4 (1115622), страница 3
Текст из файла (страница 3)
5. Найти значение коэффициента 
в законе Кулона, если известно, что 1 кулон = 
ед. системы CGSE. В системе CGSE 
, а заряды выражены в ед. CGSE, расстояние в см, а сила в динах 
. В системе СИ единица заряда кулон, единица длины 1 см, единица силы 1 н =105 дин. Возьмем два заряда величиной в 1 кулон, расположенные на расстоянии 1 м и запишем для них закон Кулона в системе CGSE:
В системе СИ сила взаимодействия между этими зарядами 
ньютонов. Из сопоставления сил 
и имеем 
. Для удобства расчётов коэффициент представляют в виде дроби 
, где 
, 
носит название диэлектрическая проницаемость вакуума, числовой коэффициент, не имеющий физического содержания.
6
. Два заряда 
и 
находятся в точках с радиус-векторами, 
и 
. Написать выражение для силы 
, действующей на второй заряд со стороны первого (рис. 24).
7.Точечный заряд 
находится в начале координат. ис. Написать выражение для напряжённости электрического поля заряда в
точке с координатами 
и потенциал в этой точке.
Напряжённость поля 
электрического заряда (в СИ)
.
8. 
зарядов 
расположены в точках с радиус-векторами 
. Написать выражения для вектора в точке с радиус-вектором 
и для модуля этой напряжённости.
.
9
. Два точечных заряда и расположены соответственно в точках с координатами 
и 
.(Рис.25)
а) Построить график зависимости 
для точек, лежащих на оси 
.
б) Написать выражение для напряжённости 
в точках, лежащих на оси 
. Построить график зависимости .
Используя результаты задачи № 8 для случая двух зарядов 
и 
, имеющих радиус-векторы и напряжённость поля 
можно записать
.
В данном случае 
; 
Тогда
Напряжённость 
вдоль оси 
.
Знаменатель всегда положителен, а числитель знакопеременен. Поэтому, прежде чем сокращать, посмотрим знаки 
при разных условиях.
1) 
, при этом условии 
и
.
При этом выражение в фигурных скобках > 0.
2) 
при этом условии 
и
При этом выражение в фигурных скобках > 0.
С учётом этих условий, проводя арифметические операции, получим:
при 
при 
.
Н
апряжённость по оси 
при этих условиях
.
Графики функций 
и представлены на рис. 26.
10. Точечный заряд находится в начале координат. Написать выражение для потенциала электрического поля заряда в точке с координатами
11. Записать общее выражение для потенциала 
поля, создаваемого системой зарядов 
, находящихся в точках с радиус-векторами 
, в точке с радиус-вектором
.
12. Два заряда и находятся в точках с координатами и 
соответственно. Какую работу совершат силы поля, создаваемого этими зарядами, при удалении заряда 
из начала координат, на бесконечность?
По определению 
, где 
- потенциал поля в начале координат; 
- потенциал поля по бесконечности. Используя результаты задачи № 12, найдём :
,
и таким образом 
.
13. Линия напряжённости выходит из положительного точечного заряда , под углом 
к прямой. Под каким углом 
линия напряжённости войдёт в отрицательный заряд (рис. 27).
В
непосредственной близости от каждого из точечных зарядов вклад в общую напряжённость поля от другого заряда пренебрежимо мал, поэтому линии напряжённости выходят (входят) равномерным пространственным пучком, общее их число пропорционально модуля заряда. Внутрь конуса c углом 
при вершине вблизи заряда попадает только часть линий. Отношение их числа к общему числу выходящих из заряда , линий напряжённости равно отношению площадей соответствующих сферических сегментов
.
Так как линии напряжённости связывают между собой равные по модулю заряды, то число линий, выходящих из заряда , внутри угла равно числу линий, входящих в заряд под углом 
. Следовательно, 
.
Откуда 
.
Если 
, то линия напряжённости не войдёт в заряд .
14. Как мы знаем, картину силовых линий электрического поля можно получить, решая дифференциальное уравнение 
. Однако даже в самых простых случаях, например, двух одинаковых по величине зарядов, это сложная математическая задача, в результате решения которой получается довольно громоздкая формула:
, где 
.
Используя эту формулу, можно построить картины силовых линий для разноимённых а) и одноимённых зарядов б). Картины симметричны относительно горизонтальной плоскости, проходящей через заряды и относительно вертикальной плоскости, проходящей через точку, находящуюся в центре между зарядами (с точностью до направления силовых линий в случае разноимённых зарядов). Отметим, что при решении задач в электростатике часто используется принцип симметрии. Система зарядов обладает пространственной симметрией, если какое-либо преобразование этой системы (сдвиг на определённое расстояние в заданном направлении, поворот вокруг некоторой оси на заданный угол, зеркальное отражение в некоторой плоскости и т.д.) или комбинация таких преобразований переводят систему в новую, которая неотличима от исходной системы зарядов.
Э
лектростатическое поле обладает симметрией, если любое из перечисленных преобразований или их комбинация создаёт поле, неотличимое от исходного во всех точках пространства. Принцип симметрии для электростатического поля утверждает: если система заряда обладает симметрией определённого типа, то электростатическое поле, создаваемое такой системой, обладает симметрией этого же типа. Принцип симметрии для электростатического поля является не самостоятельным принципом электростатики, а теорией, вытекающей из свойств сферической симметрии поля точечного заряда. Кроме принципа симметрии, существуют специальные приёмы, основанные на других общих принципах, например, принцип суперпозиций, которые позволяют начертить силовые линии поля без решения дифференциальных уравнений. Один из таких способов, основанный на принципе суперпозиций, указал ещё Максвелл.
Если поле образовано несколькими зарядами, то вычерчивают два уже известных поля, например, поля точечных зарядов (рис. 28); получается сетка четырехугольных ячеек, в которых одна диагональ пропорциональна геометрической сумме напряженностей, а другая - их разности; соединяя соответственные узлы этих ячеек, получают картину суммарного поля. Затем так же суммируют полученное поле с полем третьего, четвёртого и т.д. зарядов. Другой способ связан с нахождением характерных точек, например, точки, в которой н
апряжённость равна нулю; точек на прямой, соединяющей заряды, в которых потенциал имеет то же значение, что и в точке, в которой напряжённость поля равна нулю и построение по этим данным качественной картины электрического поля.
Пример: начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точечных зарядов: 
и 
, находящиеся на расстоянии 
друг от друга (рис. 29).
В точках 
и 
потенциал поля равен потенциалу поля в точке 
.
.
Расстояние от заряда 
до точки равное 
находится из равенства 
или 
.
Аналогично находится расстояние от заряда до точки , равное 
. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные линии должны быть близки к окружностям. Линия, проходящая через точку 
отделяет силовые линии заряда от силовых линий заряда .
15. Задача: Начертить схему силовых линий и эквипотенциальных поверхностей для системы двух точечных зарядов 
. Решить двумя способами самостоятельно.
16. Существует связь между напряжённостью и потенциалом, выражаемая формулой 
.
Найти напряжённость поля , если потенциал поля 
, где 
.
В соответствии с формулой, находим
.
Аналогично находим 
, 
.
Окончательно 
.
17. Задача для самостоятельного решения: Найти напряжённость поля , если потенциал поля 
, где 
- отрицательная константа.
1
8. Доказать теорему Гаусса. Предположим сначала, что поле возбуждается точечным зарядом через бесконечно малую площадку 
. Если 
- радиус-вектор, проведённый из заряда к площадке (рис. 30), то по определению 
поток вектора через площадку равен
, 
,
где 
- численно равна проекции площадки на поверхность, перпендикулярную к , причём 
, если из точки 0 видна внутренняя сторона площадки [угол 
острый] и 
, если видна её внешняя сторона. - абсолютная величина перпендикулярной к проекции площадки .
Перпендикулярная к радиус-вектору площадка совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса 
с центром в точке 0. Если обозначить через 
тот телесный угол, под которым площадка видна из точки 0, (места расположения заряда), то, как известно, 
, и таким образом 
.
При этом площадка видна под тем же самым углом. Если приписывать углу положительный знак, когда 
и отрицательный, когда 
, то 
.
Переходя от бесконечно малой площадки к конечной, получим, что поток вектора через конечную поверхность 
: 
, где 
- положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из заряда вся поверхность . Если поверхность замкнутая, угол может иметь только одно из двух значений: 0 или 
. Дело в том, что точечный заряд может находиться либо внутри замкнутой поверхности, либо вне её. Точечный заряд не может находиться на поверхности, поскольку физическая "точечность" предусматривает, что реальные размеры заряда малы по сравнению с расстоянием его до рассматриваемых точек поля.
Е
сли заряд находится внутри замкнутой поверхности, то эта поверхность окружает его со всех сторон и видна под углом . В этом случае 
. Если заряд расположен в точке 0, лежащей вне замкнутой поверхности, то из точки 0 можно провести к поверхности касательные линии (рис. 31). Совокупность этих касательных образует конус, соприкасающийся с заданной замкнутой поверхностью вдоль некоторой замкнутой линии 
, которая разделит поверхность на две части: 
и 
. Обе части поверхности ( и ) будут видны из точки 0 под одним и тем же углом , причём одна будет с внутренней стороны ( ) , а другая - с внешней ( ). Таким образом, и будут соответствовать углы 
и 
равные по величине и противоположные по направлению и таким образом, потоки через поверхность дадут в сумме 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
