краткие ответы на вопросы (1115981), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Это свойство называется калибровочнойинвариантностью. Оно позволяет накладывать дополнительное условие на потенциалы с цельюупрощения уравнений.12. Основные уравнения электростатики и их общее решение в бесконечном пространстве.Уравнения электростатики получаются, если в общих уравнениях Максвелла частныепроизводные по времени и плотность тока положить равными нулю:! !∇ × E = 0,! !∇ ⋅ E = 4πρПервое уравнение позволяет ввести потенциал!E = −∇ϕ ≡ − gradϕТогда второе уравнение дает уравнениеΔϕ = −4πρкоторое называется уравнением Пуассона.Фундаментальное значение имеет уравнение для потенциала точечного зарядаΔϕ = −4πρ!где δ (r )-дельта функция. Прямой проверкой показывается, что его решение есть! qϕ (r ) =rЭто решение называется фундаментальным и позволяет написать общий вид решения уравненияПуассона для произвольной плотности!ϕ (r ) = ∫V!!!!σ (r ʹ′)d 3 r ʹ′+! !∫S r! − r!ʹ′r − r ʹ′ρ (r ʹ′)d 3 r ʹ′Первый интеграл описывает вклад объемного заряда с плотностью!ρ (r ʹ′) и называетсяньютоновским потенциалом.

Второй интеграл описывает вклад поверхностных зарядов с!плотностью σ (r ʹ′)и называется поверхностным потенциалом.Используя связь потенциала и напряженности поля, получаем уравнение! ! !!! ! !!! !ρ (r ʹ′)(r − r ʹ′)d 3 r ʹ′ σ (r ʹ′)(r − r ʹ′)d 3 r ʹ′E (r ) = ∫+∫! ! 3! ! 3r − r ʹ′r − r ʹ′VSДве последние формулы дают решение прямой задачи электростатики в бесконечномпространстве (определение поля по распределению заряда).13. Прямые задачи электростатики в ограниченном пространстве.Если пространство ограничено, то для определения единственного решения уравнения Пуассонанеобходимо указать граничное условие. Различают две задачи.Задача Дирихле (на границе задан потенциал)Δϕ = −4πρ ,!ϕ S = f (r ),!r ∈D!r ∈Sгде D -область, в которой поставлена задача, а S -ее граница.Задача Неймана (на границе задана нормальная производная потенциала)!Δϕ = −4πρ , r ∈ D!!∂ϕ= f (r ), r ∈ S∂n SОбе задачи имеют единственное решение.14.

Мультипольное разложение.На расстояниях от системы точечных зарядов {ea }, много больших размеров системы, потенциал!можно представить в виде сумму (разлагая в ряд Тейлора по малым ra ):!!er − ra!!ϕ (r ) = ∑ ! a ! = ϕ (0 ) (r ) + ϕ (1) (r ) + ϕ (2 ) (r ) + ...aгде!ϕ (r ) =(0 )!ϕ (1) (r ) =!ϕ (2 ) (r ) =∑eaa=r∑ p k xkkr3Q( Q -полный заряд или мультиполь нулевого порядка),r( pk =∑e xa ak-дипольный момент или мультиполь первого порядка),a1 Qkm ⎛ 3xk xm⎞− δ km ⎟∑3 ⎜26 k ,m r ⎝ r⎠( Qkm =∑ e (3xaa)x − ra2δ km -квадрупольный момент илиak amмультиполь второго порядка).15. Некоторые методы решения задач электростатики.Метод изображений.Пусть сформулирована задача электростатики, в которой на некоторой поверхности заданпостоянный потенциал. Тогда к реально существующим зарядам добавляются зарядыизображения, величина которых и расположение подбираются так, чтобы в новой задачиуказанная поверхность имела заданный потенциал.

Примеры отражение в плоскости, отражение всфере и так далее.Метод инверсии.К методу изображений близок метод инверсии, который основан на математической теореме обинверсии. Пусть Φ(r ,θ ,ϕ ) есть потенциал системы зарядов qi расположенных в точках сосферическими координатами ri , θ i , ϕi . Тогда⎞a ⎛ a 2Φʹ′(r ,θ ,ϕ ) = Φ⎜⎜ ,θ ,ϕ ⎟⎟r ⎝ r⎠есть потенциал системы зарядов qiʹ′ =aa2qi , расположенных в точках с координатами,θ i , ϕ i .ririЗдесь a -некоторое действительное число.Теорема взаимности.Пусть имеется система точечных зарядов e1 , e2 .... Тогда потенциалы каждого заряда равныϕi = ∑k ≠iekrikПусть далее имеется другая система зарядов e1ʹ′ , e2ʹ′ ..., в тех же точках. Тогда потенциалы равныϕ iʹ′ = ∑k ≠iekʹ′rikУмножим первое равенство на eiʹ′ , второе на ei , оба просуммируем и вычтем одно из другого Врезультате получим∑ eʹ′ϕ = ∑ e ϕ ʹ′iiiiiiНетрудно обобщить эту теорему и на неточечные проводники:Если на проводниках 1,2... при зарядах e1 , e2 ...,потенциалызарядах e1ʹ′ , e2ʹ′ ...,потенциалы равныравныϕ1 , ϕ2 ..., а приϕ1ʹ′, ϕ2ʹ′ ...,тогда выполняется соотношение∑ eʹ′ϕ = ∑ e ϕ ʹ′iiiiii16.

Уравнения Лапласа в декартовой, цилиндрической и полярной системах координат.Уравнением Лапласа называется уравнениеΔΦ = 0то есть это уравнение для потенциала при равной нулю плотности заряда.Методом разделения переменных получается общий вид решения этого уравнения в различныхсистемах координат.В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет видΔΦ =∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ++=0∂x 2 ∂y 2 ∂z 2В цилиндрической системе координат уравнение Лапласа имеет видΔΦ =1 ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ 1 ∂ 2 Φ ∂ 2 Φ⎜ ρ⎟ ++=0ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 ∂ϕ 2 ∂z 2В сферической системе координат уравнение Лапласа имеет видΔΦ =1 ∂ ⎛ 2 ∂Φ ⎞1∂ ⎛∂Φ ⎞1∂ 2Φr+sinθ+=0⎜⎟⎜⎟∂θ ⎠ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 sin θ ∂θ ⎝17.

Уравнения теории для постоянных токов, граничные условия для токов.!∂= 0 , но j ≠ 0 . Из уравнений Максвелла получаем∂t!!rotE = 0divB = 0! 4π !!rotB =j divE = 4πρcВ токостатикеОтсюда следуют основные уравнения токостатики!divj = 0,∂=0∂tДля постоянной удельной проводимости эти уравнения эквиалентны!divE = 0,∂=0∂tГраничные условия для токов имеют видjn1 = jn 2 , Et1 = Et 2 ⇒σ 1 En1 = σ 1 En1 , Et1 = Et 2Задача токостатики в виде!divE = 0, σ 1 En1 = σ 1 En1 , Et1 = Et 2Аналогична задаче электростатики .18. Сопротивление, законы Ома и Джоуля-Ленца.!!!!Закон Ома j = σE , E = ρj , I = GU , U = RI , R = 1 / G,!!Зокон Джоуля Ленца w = j E ,N = IU = RI 2 =R = ρL / S2URЗаконы Кирхгофа∑ (±)Iii= 0, ∑ (±)Ri I i = ∑ (±)Eiii19.

Уравнения векторного потенциала постоянных токов и его решение.!!! ! 1 j (r! ʹ′)4π !ΔA = −j ⇒ A(r ) = ∫ !dV ʹ′cc V r − r ʹ′20. Закон Био-Саварра-Лапласа.!! ! 1 j (r! ʹ′), r! − r! ʹ′! ! I dl (r! ʹ′), r! − r! ʹ′B(r ) = ∫ ! ! 3 dV ʹ′, B(r ) = ∫! ! 3 dV ʹ′,c V r − r ʹ′cVr − r ʹ′[][]21. Магнитное поле системы токов, мультипольное разложение, магнитный момент.! !! !! !!! ! [m! r, r ] ! ! 3n(mn ) − mA(r ) = 3 , B(r ) =, n= ,rrr3!ν вектор нормали к контуру с током.!! 1 ! !!! ISνm = ∫ r ʹ′, j (r ʹ′) dV ʹ′, m =2c Vc[]22. Электрические и магнитные поля в веществе.Вещество состоит из микроскопических заряженных частиц, движение которых создаетмикроскопические токи. По этой причине истинные электрические и магнитные поля быстроменяются на межатомных расстояниях, то есть их зависимость от координат очень сложная.

Этибыстрые изменения можно исключить процедурой усреднения по физически малому объему V :! 1 !! 1 !E = ∫ Emicro dV , H = ∫ | H micro dVVVVVЭти усредненные поля называются макроскопическими, именно оеи входят в макроскопическиеуравнения Максвелла!! !! !1 ∂B∇× E = −,∇⋅B = 0c ∂t!! !! !1 ∂D 4π !∇× H = −+j , ∇ ⋅ E = 4πρc ∂tc!! !!!Здесь D = εE , B = µH , ρ , j - плотность свободных зарядов и плотность свободных токов.!! !! !Отметим пары аналогичных величин: E ↔ B, E ↔ D = H .23. Энергия, закон сохранения энергии, поток энергии, импульс поля.!! !!ED + BHПлотность энергии w =.8π!!c ! !1 ! !Вектор Пойнтинга S =E , H . Импульс поля P =E, H4π4πc!!!∂wЗакон сохранения+ divS = − j E∂t[][]24. Монохроматические, плоские, однородные волны.Являются решением волновых уравнений!!! εµ ∂ 2 E! εµ ∂ 2 HΔE − 2 2 = 0, ΔH − 2=0c ∂tc ∂t 2!!!!!!! !!! !εµω 2E (r , t ) = E0 exp i k r − ω t , H (r , t ) = E0 exp i k r − ω t , k 2 = 2ccФазовая скорость v =.()()εµ25.

Дифференциальные операции с плоскими волнами, поляризация и связь амплитуд.Для плоских волн дифференциальные операции сводятся к алгебраическим! !! !!!divA = i k , A , rotA = i k , A[ ]( )!! !!!Поляризация задается амплитудами E0 , H 0 . Вектора k , E0 , H 0 -образуют правую тройку взаимноортогональных векторов. Уравнения Максвелла дают связь:! !µ !k , E0 = ωH 0 ,c[]!E0µ! =εH0! !ε !k , H 0 = − ωE0 ,c[]26.

Волны в проводящих средах, скин эффект.Обобщенное волновое уравнение:!!! εµ ∂ 2 E 4πµσ ∂EΔE − 2 2 − 2=0c ∂tc∂tРешение в виде монохроматической, плоской однородной волны! !!!!εµω 2 ⎛4πσ ⎞4πσ ⎞22 ⎛E (r , t ) = E0 exp i(qr − ω t ), q = 2 ⎜1 + i⎟ = k ⎜1 + i⎟c ⎝εω ⎠εω ⎠⎝2⎛ 4πσ ⎞1 + 1 + ⎜⎟!⎝ εω ⎠q = q = q1 + iq2 , q1 = k,2⎛ 4πσ ⎞− 1 + 1 + ⎜⎟⎝ εω ⎠q1 = k227. Неоднородные волны в прямоугольном волноводе.(!)ТЕ-волны E z = 0, H ∝ exp i (ω t − γ z ) :222∂ Hz ∂ Hzεµω++ k ⊥2 H z = 0, k ⊥2 = k 2 − γ 2 = 2 − γ 222∂x∂yc⎛ π m ⎞ ⎛ π n ⎞H z = H 0 cos⎜x ⎟ cos⎜y ⎟ exp i(ω t − γ z )⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠()ТМ-волны H z = 0, E ∝ exp i(ω t − γ z ) :22∂ 2 Ez ∂ 2 Ezεµω++ k ⊥2 E z = 0, k ⊥2 = k 2 − γ 2 = 2 − γ 222∂x∂yc⎛ π m ⎞ ⎛ π nE z = E0 sin ⎜x ⎟ sin ⎜⎝ a ⎠ ⎝ b⎞y ⎟ exp i(ω t − γ z )⎠28. Отражение и преломление плоских волн на плоской границе двух сред.Граничные условия условия: E1t = E2t , H1t = H 2t .Доказать, что из наличия падающей волны следует наличие отраженной и прошедшей.Доказать, что волновые вектора всех трех волн лежат в одной плоскости.Доказать равенство углов падения и отражения.Доказать соотношение для углов падения и прохождения.Формулы Френеля (без вывода):tg (ϕ − ψ )sin (ϕ −ψ )ApRs =Astg (ϕ + ψ )sin (ϕ + ψ )2 sinψ cosϕ2 sin ψ cos ϕDs =AsDp =Apsin (ϕ + ψ ) cos(ϕ − ψ )sin (ϕ + ψ )!! !!!!!!!где E пад = Ap + As , E отр = R p + Rs , E прош = D p + Ds , ϕ ,ψ -углы падения и прохождения.Rp =29.

Пояснить возникновение угла Брюстера, угла полного внутреннего отражения.30. Уравнения для потенциалов при наличии зарядов и токов, запаздывающие потенциалы.!!!1 ∂ 2ϕ (r , t )Δϕ (r , t ) − 2= −4πρ (r , t ),2c∂t! !⎛ !r − r ʹ′ ⎞⎟ρ ⎜⎜ r ʹ′, t −c ⎟⎠!⎝ϕ (r , t ) = ∫dV ʹ′,! !ʹ′r−rV! !! !1 ∂ 2 A(r , t )4π ! !ΔA(r , t ) − 2=−j (r , t )c∂t 2c! !!⎛ !r − r ʹ′ ⎞⎟j ⎜ r ʹ′, t −! !c ⎟⎠1 ⎜⎝A(r , t ) = ∫dV ʹ′! !cVr − r ʹ′31. Потенциалы Лиенара-Вихерта.!!! !ev (t ʹ′)R(t ʹ′), R(t ʹ′) = r − r0 (t ʹ′), t ʹ′ +t! !c⎛v (t ʹ′)R(t ʹ′) ⎞⎟c⎜⎜ R(t ʹ′) −⎟c⎝⎠!!!r -радиус-вектор точки наблюдения, r0 -радиус-вектор движущегося заряда, v -скорость.!ϕ (r , t ) =e! ! ,v (t ʹ′)R(t ʹ′)R(t ʹ′) −c!ϕ (r , t ) =32.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)