А.Т. Фоменко - Программа экзамена по классической дифференциальной геометрии (1117985)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Программа экзамена по классической дифференциальной геометрииЛектор — А. Т. ФоменкоIV семестр, 2004 г.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.Скалярные произведения. Псевдоевклидово скалярное произведение. Его свойства.Сферы и псевдосферы. Стереографические проекции в евклидовом и псевдоевклидовом случаях.Геометрия, индуцированная на псевдосферах. Модель Пуанкаре и геометрия Лобачевского.Области в Rn .

Декартовы координаты. Гладкие кривые, вектор скорости. Длина кривой в декартовыхкоординатах.Криволинейные координаты. Независимость длины кривой от параметра.Полярные, сферические, цилиндрические координаты. Их особые точки и якобианы замены координат.Якобиан замены координат. Регулярные замены. Матрица Якоби. Координатные линии, примеры.Гладкие k-мерные поверхности в евклидовом пространстве.

Длина кривой в криволинейной системе координат.Риманова метрика в области евклидова пространства En . Закон преобразования компонент метрики. Углымежду пересекающимися кривыми.Индуцированная риманова метрика на поверхностях в евклидовом пространстве. Примеры.Метрики на плоскости, цилиндре, сфере. Различные формы их записи (в том числе комплексная).Метрика на плоскости Лобачевского.

Различные формы ее записи (в том числе комплексная).Линейные преобразования En и движения римановой метрики, заданной в области в En .Группа изометрий римановой метрики. Ортогональные преобразования сохраняют евклидову метрику.Унитарные преобразования комплексного пространства.Группы движений евклидовой метрики на прямой, на плоскости, метрики на сфере.Связь группы вращений двумерной сферы с трехмерным проективным пространством. Различные определения проективного пространства.Группа движений метрики плоскости Лобачевского. Дробно-линейные преобразования.Связь группы движений метрики Лобачевского с группой SL(2, R).Топологические и метрические пространства, хаусдорфовость. Непрерывные отображения, гомеоморфизм.Связность, компактность.Общее определение многообразия.

Атлас, карты, координатные отображения. Функции перехода (склейки). Топологические и гладкие многообразия.Формулы Френе и кривизна на плоскости. Натуральный параметр. Подсчёт кривизны в произвольномпараметре.Формулы Френе в трехмерном пространстве. Кососимметричность матрицы Френе. Кривизна и кручение.Теорема о восстановлении плоской кривой по ее кривизне.Диффеоморфизм многообразий. Подмногообразия.

Многообразия с краем и без края.Область в Rn , график гладкой функции, неособая поверхность уровня гладкой функции, как гладкиемногообразия. Связь теоремы о неявной функции с гладкими подмногообразиями.Касательный вектор. Три его определения. Касательное пространство к гладкому многообразию.Гладкие отображения многообразий. Дифференциал гладкого отображения. Погружения и вложения. Ориентируемость и неориентируемость.Слабая теорема Уитни о вложении многообразий в конечномерное евклидово пространство.Римановы многообразия.

Индуцированная риманова метрика на подмногообразии. Примеры.Примеры двумерных многообразий (склейки из плоских многоугольников). Теорема классификации двумерных компактных замкнутых многообразий.Первая и вторая квадратичные формы. Явный вид второй квадратичной формы для графика функции.Инварианты пары форм. Средняя и гауссовы кривизны. Главные направления и главные кривизны. Теорема об ортогональности главных направлений гиперповерхности.133.

Кривые на поверхности. Нормальные сечения. Теорема об отношении квадратичных форм. Формула Менье.34. Теорема о совпадении собственных чисел пары форм с главными кривизнами. Формула Эйлера.35. Средняя и гауссовы кривизны для двумерных поверхностей. Примеры поверхностей постоянной гауссовойкривизны (положительной, нулевой, отрицательной).36. Минимальные поверхности. Мыльные пленки, теорема Пуассона – Лапласа о границе раздела двух сред(без доказательства).

Уравнение минимальной поверхности. Примеры.37. Гармонические и минимальные поверхности. Гармоничность минимальной поверхности в конформных координатах.38. Комплексное пространство. Длина кривой. Связь переменных z и z с вещественными координатами. Опеddи dz. Формулировка комплексного варианта теоремы о неявных функциях.раторы dz39. Алгебраические функции и их римановы поверхности.

Алгебраическая функция w2 = P (z), где полином Pне имеет кратных корней.40. Многозначность алгебраических функций. Римановы поверхности как области однозначности алгебраических функций. Ветви, точки ветвления. Примеры.41. Склейка римановой поверхности из нескольких листов. Риманова поверхность для w2 = P (z).Последняя компиляция: 22 июня 2005 г.Обновления документа — на сайте http://www.dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)