А.А. Шкаликов - Задачи, рекомендованные для разбора на семинарских занятиях (1117931)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задачи, рекомендованные для разбора на семинарскихзанятиях по курсу «Действительный анализ»Лектор — А. А. ШкаликовI поток, IV семестр, 2005–2006 г.Последняя компиляция: 25 апреля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1. Мера Лебега1. Доказать включениеA △ B ⊂ (A △ C) ∪ (C △ B).2. Доказать, что любой элемент наименьшего кольца R(S), порождённого полукольцом S, представим в видеA=nGA ∈ R(S),Ak ,Ak ∈ S.k=13. Доказать, что мера µ, заданная на полукольце S, однозначно продолжается на кольцо R(S).

При этом µявляется σ-аддитивной на R(S), если µ σ-аддитивна на S.4. Доказать, что функция на полукольце интервалов [a, b) ⊂ R µ([a, b)) = F (b) − F (a) задаёт σ-конечнуюмеру, если F (t) — непрерывная слева неубывающая функция.5. Доказать, что мера в задаче 4 является σ-аддитивной тогда и только тогда, когда F (t) непрерывна слева.6. Доказать, что A измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когдаµ∗ (A) + µ∗ (E r A) = 1(здесь E — единица, и µ(E) = 1).7.

Доказать, что произвольное ограниченное измеримое множество в Rn представимо в виде объединенияборелевского множества и множества меры нуль.8. Доказать, что непрерывная функция в Rn измерима. То же для монотонной функции.9. Доказать, что непрерывная почти всюду функция в Rn измерима.10. Построить нетривиальную меру в R1 , относительно которой все подмножества в R1 измеримы.11. Доказать, что ограниченное множество A ⊂ Rn измеримо тогда и только тогда, когда найдутся замкнутоеи открытое множества Fε , и Gε , такие, что Fε ⊂ A ⊂ Gε и µ(Gε r Fε ) < ε2.

Интеграл Лебега12. Доказать, что в случае f (x) > 0 все нижеприведенные определения эквивалентны: k−1k1. Пусть f (x) измерима, fn (x) := k−12n , если x ∈ Akm = y | 2n 6 f (y) 6 2n , k = 1, 2, . . .. f (x) называется суммируемой, если f0 (x) суммируема. Тогда fn (x) также суммируемы и I(fn ) ր I(f ).2. f суммируема, если существует последовательность суммируемых простых функций fn , сходящихсяк f (x) равномерно. При этом I(fn ) −→ I(f ) и не зависит от выбора такой последовательности fn .3.

f суммируема, если f измерима иI(f ) :=supI(g) < ∞g(x)6f (x)где sup берётся по простым функциям, принимающим конечное число значений.14. f суммируема если f измерима иI(f ) :=Z∞µ(Gf (t))dt < ∞,0где Gf := {x | f (x) 6 t}. Здесь подразумевается несобственный интеграл Римана, который корректноопределён, так как мера множества Gf (t) –— монотонная функция от I.13.

Доказать равенство(LS)Zbf dµ(x) = (L)aZbf µ′ dxa14. При каких a функция x−a принадлежит Lp (0, 1), p > 1?sin xβ15. При каких α, β функция f (x) =xαa) интегрируема по Риману на (0, 1) — возможно, в несобственном смысле?б) интегрируема по Лебегу (т. е. ∈ L1 (0, 1))?16. Привести пример ограниченной функции, интегрируемой по Лебегу, но не интегрируемой по Риману.

Привести пример функции, интегрируемой по Риману в несобственном смысле, но не интегрируемой по Лебегу.Возможен ли такой пример для неотрицательной функции?17. Доказать строгое включение Lp1 (0, 1) ⊂ Lp (0, 1) при p1 > p. Доказать, что Lp1 (R) не вложено в Lp (R) нипри каких p 6= p1 .18. Показать, что в условиях теоремы Фату предельный переход под знаком интеграла гарантировать нельзя.19. Следует ли из суммируемости f (x) суммируемость |f (x)|? Наоборот, следует ли из суммируемости |f (x)|суммируемость f (x)?3. Сходимость20. Привести пример последовательности функций {fn }, сходящейся по мере, но не сходящейся почти всюду.21.

Выяснить связь между сходимостями••••в L1 (0, 1)в L2 (0, 1)по мерепочти всюду(связь между сходимостями по мере и почти всюду прояснена на лекциях). Построить последовательностьфункций, сходящуюся в L1 (R), по не сходящуюся в L2 (R), и наоборот.22. Доказать, что в пространстве измеримых функций нельзя ввести метрику, сходимость в которой эквивалентна сходимости почти всюду.4. AC и BV функции:23.24.25.26.27.Найти полную вариацию функций f (x) = cos x на [0, 4π], f (x) = x − x2 на [0, 1].Доказать, что канторовская лестница — непрерывная, но не абсолютно непрерывная функция.При каких а функция α функция xα sin x1 является функцией ограниченной вариации на (0, 1)?Какая связь между AC− и BV − классами?Пусть f ∈ BV (0, 1).

Пояснить, почему существует f ′ (x), причём f ′ (x) ∈ L1 (0, 1). ДоказатьZf ′ (t)dt 6 f (x) − f (0).2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы