В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций) (1118017), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Çàäà÷à î êîëåáàíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.8Çäåñü: äëèíà äóãè lϕ, óñêîðåíèå òî÷êè lϕ̈, ñèëà èíåðöèè −mlϕ̈, ~τ - åäèíè÷íûéâåêòîð êàñàòåëüíîé ê äóãå. Ñóììà äåéñòâóþùèõ ñèë ðàâíà íóëþ:−mlϕ̈ − mg sin ϕ = 0 ⇔ ϕ̈ + ω 2 sin ϕ = 0,ω2 =glÅñëè ϕ << 1, òî sin ϕ ≈ ϕ, è èìååì ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå êîëåáàíèé.ϕ̈ + ω 2 ϕ = 0.0.4.4. Òèõîíîâñêàÿ ñèñòåìà. öåëîì ðÿäå äèñöèïëèí:- ýêîíîìèêå,- ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ïîïóëÿöèé,- òåîðèè äâèæåíèÿ îïåðåííûõ ðàêåò (ñ ìàëûì ìîìåíòîì èíåðöèè)è äð. âñòðå÷àþòñÿ ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäàdx= X(x, y, t),dtε dy = Y (x, y, t),dtãäå ε - ìàëûé ïàðàìåòð.Èçó÷åíèåì ïîäîáíûõ ñèñòåì çàíèìàëèñü â ðàçíîå âðåìÿ È..

ðàäøòåéí, Ì.È.Âèøèê, Ë.À. Ëþñòåðíèê è äð.Îäíàêî, îñíîâíîé ðåçóëüòàò, ïðåâðàòèâøèé èçó÷åíèå ñèñòåì ïîäîáíîãî òèïàâ ñàìîñòîÿòåëüíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, áûë ïîëó÷åí â êîíöå 40x ãîäîâ À.Í.Òèõîíîâûì. Ïîýòîìó ïîäîáíûå ñèñòåìû íàçûâàþò Òèõîíîâñêèìè .Òèõîíîâñêàÿ ñèñòåìà îáëàäàåò öåëûì ðÿäîì îñîáåííîñòåé. Îäíîé èç íèõÿâëÿåòñÿ òðóäíîñòü åå ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, îáóñëîâëåííàÿ òåì, ÷òî y(t)- áûñòðîìåíÿþùàÿñÿ óíêöèÿ. Ïîýòîìó ïðèìåíÿþò àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû,ïîíÿòèå î êîòîðûõ ìû äàäèì â íàøåì êóðñå.0.4.5. Çàäà÷à Êîøè ìîäåëè Ëàíêàñòåðà, îïèñûâàþùåé ñîñòîÿíèå áèîëîãè÷åñêîéñèñòåìû.dx= −by − c, x |t=0 = x0 ,dty |t=0 = y0 . dy = −ax,dtÎðãàíèçì ñ òî÷êè çðåíèÿ áèîëîãèè åñòü ñîâîêóïíîñòü ïîðÿäêà 1015ðàçíîîáðàçíûõ êëåòîê, îáúåäèíåííûõ â îðãàíû è òêàíè, âûïîëíÿþùèõ ñòðîãîîïðåäåëåííûå óíêöèè.Ýòà ñîâîêóïíîñòü îïðåäåëÿåò êîýèöèåíò a, çíà÷åíèå êîòîðîãî ïîääåðæèâàåòèììóííàÿ ñèñòåìà (êîëè÷åñòâî êëåòîê ïîñòîÿííî âîñïðîèçâîäèòñÿ, åñëè c = 0).àçëè÷íûå âíåøíèå àêòîðû îïðåäåëÿþò êîýèöèåíò b; x, y - ÷èñëåííîñòè,ó÷àñòâóþùèå â ïðîòèâîáîðñòâå ñèñòåì: îðãàíèçìà è àêòîðîâ ñðåäû îáèòàíèÿ; c- êîýèöèåíò, ó÷èòûâàþùèé îãðàíè÷åííîñòü æèçíè ÷åëîâåêà.9èñ.

1. Èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ çäîðîâüÿ â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè.(I)(II) Òåîðèÿ "êëåòî÷íîé ñìåðòè"Ë. Õàéëèê (ÑØÀ).(III) Íå çàïëàíèðîâàííàÿ ïðèðîäîé ãèáåëü êëåòîê.0.5Ñâåäåíèå óðàâíåíèé â ×Ï ê ÎÄÓ. ÌåòîäÔóðüå.Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû ñãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè II è III ðîäà2∂ 2U2∂ U=a, (0 < x < l) ∂t2∂x2U (x, 0) = ϕ(x)íà÷àëüíûå óñëîâèÿU (x, t) : ∂U (0, t) = ψ(x)∂t∂U(0, t) = 0(II)∂xãðàíè÷íûå óñëîâèÿ∂U(l, t) + hU (l, t) = 0 (III)∂tÑîãëàñíî ìåòîäó Ôóðüå (ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ) èùåì ÷àñòíûå, ëèíåéíîíåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ U (x, t) 6= 0 â âèäå U (x, t) = X(x)T (t). Ïîäñòàâëÿÿ èñêîìûéâèä ðåøåíèÿ â óðàâíåíèå, ïîëó÷èìX(x)T ′′ (t) = a2 X ′′ (x)T (t)T ′′ (t)X ′′ (x)⇔ 2== −λ - êîíñòàíòàU 6=0 a T (t)X(x)Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàõîæäåíèÿ T (t) èìååì ÎÄÓT ′′ (t) + λa2 T (t) = 0,10à äëÿ íàõîæäåíèÿ óíêöèè X(x) ñòàâèòñÿ çàäà÷à Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ:′′X (x) + λX(x) = 0, 0 < x < l,X ′ (0) = 0, (II) ′X (l) + hX(l) = 0, (III)ãäå ÷èñëà λ - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, X(x) - ñîáñòâåííûå óíêöèè.0.6Ñâåäåíèåçàäà÷èØòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì IIIðîäà ê çàäà÷å Êîøè.√ íîâîé ïåðåìåííîé y = λx çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ïðèíèìàåò âèä√′′X (y) + X(y) = 0, 0 < y < µ = λl, (1)X ′ (0) = 0, (2) ′µX (µ) + hlX(µ) = 0.

(3)Áóäåì ðàññìàòðèâàòü µ êàê óíêöèþ ïàðàìåòðà t, íåÿâíî çàäàííóþóðàâíåíèåìΦ(µ, t) = µX ′ (µ) + tX(µ) = 0.Ïî òåîðåìå î ïðîèçâîäíîé íåÿâíî çàäàííîé óíêöèè èìååì:X(µ)Φ′dµ= − ′t = − ′.dtΦµX (µ) + µX ′′ (µ) + tX ′ (µ)Ó÷èòûâàÿ (1) è (3), ïîëó÷èëì çàäà÷ó Êîøè:dµµ== R(µ, t) - ðàö. àëãåáð. -öèÿdt(1 + t)t + µ2µ| = µII = √λII l, (0 6 t 6 hl).t=0Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñãðàíè÷íûì óñëîâèåì II ðîäà λII è ðåøàÿ çàäà÷ó Êîøè, íàõîäèì ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì III ðîäà (1)-(3).àññìîòðåííûé ìåòîä íàçîâåì äèåðåíöèàëüíî ïàðàìåòðè÷åñêèì.Çàìå÷àíèå.

Åñëè áû áûëè èçâåñòíû ñîáñòâåííûå óíêöèè X(y) = cos y ,òî ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü õàðàêòåðåñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿtñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé tg µ = . Êîðíè ýòîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ ìîãóòµáûòü íàéäåíû ïðè ðåøåíèè òîé æå ñàìîé çàäà÷è Êîøè.11ëàâà 1Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿïåðâîãî ïîðÿäêà.1.1Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿçàäà÷è Êîøè.èåäèíñòâåííîñòèàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà:dy= f (x, y)dxy(x ) = y00(1.1)Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü â ïðÿìîóãîëüíèêå D = {|x − x0 | 6 a, |y − y0 | 6 b} (D -çàìêíóòîå, îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî) îïðåäåëåíà óíêöèÿ f (x, y):1) íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, ∃Mmax |f (x, y)|;D=2) óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïî ïåðåìåííîé y óñëîâèþ Ëèïøèöà|f (x, ȳ) − f (x, ȳ¯)| 6 L |ȳ − ȳ¯|, ãäå L > 0 - êîíñòàíòà.¢¡Òîãäà â îáëàñòè D1 = {x0 6 x 6 x0 + H, |y − y0 | 6 b}, ãäå H = min a, Mb , çàäà÷àÊîøè (1.1) èìååò è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì â ïÿòü ýòàïîâ.1.1.1.

Ïîñòðîåíèå ëîìàíûõ Ýéëåðà12àçîáüåì îòðåçîê [x0 , x0 + H] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé:xk = x0 + kh,0 6 k 6 n − 1,h=H,nxn = x0 + H, h - øàã ðàçáèåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Ëîìàíàÿ Ýéëåðà (n) dy (x) = f (xk , yk )(n)(n)dxy (x) ⇔ y (x) = yk + (x − xk )f (xk , yk ) ⇔X def (n)(ÿâíîå çàäàíèå)y (xk ) = yk(íåÿâíîå çàäàíèå)ãäå X = {xk 6 x 6 xk+1 , 0 6 k 6 n − 1}.Ñâîéñòâî 1.1. y (n) (x) ∈ D1Ñâîéñòâî 1.2. y (n) (x) - óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ çàäà÷è Êîøè (1.1) ñ"íåâÿçêîé":(n) dy (x) = f (x , y ) = f ¡x, y (n) (x)¢ + ψ (n) (x),k kdx, (n)y (x0 ) = y0 , ∀x ∈ [x0 , x0 + H]ãäå ψ (n) (x) = f (xk , yk ) − f (x, y (n) (x)) - "íåâÿçêà".1.1.2.àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü "íåâÿçêè"ê íóëþ.Ëåììà 1.1. ψ (n) (x) ⇒ 0 ïðè h → 0(n → ∞), ∀x ∈ [x0 , x0 + H].Äîêàçàòåëüñòâî Ïî óñëîâèþ 1) f (x, y) - îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âçàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè D1 ∈ Díåïðåðûâíà â D1 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0:=⇒ïî ò.

Êàíòîðàf (x, y) - ðàâíîìåðíîdefâñþäó â D1 .¯¯|x − xk | < δ, ¯y (n) (x) − yk ¯ < δ¯¯ ¯ ¡¯¢⇒ ¯ψ (n) (x)¯ = ¯f x, y (n) (x) − f (xk , yk )¯ < εÂûáåðåì øàã h òàêèì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà (*):13(*)(**)Åñëè|x − xk | 6¯ h < δ ,¯ (n)¯òî y (x) − yk ¯Èç△ABC,=tg αk =f (xk ,yk )|f (xk , yk )||x − xk | 6 M h < δ6M6hÑëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû íåðàâåíñòâà (*) âûïîëíÿëèñü, äîñòàòî÷íî âûáðàòüøàã ðàçáèåíèÿ h = Hn (èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, ÷èñëî ðàçáèåíèé n) òàêèì, ÷òîáûîäíîâðåìåííî: h < δ , M h < δ , ò.å.µ¶δ∀ε > 0, ∃δ > 0 èëè ∃h0 = min δ,⇔ ∃N (ε), ÷òî∀h < h0 ⇔ ∀n > N (ε) : (∗) ⇒ (∗∗)M¯¯Èòàê, ∀ε > 0, ∃N (ε), ∀n > N (ε) : ¯ψ (n) (x)¯ < ε ñðàçó ∀x ∈ [x0 , x0 + H]⇔ ψ (n) (x) ⇒ 0, ∀x ∈ [x0 , x0 + H], ÷.ò.ä.defÑëåäñòâèå 1.1.ε,H⇔êð.

Êîø误∀ε > 0, ∃N (ε), ∀n > N (ε), ∀p ∈ N : ¯ψ (n) (x) − ψ (n+p) (x)¯ <ñðàçó ∀x ∈ [x0 , x0 + H].1.1.3.àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ëîìàíûõ Ýéëåðà y (n) (x) ê íåêîòîðîéíåïðåðûâíîé óíêöèè y(x).Ëåììà 1.2. ∃y(x) - íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿ, òàêàÿ ÷òî y (n) (x) ⇒ y(x),h → 0(n → ∞, ∀x ∈ [x0 , x0 + H]).Äîêàçàòåëüñòâî Ïî ñâîéñòâó 1.2(n) dy (x) = f ¡x, y (n) (x)¢ + ψ (n) (x),dx⇐⇒Ë0.2 (n)y (x0 ) = y0 .(1.2)Çàäà÷à Êîøè ëîìàíûõ Ýéëåðà⇐⇒ y (n) (x) = y0 +Ë0.2Zxx0¡¢f ξ, y (n) (ξ) dξ +Zxψ (n) (ξ)dξx0Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ëîìàíûõ Ýéëåðཡ¢= f x, y (n+p) (x) + ψ (n+p) (x),⇐⇒Ë0.2y(x0 ) = y0 .xxZZ¡ (n+p) ¢(n+p)⇐⇒ y(x) = y0 + f ξ, y(ξ) dξ + ψ (n+p) (ξ)dξdy (n+p)dx(n+p)Ë0.2x0x0Âû÷èòàÿ, áóäåì èìåòü:+Zxx0¯ (n)¯¯y (x) − y (n+p) (x)¯ 6¯¯ (n)¯ψ (ξ) − ψ (n+p) (ξ)¯ dξ{z}|Zxx0<¯¯¯f (ξ, y (n) (ξ)) − f (ξ, y (n+p) (ξ))¯ dξ+ïî óñë.

ËèïøèöàLZxx0ε<Hïî Ñëåäñòâ. Ë1.114¯¯ (n)¯y (ξ) − y (n+p) (ξ)¯ dξ + ε(1.3)¯¯Ïîëàãàÿ Z(x) = ¯y (n) (x) − y (n+p) (x)¯, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî ðîíóîëëà ñ êîíñòàíòîéC = ε > 0, ∀x ∈ [x0 , x0 + H]:Z(x) < ε + LZxZ(ξ)dξ=⇒ë. ðîíóîëëàx0⇐⇒êð. Êîøè=⇒ Z(x) < εeL(x−x0 ) < εeLH¯¯⇐⇒ ¯y (n) (x) − y (n+p) (x)¯ < εeLH , ∀n > N (ε), ∀p ∈ Ny (n) (x) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê íåêîòîðîé íåïðåðûâíîé (ïî òåîðåìå îíåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé óíêöèè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòèíåïðåðûâíûõ óíêöèé) óíêöèè, êîòîðóþ îáîçíà÷èì y(x).1.1.4. Ïðåäåëüíàÿ óíêöèÿ y(x) - ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (1.1).Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞ â èíòåãðàëüíîì óðàâíåíèè ë. Ýéëåðà (1.3) èâîñïîëüçîâàâøèñü Ë1.1, Ë1.2 è íåïðåðûâíîñòüþ f (x, y):Zx dy = f (x, y)dxy(x) = y0 + f (ξ, y(ξ))dξ ⇔ (1.1) :Ë0.2y(x0 ) = y0x01.1.5.åøåíèå y(x) çàäà÷è Êîøè (1.1) åäèíñòâåííî.Ïóñòü ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ y1 (x) è y2 (x). Òîãäày1 (x) − y2 (x) = u(x) :Zx du = f (x, y1 (x)) − f (x, y2 (x))dx⇔ u(x) = [f (ξ, y1 (ξ)) − f (ξ, y2 (ξ))]dξË0.2u(x0 ) = 0x0xZxZL |u(ξ)|dξ6=⇒ |u(x)| 6 |f (ξ, y1 (ξ)) − f (ξ, y2 (ξ))|dξóñë.

Ëèïøèöàx0x0Ïîëàãàÿ Z(x) = |u(x)|, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî â ëåììå ðîíóîëëà ñ êîíñòàíòîéC = 0, ∀x ∈ [x0 , x0 + H]:Z(x) 6 LZxZ(ξ)dξ,⇒ë. ðîíóîëëàx0⇒ Z(x) = |y1 (x) − y2 (x)| ≡ 0 ⇔ y1 (x) ≡ y2 (x), ÷.ò.ä.Çàìå÷àíèå 1. Óñëîâèå Ëèïøèöà ìîæåò áûòü çàìåíåíî áîëåå óäîáíûìóñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ â D íåïðåðûâíîé (ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åííîé!)ïðîèçâîäíîé fy′ :∃fy′ - íåïðåðûâíàÿ âD =⇒ ∃L = max|fy′ |=⇒D|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| 6 L|y1 − y2 |.óñë. Ëèïøèöà15Çàìå÷àíèå 2. Ò1.1 íîñèò ëîêàëüíûé õàðàêòåð. Ìû äîêàçàëè å¼ äëÿ îáëàñòèD1 = {x0 6 x 6 x0 + H, |y − y0 | 6 b}. Àíàëîãè÷íî, ìîæíî äîêàçàòü äëÿ îáëàñòèD2 = {x0 − H 6 x 6 x0 , |y − y0 | 6 b}. Äàëåå, ïðîäîëæàåì ðåøåíèå çà òî÷êóx0 + H è ò.ä.Çàìå÷àíèå 3.

Ìåòîä ëîìàíûõ Ýéëåðà - êîíñòðóêòèâíûé. Îäíîâðåìåííîñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ îí äàåò ýåêòèâíûé àëãîðèòìïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, ðåàëèçóåìûé íà ÝÂÌ:¾yk+1 = yk + ∆ykìåòîä Ýéëåðà∆yk = hf (xk , yk )Íåäîñòàòêè:1. Ìàëàÿ òî÷íîñòü .2. Ñèñòåìàòè÷åñêîå íàêîïëåíèå îøèáêè .Ñóòü ìåòîäà: åøåíèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1) íà êàæäîì÷àñòè÷íîì îòðåçêå [xk , xk+1 ] ïðåäñòàâëÿåòñÿ äâóìÿ ÷ëåíàìè ðÿäà Òåéëîðày(xk + h) = y(xk ) + hy ′ (xk ) (k = 0, 1, 2 .

. .),ò.å. äëÿ ýòîãî îòðåçêà èìååòñÿ ïîãðåøíîñòü ïîðÿäêà h.Çàìå÷àíèå 4. Ìåòîä Ïèêàðà ñâîäèò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì ñóùåñòâîâàíèÿ èåäèíñòâåííîñòè çàäà÷è Êîøè ê äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòèðåøåíèÿ ðàâíîñèëüíîãî åé èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿy = y0 +Zxf (ξ, y(ξ))dξ,x0êîòîðîå ñòðîèòñÿ ìåòîäîìïîñëåäîâàòåëüíîñòèïîñëåäîâàòåëüíûõy(x) = lim yk (x) :x→∞yk+1 = y0 +Zxx016ïðèáëèæåíèé,f (ξ, yk (ξ))dξ.êàêïðåäåë1.2Íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè îò ïàðàìåòðà.1.2.1.Ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ çàäà÷ Êîøè:y − y0 = zdy dz= f (x, y, µ)= f (x, z + y0 , µ)dx⇐⇒dxy(x0 ) = y0 , µ - ïàðàìåòðûz(x0 ) = 0Ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî èññëåäîâàòü íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿçàäà÷è Êîøè îò ïàðàìåòðà, âõîäÿùåãî â ïðàâóþ ÷àñòü äèåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ.1.2.2.Òåîðåìà 1.2. (Î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îòïàðàìåòðà, âõîäÿùåãî â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ) dy = f (x, y, µ)dxy(x0 ) = y0(1.4)Ïóñòü â ïàðàëëåëåïèïåäå Π = {|x − x0 | 6 a, |y − y0 | 6 b, |µ − µ0 | 6 c} êîîðäèíàòíî- ïàðàìåòðè÷åñêîãî (ÊÏ) ïðîñòðàíñòâà Oxyµ îïðåäåëåíà óíêöèÿf (x, y, µ):1) íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè àðãóìåíòîâ è, ñëåäîâàòåëüíî, ∃M = max|f |;Π2) óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïî ïåðåìåííîé y óñëîâèþ Ëèïøèöà|f (x, ȳ, µ) − |f (x, ȳ¯, µ)| 6 L |ȳ − ȳ¯|, ãäå L > 0 - êîíñòàíòà.Òîãäà ðåøåíèå¡ b ¢y(x, µ) çàäà÷è Êîøè (1.4), îïðåäåëåííîå íà îòðåçêå [x0 , x0 + H],ãäå H = min a, M , íåïðåðûâíî ïî ïàðàìåòðó µ äëÿ ∀µ ∈ [µ0 − c, µ0 + c].Äîêàçàòåëüñòâîàññìîòðèì çàäà÷è Êîøè dy(x, µ) = f (x, y(x, µ), µ)dx y(x , µ) = y00 dy(x, µ + ∆µ) = f (x, y(x, µ + ∆µ), µ + ∆µ)dx y(x , µ + ∆µ) = y00 ñèëó óñëîâèé 1) è 2) Ò1.2 ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõçàäà÷ Êîøè.

Характеристики

Список файлов лекций