пусть
Откуда получим
Если
(функция только от t ), то
2) Если (функция только y), то
- функция только y и мы имеем
n.8 Дифференциальное уравнение I-порядка, неразрешенное относительно производной. Теорема существования и единственности решения.
Уравнение
Т е о р е м а 8.1. Если в некотором замкнутом трехмерном параллелепипеде
с центром в точке ,где
действительный корень уравнения
, выполнены условия
а) непрерывна по совокупности аргументов вместе с частными производными
и
;
то в окрестности точки существует единственное решение
уравнения (8.1),удовлетваряющее начальным условиям
.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Условия а), б) дают, что в точке выполнены условия
и ! неявной функции
причем - непрерывна по
, а
также непрерывна (это сильнее, чем условие Липшица по y.)
Метод введения параметра.
Пусть уравнение разрешено относительно т.е.
Обозначим (это введение параметра). Тогда предполагая
решения уравнения (8.2), получим