В.П. Моденов - Дифференциальные уравнения (курс лекций) (1118017)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒ èì. Ì.Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀÔèçè÷åñêèé àêóëüòåòêàåäðà ìàòåìàòèêèÏðîåññîð Â.Ï. ÌîäåíîâÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈßÊóðñ ëåêöèé.ÌÎÑÊÂÀ2003ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå0.10.20.30.40.50.6Ïîíÿòèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ . . . . . . . .

. . . . . . . .Íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ. . . . . . . . . . . . . . .Ñâÿçü ìåæäó äèåðåíöèàëüíûìè, èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè èíåðàâåíñòâàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû èçè÷åñêèõ çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê äèåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèÿì. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñâåäåíèå óðàâíåíèé â ×Ï ê ÎÄÓ. Ìåòîä Ôóðüå. . . . . . . . . . . .Ñâåäåíèå çàäà÷è Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì III ðîäàê çàäà÷å Êîøè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.1 Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà.1.11.21.31.41.51.6Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè çàäà÷è Êîøè. . . . . . . .Íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè îò ïàðàìåòðà. . .Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿíîðìàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé: . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîñòåéøèå äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ 1-ãî ïîðÿäêà,èíòåãðèðóåìûå â êâàäðàòóðàõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïîíÿòèå î "êîððåêòíî ïîñòàâëåííûõ"çàäà÷àõ. . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåð . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ nãî ïîðÿäêà.2.12.22.32.4Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. . . . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå. . . . . . . . . . . . . .Íåîäíîðîäíîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå. . . . . . . . . . . . .Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.3 Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.3.13.23.33.43.53.6Ñâîéñòâà ëèíåéíîé ñèñòåìû. .

. . . . . . . . . . .Ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà. . . . . . . . . . . .Íåîäíîðîäíàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà. . . . . . . . . .Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéêîýèöèåíòàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Íåîäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèéêîýèöèåíòàìè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Î ðåøåíèè "âåêîâîãî óðàâíåíèÿ". .

. . . . . . . .1. .. .. .ñ. .ñ. .. .............................. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .ïîñòîÿííûìè. . . . . . . . .ïîñòîÿííûìè. . . . . . . . .. . . . . . . . .335781011121217181920212323242730343435383943454 Êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ íåîäíîðîäíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.4.14.24.34.44.5äèåðåíöèàëüíîãîÔîðìóëà Ëèóâèëëÿ - Îñòðîãðàäñêîãî. . . . . . . .åøåíèå êðàåâîé çàäà÷è ìåòîäîì óíêöèè ðèíà.Ñâîéñòâà óíêöèè ðèíà (***). .

. . . . . . . . . .Ïðèìåð. (Ñòàòè÷åñêàÿ çàäà÷à î ïðîèëå ñòðóíû.)Çàìå÷àíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................4646474950525 Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà.536 Îñíîâû òåîðèè óñòîé÷èâîñòè.605.15.25.36.16.26.36.4Ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Êâàçèëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîñòåéøèå òèïû òî÷åê ïîêîÿ äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìûóðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè. . . . . . . . . . .Èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ. .

.Âòîðîé ìåòîä Ëÿïóíîâà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .äâóõ. . . .. . . .. . . .7 àçíîñòíûé ìåòîä ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.7.17.27.37.47.57.6Äèåðåíöèàëüíàÿ è ðàçíîñòíàÿ çàäà÷è Ýéëåðà.Ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè ñåòî÷íûõ óíêöèé. . . . . .Ïîíÿòèå àïïðîêñèìàöèè.

. . . . . . . . . . . . . .Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû. . . . .àçíîñòíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. . . . . . . . . . . . .Ìåòîä ðàçíîñòíîé (àëãåáðàè÷åñêîé) ïðîãîíêè. .8 Ïîíÿòèå îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäàõ.8.18.2..................................................................åãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ çàäà÷à. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .Ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííàÿ çàäà÷à. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25357586061646772727373747777808081Ââåäåíèå.0.1Ïîíÿòèå äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ0.1.1. Äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (ÄÓ) íàçûâàþò óðàâíåíèå, â êîòîðîìíåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ âõîäèò ïîä çíàêîì ïðîèçâîäíîé èëè äèåðåíöèàëà.0.1.2. Åñëè íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò îäíîé ïåðåìåííîé, òî åãî íàçûâàþòîáûêíîâåííûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì (ÎÄÓ).Íàïðèìåð:y ′ (x) = f (x, y) èëèdy= f (x, y) èëè dy = f (x, y)dx.dx0.1.3.

Åñëè íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, òî óðàâíåíèåíàçûâàþò óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (Ó×Ï).Íàïðèìåð:∂Z(x, y) ∂Z(x, y)+= 0.∂x∂y0.1.4. Ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ - íàèâûñøèé ïîðÿäîê âõîäÿùåé â íåãî ïðîèçâîäíîé.Íàïðèìåð, ÎÄÓ 2-ãî ïîðÿäêàF (x, y, y ′ , y ′′ ) = 0.0.1.5. Óðàâíåíèå, ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîéy ′′ (x) = f (x, y, y ′ )0.1.6.

Íîðìàëüíîé ñèñòåìîé ÎÄÓ íàçûâàþò ñèñòåìó âèäà ′y1 = f1 (x, y1 , · · · , yn ),y ′ = f (x, y , · · · , y ),21n2····················· , ′yn = fn (x, y1 , · · · , yn ).0.1.7. åøåíèåì ÎÄÓ íàçûâàþò óíêöèþ, èëè ñîâîêóïíîñòü óíêöèé,îáðàùàþùèõ óðàâíåíèå â òîæäåñòâî.0.1.8.×àñòíîå ðåøåíèå (×) - îäíà êîíêðåòíàÿ óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ3óðàâíåíèþ.Íàïðèìåð,y ′′ (x) + y(x) = 0 : y1 = sin x, y2 = cos x,y3 = sin x + cos x è ò.ä.0.1.9.

Ìíîæåñòâî ðåøåíèé ÎÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà çàâèñèò îò ïðîèçâîëüíîéïîñòîÿííîé.Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿy ′ = f (x) åñòü y = F (x) + C,ãäå F (x) - íåêîòîðàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ óíêöèè f (x), C - ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.0.1.10. Ìíîæåñòâî ðåøåíèé Ó×Ï 1-ãî ïîðÿäêà îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äîïðîèçâîëüíîé óíêöèè.Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ äëÿ óíêöèè Z = Z(x, y)∂Z ∂Z+= 0 åñòü Z = ϕ(x − y),∂x∂yãäå ϕ - ïðîèçâîëüíàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ:Z = (x − y)n , Z = sin (x − y), Z = ex−yè ò.ä.0.1.11.

Îáùåå ðåøåíèå - ñîâîêóïíîñòü âñåõ ðåøåíèé ÄÓ.Íàïðèìåð, äëÿ óðàâíåèÿy ′′ (x) + y(x) = 0 îáùåå ðåøåíèå y = C1 sin x + C2 cos x,ãäå C1 è C2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Çàìå÷àíèå. Èíîãäà îáùåå ðåøåíèå ïîíèìàþò â áîëåå óçêîì ñìûñëå êàêïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî, ãäå ïàðàìåòðû - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå C . Òîãäàïîÿâëÿþòñÿ åùå îñîáûå ðåøåíèÿ íå âõîäÿùèå â ýòî ñåìåéñòâî íè ïðè êàêèõ C .Íàïðèìåð,· √dy√y = x + C - îáùåå ðåøåíèå,=2 y⇔y=0- îñîáîå ðåøåíèå.dxðàè÷åñêàÿ èëëþñòðàöèÿ:40.1.12. Ïðîöåññ ðåøåíèÿ ÎÄÓ íàçûâàþò èíòåãðèðîâàíèåì , à ãðàèêíåêîòîðîãî ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ - èíòåãðàëüíîé êðèâîé .Íàïðèìåð.Óðàâíåíèå y ′ = f (x, y) èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ.

Âêàæäîé òî÷êå (x, y(x)) èíòåãðàëüíîé êðèâîé óãëîâîé êîýèöèåíò êàñàòåëüíîéðàâåí tgα = f (x, y).îâîðÿò, ÷òî óðàâíåíèå y ′ = f (x, y) çàäàåò íà ïëîñêîñòè (x, y) ïîëåíàïðàâëåíèé - ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, íàïðàâëåííûõ âäîëü êàñàòåëüíûõ êèíòåãðàëüíûì êðèâûì.àññìîòðèì ñïîñîáû âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîé èíòåãðàëüíîé êðèâîé.0.2Íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå (êðàåâûå) óñëîâèÿ.0.2.1. Íà÷àëüíàÿ çàäà÷à (Çàäà÷à Êîøè) :(y ′ (x) = f (x, y)y(x0 ) = y0 - íà÷àëüíîå óñëîâèå,çàäàåò èç ìíîæåñòâà èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ åäèíñòâåííóþ èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ,ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç çàäàííóþ íà÷àëüíóþ òî÷êó (x0 ,y0 ).5Ïðèìåð 1 (ç. Êîøè) dZ dx = LZ(x)Z(a) = C⇐⇒ Z(x) = CeL(x−a) , (C, L - êîíñòàíòû).

Åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà (x0 ,y0 ) ëåæèò íà îñîáîì ðåøåíèè, òî ðåøåíèåçàäà÷è Êîøè ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííî.Íàïðèìåð,Çàìå÷àíèå(√y′ = 2 yy(0) = 00.2.2. Êðàåâàÿ çàäà÷à :y ′′ + y = 0, 0 < x < π2 ,ãðàíè÷íûå y(0)⇐⇒ y = sin x¡ π ¢= 0,óñëîâèÿy 2 =1. Íå âñÿêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âûäåëÿþò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Íàïðèìåð, êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîðîäíîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâîðåøåíèé:Çàìå÷àíèåy ′′ + y = 0, 0 < x < π,y(0) = 0,⇐⇒Cy(π) = 0y = C sin x,- ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ60.3Ñâÿçüìåæäóäèåðåíöèàëüíûìè,èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè è íåðàâåíñòâàìè.Ëåììà 0.1. Ïóñòü: F (x) ∈ C (X) ,X = {x : |x − x0 | 6 a}.Òîãäà:dy= F (x)dxy(x ) = y0⇐⇒ y(x) = y0 +XZxF (ξ)dξx00Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà îïðåäåëåíèè ïåðâîîáðàçíîé è èñïîëüçîâàíèèòåîðåìû î ïðîèçâîäíîé èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì.Ëåììà 0.2.

Ïóñòü: f (x, y(x)) ∈ C(D)), ãäåD = {(x, y) : |x − x0 | 6 a, |y − y0 | 6 b}.Òîãäà:dy= f (x, y)dxy(x ) = y0⇐⇒ y(x) = y0 +DZxf (ξ, y(ξ))dξx00èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèåç. ÊîøèÄîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ïðèìåíåíèè ëåììû 0.1, åñëè f (x, y (x)) = F (x)Ïðèìåð 2Z(x) = C + LZxadZ= LZ(x)Z(ξ)dξ ⇐⇒ dxË0.1 Z(a) = C⇐⇒ Z(x) = CeL(x−a)Ïð.1Ëåììà 0.3 (Ëåììà ðîíóîëëà).∀x ∈ [a, b] : 0 6 Z(x) 6 C + LZx(*)Z(ξ)dξa(L = const > 0)=⇒Äîêàçàòåëüñòâî·C > 0 : 0 6 Z(x) 6 CeL(x−a)C = 0 : Z(x) ≡ 0.(**)1).

Ïóñòü C > 0. ÏîëîæèìV (x) ≡ C + LZxZ (ξ) dξ > 0,∀x ∈ [a, b]⇒V (a) = C.aÒîãäà â ñèëó (*)Z(x) 6 V (x).7(***)V (x) - äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ, ñëåäîâàòåëüíî,V ′ = LZ(x) 6 LV (x) ⇐⇒(∗∗∗)V >0V′6LV=⇒ ln V (x) − ln V (a) = ln V (x) − ln C 6 L(x − a)=⇒ V (x) ≤ CeL(x−a) =⇒ Z(x) 6 V (x) 6 CeL(x−a) ,ïîòåíö.(∗∗∗)∀x ∈ [a, b], ÷.ò.ä.2). Ïóñòü Ñ=0. Åñëè (*) âûïîëíåíî ïðè C=0, òî òåì áîëåå (*) âåðíî ïðè ∀C > 0è ïðè ýòîì âåðíà îöåíêà (**). Óñòðåìëÿÿ C ê íóëþ, ïîëó÷èì èç (**):.

(∗∗) =⇒ C > 0 :Çàìå÷àíèå0.40 6 Z(x) 6 0=⇒ Z(x) ≡ 0, ÷.ò.ä.0 6 Z(x) 6 CeL(b−a)Ïðèìåðû èçè÷åñêèõ çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ êäèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.0.4.1. Çàäà÷à Êîøè, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî ïðÿìîé:¸ ·dxdm(t)= f (x)(çàêîí Íüþòîíà)dtdtx(t0 ) = x0 , dx (t0 ) = v0 .dt0.4.2. Çàäà÷à Êîøè, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâåïîä äåéñòâèåì ñèëû f~ = {f1 , f2 , f3 }:¸ ·d~rd~(~r, d~r , t)m(t)=fdtdtdt~r |t=t0 = ~r0 , d~r |t=t = ~v0 .0dt0.4.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций