Главная » Просмотр файлов » В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций)

В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций) (1118017), страница 3

Файл №1118017 В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций) (В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций)) 3 страницаВ.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций) (1118017) страница 32019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Îáîçíà÷àÿ ðàçíîñòü ýòèõ ðåøåíèéy(x, µ + ∆µ) − y(x, µ) = U (x, µ, ∆µ),17ïîëó÷èì:dU= [f (x, y(x, µ + ∆µ), µ + ∆µ) − f (x, y(x, µ), µ + ∆µ)] +|{z}dx∆1 (x)+ [f (x, y(x, µ), µ + ∆µ) − f (x, y(x, µ), µ)] = ∆1 (x) + ∆2 (x),|{z}∆2 (x) U (x ) = 00⇔ U=ïî Ë0.1Zx∆1 (ξ)dξ +Zx(*)∆2 (ξ)dξx0x0 ñèëó óñëîâèÿ Ëèïøèöà 2)|∆1 (x)| 6 L |U (x, µ, ∆µ)|Èç óñëîâèÿ 1) òåîðåìû óíêöèÿ f (x, y, µ) - íåïðåðûâíà ïî µ â Π - çàìêíóòîéîãðàíè÷åííîé îáëàñòè.

Çíà÷èò, ïî òåîðåìå Êàíòîðà f (x, y(x, µ), µ) - ðàâíîìåðíîíåïðåðûâíà ïî µ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0: |∆µ| < δ(ε), ⇒ |∆2 (x)| < Hε ñðàçó äëÿdef∀x ∈ [x0 , x0 + H]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëàãàÿ Z = |U | = |U (x, µ, ∆µ)|, èç (*) èìååìíåðàâåíñòâî ëåììû ðîíóîëëà ñ êîíñòàíòîé C = ε:(∗) ⇒ Z(x, µ, ∆µ) < ε + LZxZ(ξ, µ, ∆µ)dξ⇒ë.

ðîíóîëëàZ(x, µ, ∆µ) < εeLH .x0Èòàê, ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 òàêîå, ÷òî åñëè |∆µ| < δ(ε), òî|y(x, µ + ∆µ) − y(x, µ)| < εeLH , ∀x ∈ [x0 , x0 + H]⇔ y = y(x, µ) - íåïðåðûâíàÿ ïî µ óíêöèÿ ∀µ ∈ [µ0 − c, µ0 + c].def1.3Ñóùåñòâîâàíèåè åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿíîðìàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé: dyi = fi (x, y1 , ..., yn )dxyi (x0 ) = yi0 ,Òåîðåìà 1.3. (Áåç äîêàçàòåëüñòâà)©Ïóñòü â îáëàñòè D =|x − x0 | 6 a,fi (x, y1 , ..., yn ):1)íåïðåðûâíûåïîñîâîêóïíîñòè18(1.5)i = 1, n¯¯ª¯yi − y 0 ¯ 6 bi îïðåäåëåíû óíêöèèiàðãóìåíòîââîáëàñòèD,³´∃M = max max|fi (x, y1 , ..., yn )|iD2) óäîâëåòâîðÿþùèå â îáëàñòè D ïîyi óñëîâèþ ËèïøèöàrïåðåìåííûìnP(ȳi − ȳ¯i )2 , L > 0.|fi (x, y¯1 , ..., y¯n ) − fi (x, y¯1 , ..., y¯n )| 6 Li=1Òîãäà çàäà÷à Êîøè (1.5) ¡èìååò¢ åäèíñòâåííîå ðåøåíèå yi íà ïðîìåæóòêåbi.∀x ∈ [x0 , x0 + H], ãäå H = min a, MiÇàìå÷àíèå.Âåêòîðíàÿ çàïèñü: ~y = {y1 , ..., yn }. d~y = f~ (x, ~y ),dxÇàäà÷à Êîøè:.~y (x¯ 0 ) = ~y0 .¯¯¯Óñëîâèå Ëèïøèöà: ¯f~ (x, ~y1 ) − f~ (x, ~y2 )¯ 6 L |~y1 − ~y2 |, L>0.1.4Ïðîñòåéøèå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ 1ãî ïîðÿäêà, èíòåãðèðóåìûå â êâàäðàòóðàõ.1.4.1.

Óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìèg(y) = 0g(y) = 0dyyx= f (x)g(y) ⇐⇒  dy = f (x)dx ⇐⇒  R dη = R f (ξ)dξdxg(y)x0y0 g(η)4.2.Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.Y (x) = 0dY= p(x)Y (x) ⇔ dY = p(x)dx ⇔dxYY (x) = 0Y (x) = 0RxRx⇔⇔p(ξ)dξ ⇔ln |Y | = p(ξ)dξ + ln C̄, C̄ > 0x0|Y | = C̄ex0Y (x) = 0RxRxp(ξ)dξp(ξ)dξ, ãäå Ñ - ëþáàÿ êîíñòàíòà.⇔ Y (x) = Cex0⇔  Y = C̄ex0Rxp(ξ)dξY = −C̄ex0Rxp(ξ)dξÈòàê,= p(x)Y (x) ⇔ Y (x) = Ce.1.4.3. Ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå.

Ìåòîä âàðèàöèè ïîñòîÿííîé.àññìîòðèìdYdxx0y ′ (x) = p(x)y(x) + f (x).19(1.6)Èùåì ðåøåíèå â âèäåRxp(ξ)dξ(1.7)y(x) = C(x)ex0Èç óðàâíåíèÿ (1.6) èìååì:Rx′Rxp(ξ)dξC (x)ex0−p(ξ)dξ+ f (x) ⇔= p(x)C(x)ex0+ C(x)p(x)ex0RxRxp(ξ)dξp(ξ)dξ⇔ C ′ (x) = f (x)e x0RηZx− p(ξ)dξdη⇔ C(x) = C + f (η)e x0⇔ C(x) = C +x0ZxxR0p(ξ)dξf (η)e η(1.8)dηx0Ïîäñòàâëÿÿ (1.8) â (1.7), ïîëó÷èìRxy(x) = Cex0p(ξ)dξ+Zxx0RxÅñëè K(x, η) = eη′p(ξ)dξxR0p(ξ)dξ+f (η) e ηRxp(ξ)dξ dη.x0|{z}K(x,η)- èìïóëüñíàÿ óíêöèÿ , òî:Rxp(ξ)dξy (x) = p(x)y(x) + f (x) ⇔ y(x) = |Ce {zx0Y (x)}+ZxK(x, η)f (η)dη = Y (x) + ȳ(x),x0|{zȳ(x)}ãäå Y (x) - îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ȳ(x) - ÷àñòíîå ðåøåíèåíåîäíîðîäíîãî.1.5Ïîíÿòèå î "êîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ"çàäà÷àõ.Äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ (íà÷àëüíûå, ãðàíè÷íûå è ò.ä.), îáåñïå÷èâàþùèåìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å èçè÷åñêóþ îïðåäåëåííîñòü, íàçûâàþò äàííûìèçàäà÷è .Ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à, óäîâëåòâîðÿþùàÿ òðåì òðåáîâàíèÿì:1.

ðåøåíèå åå äîëæíî ñóùåñòâîâàòü,2. ðåøåíèå äîëæíî áûòü åäèíñòâåííûì,3. ðåøåíèå äîëæíî íåïðåðûâíî çàâèñåòü îò äàííûõ çàäà÷è (ò.å. áûòü óñòîé÷èâûì)- ìàëûì èçìåíåíèÿì ëþáûõ äàííûõ çàäà÷è äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü ìàëûåèçìåíåíèÿ ðåøåíèÿ,íàçûâàåòñÿ "êîððåêòíî"ïîñòàâëåííîé .20Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿóðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà, ðàçðåøåííîãî îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé:¡¢ (n)′(n−1)y(x)=fx,y,y,...,y y(x0 ) = y0y ′ (x0 ) = y0′y = y(x) :··············· (n−1)(n−1)y(x0 ) = y0ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å Êîøè äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû 1 -ãî ïîðÿäêà.

Ïîëîæèìy ′ (x) = y1 (x)y ′′ (x) = y2 (x)···············y (n−1) (x) = yn (x)Ïîëó÷èì çàäà÷ó Êîøè:yi (x) :1.6Ïðèìåðdy= y1 (x),dxdy1= y2 (x),dx···············.dyn−1= yn (x),dxdyn= f (x, y, y1 , y2 , ..., yn ),dxyi (x0 ) = yi0 , i = 1, n.×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà Ýéëåðà.½ ′ xyx2y = 2 , x ∈ [0, 1]⇐⇒ y = e 4y(0) = 1h = 0.121kxkyk01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0111.0051.01511.03031.05091.07721.10951.14831.19421.2479f (xk , yk ) =x k yk2∆yk = 0.1f (xk , yk )00.050.10050.15230.20670.26270.32320.38830.45930.537400.0050.01010.01520.02060.02630.03230.03880.04590.0537”òî÷íîå çíà÷åíèå”x2y=e411.00251.01001.02271.04081.06451.09421.13031.17351.22441.28401.

Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü çíà÷åíèÿ y10 ñîñòàâëÿåò ε10 = 1, 2840 − 1, 2479 =0, 0361.2. Îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ≈ 3%.22ëàâà 2Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ2.1nãîïîðÿäêà.Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Îïðåäåëåíèå 2.1. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå nãî ïîðÿäêà ⇔DefLy = y (n) + a1 (x)y (n−1) + ... + an (x)y = f (x),(2.1)ãäå y = y(x), x ∈ [a, b].Îïðåäåëåíèå 2.2. Åñëè f (x) ≡ 0, òî ëèíåéíîå óðàâíåíèå(2.1′ )Ly = 0íàçûâàþò îäíîðîäíûì.Îïðåäåëåíèå 2.3. Óñëîâèÿ, çàäàþùèå óíêöèþ y(x) è å¼ ïðîèçâîäíûå ïðè x0 ∈[a, b]:(n−1)y (x0 ) = y0 , y ′ (x0 ) = y0′ , ..., y (n−1) (x0 ) = y0,(2.2)íàçûâàþò íà÷àëüíûìè.Îïðåäåëåíèå 2.4. Çàäà÷ó (2.1), (2.2) íàçûâàþò çàäà÷åé Êîøè.Óòâåðæäåíèå.

(Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè (2.1), (2.2)) Äëÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.1) ñíåïðåðûâíûìè êîýèöèåíòàìè è ïðàâîé ÷àñòüþ íà [a,b℄ ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (2.1), (2.2).Òåîðåìà2.1 (Ïðèíöèïñóïåðïîçèöèè). Ïóñòü:ª©1) yk (x) , k = 1, N :Lyk = fk (x)NP2) Ly = f (x) =Ck fk (x), (Ck - çàäàííûå ïîñòîÿííûå)k=1Òîãäà: y =NPCk yk (x), (Ck - òå æå ïîñòîÿííûå).k=1ÄîêàçàòåëüñòâîLy = LNXk=1Ck yk (x)=L - ëèí.

îï.NXCk Lyk (x) =1)k=123NXk=1Ck fk (x) = f (x), ÷.ò.ä.2)Ñëåäñòâèå 2.1.©ªyk (x) , k = 1, N : Lyk = 0 ⇒ y =NXCk yk (x) : Ly = 0,k=1∀Ck .Äîêàçàòåëüñòâî Ïîëîæèòü â Ò.2.1 fk (x) ≡ 0, ∀k = 1, N .2.2Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.Íàïîìíèì îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìó, äîêàçàííóþ â ìàò. àíàëèçå.ª©Îïðåäåëåíèå 2.5. Ôóíêöèè yk (x), k = 1, n ëèíåéíî çàâèñèìû ∀x ∈ [a, b] ⇔Def∃Ck - êîíñòàíòû,nPk=1|Ck | =6 0 (íå âñå ðàâíû íóëþ):C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ...

+ Cn yn (x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b](*)©ªÎïðåäåëåíèå 2.6. Ôóíêöèè yk (x), k = 1, n ëèíåéíî íåçàâèñèìû ∀x ∈[a, b] ⇔ (∗) ⇒ 1 = 2 = ... = n = 0.DefÎïðåäåëåíèå 2.7. Îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî ⇔Def¯¯ y1 (x)y2 (x)¯ ′¯ y1 (x)y2′ (x)W (x) ≡ W [y1 (x), y2 (x), ..., yn (x)] ≡ ¯¯......¯ (n−1)(n−1)¯y(x)(x) y21¯...yn (x) ¯¯...yn′ (x) ¯¯...... ¯¯(n−1)(x)¯... ynÒåîðåìà2.2 ª(Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè:).

Ôóíêöèè©yk (x), k = 1, n ëèíåéíî çàâèñèìû ∀x ∈ [a, b] ⇒ W (x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b].Ñëåäñòâèå 2.2. (Îáðàòíàÿ òåîðåìà - äîñòàòî÷íîåóñëîâèå ªëèíåéíîé©íåçàâèñèìîñòè): ∃x0 ∈ [a, b], W (x0 ) 6= 0 ⇒ óíêöèè yk (x), k = 1, n ëèíåéíîíåçàâèñèìû ∀x ∈ [a, b].Òåîðåìà2.3. ÎïðåäåëèòåëüÂðîíñêîãîëèíåéíîíåçàâèñèìûõðåøåíèé îäíîðîäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ n ïîðÿäêà ñ íåïðåðûâíûìèêîýèöèåíòàìè (2.1′ ) îòëè÷åí îò íóëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî (îò ïðîòèâíîãî).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ∃x0 ∈ [a, b] : W (x0 ) = 0.

Ñîñòàâèì îäíîðîäíóþ ÑËÀÓñ îïðåäåëèòåëåì W (x0 ) = 0:C1 y1 (x0 ) + ... + Cn yn (x0 ) = 0,C1 y1′ (x0 ) + ... + Cn yn′ (x0 ) = 0,(2.3)......................................................(n−1)(n−1)C1 y1(x0 ) + ... + Cn yn(x0 ) = 0.24Ýòà ñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå:à n!X¡ 0 0¢~ 0 6= ~0,∃ C , C , ..., C 0 = C|C 0 | =6 0 .12nkk=1àññìîòðèì óíêöèþ(2.4)y = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) + ... + Cn0 yn (x) ñèëó Ñë.2.1 Ò.2.1 (ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè) è (2.3) óíêöèÿ (2.4) ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè):¾Ly = 0,y(x0 ) = 0, y ′ (x0 ) = 0, ..., y (n−1) (x0 ) = 0è, ñëåäîâàòåëüíî, òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ:y = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) + ...

+ Cn0 yn (x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b]©ª⇔ yk (x), k = 1, n ëèíåéíî çàâèñèìû ∀x ∈ [a, b], ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþDef 2.51) òåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, W (x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], ÷.ò.ä.Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ Âðîíñêîãîóðàâíåíèÿ Lyk©= 0, (k = 1, n)∀xª ∈ [a, b]:èçðåøåíèéîäíîðîäíîãî10 W (x) = 0 ⇔ ©yk (x), k = 1, nª ëèíåéíî çàâèñèìû.20 W (x) 6= 0 ⇔ yk (x), k = 1, n ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Îïðåäåëåíèå 2.8. Ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.1′ )ñ íåïðåðûâíûìè êîýèöèåíòàìè íàçûâàþò óíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîéðåøåíèé (ÔÑ) ýòîãî óðàâíåíèÿ.Ñëåäñòâèå 2.3.

Îïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî èç ÔÑ îòëè÷åí îò íóëÿ.Òåîðåìà 2.4 (î ñóùåñòâîâàíèè ÔÑ). Âñÿêîå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèåñ íåïðåðûâíûìè êîýèöèåíòàìè (2.1′ ) èìååò ÔÑ.Äîêàçàòåëüñòâî . Çàäàäèì ïðîèçâîëüíûé ÷èñëîâîé, îòëè÷íûé îò íóëÿ,îïðåäåëèòåëü :¯¯ a11¯¯a∆0 = ¯¯ 21¯ ...¯an1... a1k... a2k... ...... ankÏîñòðîèì n ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè:Lyk (x) = 0,y k (x0 ) = a1k ,yk′ (x0 ) = a2k ,....................... (n−1)yk(x0 ) = ank .25¯...

a1n ¯¯... a2n ¯¯6 0.=... ... ¯¯... ann ¯ÀëãîðèòìïîñòðîåíèÿÔÑ©ªÏîêàæåì , ÷òî ýòè ðåøåíèÿ yk (x), k = 1, n îáðàçóþò ÔÑ. Ñîñòàâèìîïðåäåëèòåëü Âðîíñêîãî èç©ðåøåíèé yk (x)ª â ò. x0 :äîñò. óñë. ë. íåçàâ.W (x0 ) = ∆0 6= 0⇒yk (x), k = 1, n ëèíåéíî íåçàâèñèìû ∀x ∈ [a, b]Ñë2.2Îïð.2.8©ª⇒yk (x), k = 1, n - ÔÑ óðàâíåíèÿ 2.1′ , ÷.ò.ä.Çàìå÷àíèå. Òàê êàê îïðåäåëèòåëåé âèäà ∆0 ñêîëüêî óãîäíî, òî ñóùåñòâóåòáåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÔÑ äëÿ óðàâíåíèÿ Ly = 0.Òåîðåìà 2.5. (î ïîñòðîåíèè îáùåãî ðåøåíèÿ ëèíåéíîãîîäíîðîäíîãäèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ n ïîðÿäêà).

Ïóñòü yk (x), k = 1, n - ÔÑóðàâíåíÿ 2.1′ .Òîãäà ëþáîå ðåøåíèå Z ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèìî â âèäå:Z=nXCk yk (x),k=1ãäå Ck - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü Z = Z(x) - êàêîå-ëèáî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:LZ(x) = 0,Z(x0 ) = Z0 ,′′Z (x0 ) = Z0 ,(**)................(n−1) Z (n−1) (x0 ) = Z0.©ªÏîêàæåì , ÷òî ∃ Ck , k = 1, n : C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ... + Cn yn (x) ≡ Z, ∀x ∈ [a, b]è ïðè x = x0 ∈ [a, b] âûïîëíÿþòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿC1 y1 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + ... + Cn yn (x0 ) = Z0 ,ÑËÀÓ......................................................................ñ îïðåäåëèòåëåì(n−1) (n−1)(n−1)(n−1)W (x0 )(x0 ) = Z0C1 y1(x0 ) + C2 y2(x0 ) + ...

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее