Практикум на тему электричества (1115549), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Графический анализ опытных данных 1,2,1. Сравнение с теорией, Функциональные шкалы Для проверки теоретической зависимости на график наносят опытные точки (нередко с указанием их погрешности в виде 1 — Лг), а теоретическую кривую проводят через точки, рассчитанные по уравнению.
Бели теория дает лишь вид зависимости, а параметры ее неизвестны и их надлежит определить из опыта, то экспериментальную зависимость стараются привести к линейному виду 1так как параметры прямой найти проще). С этой целью при построении графика по осям откладывают не сами измеренные величины, а такие функции этих величин, которые позволяют линеаризовать зависимость. Рассмотрим пример. Опыт показывает, что электрическое сопротивление полупроводника снижается с ростом температуры нелинейно. Чтобы выбрать координаты, в которых зависимость линеаризуется, обратимся к теории.
Согласно квантовой теории твердого тела сопротивление истинного полупроводника меняется с температурой ~'ЛИ"~ по закону В = Аехр~ ~. Логарифмируя это уравнение, получаем зависимость 1,2ВТ,1 ЛИ' 1пВ = 1пА+ —, которая представится на графике в виде прямой у = Ь + Кх, если 2кТ обозначить у = 1п В, х = 1/Т. Определяя параметры этой прямой Ь = =1п А и К= ЛИ72К можно найти характеристики полупроводника А и Л 1Г 1.2.2.
Определение параметров линейной зависимости Рассмотрим два наиболее распространенных метода: приближенный метод определения параметров прямой, когда используют отрезки, отсчитанные по шкале на осях графика; метод наименьших квадратов ~МНК).
Приближенный метод Пусть измеренные величины х и у связаны линейной зависимостью вида у = Кх+ Ь и нужно определить ее параметры К и Ь. 113 Для этого опытные точки наносят на график и проводят прямую линию, руководствуясь правилами построения графика. На концах линии выбирают две произвольные точки а и б, удобные Д для расчета. Для сидения погрешности отсчета по графику и упрощения расчета углового коэффициента К удобно точку а взять на одной из осей, а точку б — так, чтобы отрезок (х~ — х ) выражался целым числом. Среднее значение углового ко- У, эффициента К вычисляют как отношение, определяющее наклон пря- Ь мой: у6 + у.
(1) Х 6 а Параметр Ь линейной зависимости находят по графику как ординату точки пересечения прямой с осью у. Величину Ь можно найти и по уравнению прямой, подставляя координаты средней точки графика: Ь=у — Кх. (2) Случайные погрешности параметров определяются разбросом опьггных точек относительно проведенной прямой.
Для простейшей оценки этих погрешностей достаточно найти на графике величину ˄— отклонение от прямой линии наиболее удаленной точки и (у„— у,) — интервал, на котором сделаны измерения (длина оси у). Абсолютная случайная погрешность параметра Ь: Л,=Л,. (3) Для углового коэффициента прямой К сначала вычисляют относительную погрешность: .гю Определение параметров К и Ь Л, 100'~' «2 — У Формула (4) привлекает тем, что при расчете отношения величин одного рода можно взять их в любых единицах (всего удобнее — в миллиметрах шкалы по оси у). Напомним, что в величине погрешностей имеет значение, как правило, одна цифра, а потому достаточная точность отсчета отрезка (у — у,) — «круглое число», например, 90, 100 или 120 мм. Затем находят абсолютную погрешность среднего значения величины К: К (5) 100',о которая позволяет записать доверительный интервал для искомого параметра К: 114 К=К-Л,.
(6) Доверительная вероятность Р в описанном методе оценки погрешностей (по максимальному отклонению Л„) зависит от числа опытных точек Л' — чем больше Ж, тем выше надежность результата: Р =1 — (1!2) М е т о д н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в МНК позволяет найти параметры «наилучшей» расчетной кривой, такой, чтобы ее расхождение с результатами опыта было минимальным. Отметим, что метод не дает вида зависимости у(х). Последний выбирается либо из теоретических представлений, либо по данным эксперимента Поэтому перед использованием МНК нужно убедиться, что опытные данные действительно соответствуют предполагаемой зависимости.
Для этого прежде всего необходимо построить график по результатам опыта. Метод основан на том, что критерием «наилучших» параметров искомой зависимости является минимальность суммы Б квадратов отклонений опытных точек у, от расчетной кривой, т.е. минимум величины Ю 2 =~(у,-~( ...
'' .)]. где ~(х„а,,а,,..., а ) — значение искомой функции в 1-й точке. Условия минимума при варьировании значений параметров а, — равенство нулю соответствующих производных: дБ1да, = О (индекс ~ = 1, 2,..., т) — дают т уравнений для отыскания ж неизвестных параметров а, расчетной зависимостиу(х). МНК наиболее прост для линейной зависимости у = Кх + Ь, которая содержит два неизвестных параметра: К и Ь.
В этом случае сумма наименьших квадратов отклонений Я= ~[у, — (К~+Ь)] достигается при выполнении условий дЯ /дК = О и дБ/дЬ = О, из которых получены для искомых параметров следующие уравнения: ~х,у, — ((~х,)(~у,))/Л' 2'(х,') — (2'х,) /Л Ь=~ ' К~ ' илиЬ=у — Кх, Л' Ж где суммы вычисляют по всем опытным точкам (Х слагаемых).
Уравнение (9) показывает, что расчетная прямая проходит через следующие две точки: начальную (х=О; у=Ь) и среднюю (х; у) . При этом расположение опытных точек по отношению к прямой таково, что отклонения отдельных точек Л «выравниваются»: именно в этом случае сумма о" минимальна. Если у 115 на графике есть одна точка с большим отклонением от прямой, то для выполнения условия Б „эта точка «подтянет» к себе расчетную прямую. Для расчета среднего квадратического отклонения (СКО) искомых параметров (случайной погрешности) МНК дает следующие выражения: — ~х Ж где Я,= Расчеты по МНК обычно проводят на ЭВМ, используя стандартные программы.
В лаборатории удобен программируемый микрокалькулятор, а также обычный микрокалькулятор с ячейкой памяти для вычисления сумм. Пример применения МНК При использовании метода выполняют следующие операции. 1. Из теории или опытных данных выясняют вид зависимости. Если она линейная (например, известно уравнение температурной зависимости сопротивления металлов Лф = П, + П,а1) или же из графика видно, что опытные точки располагаются близко к некоторой прямой, то можно применять для расчета ее параметров формулы (8), (9). Если экспериментальная зависимость нелинейная, то стараются преобразовать ее в линейную (см. функциональные шкалы). 2. Для расчетов параметров К и Ь по формулам (8), (9) предварительно вычисляют необходимые суммы по всем опытным точкам, а затем уже рассчитывают сами величины.
3. Наносят на поле графика начальную (х=О; у=В) и среднюю (х; у ) точки и проводят через эти точки расчетную прямую, чтобы убедиться, что отклонения от нее опытных точек действительно минимальны. 4. Используя найденные значения параметров К и о, вычисляют случайные погрешности СКО этих величин по приведенным выше формулам. Записывают уравнение экспериментальной прямой и по найденным параметрам рассчитывают необходимые физические величины.
Так, в примере с зависимостью Я® находят температурный коэффициент сопротивления (а = Х/А, ), где величина В, = Ь. Приложение 2 СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ 2.1. Вывод расчетной формулы для определения еЬи методом магнетрона Решим задачу № 3.394 (Иродов И.Е Задачи по общей физике.— М: Наука„ 1979.— С. 156), условие которой следующее. Магнетрон — это прибор, состоящий из нити накала радиусом а и коаксиального цилиндрического анода радиусом Ь, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов Г Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
Р,.„ На рисунке показаны силы, дей- ствующие на электрон, движущийся со (;) 8 скоростью ч в произвольной точке траи» О ектории. Сила Лоренца сообщает элек- 0 т '~ йр трону нормальное ускорение Ь ~'/Й=е~В/т, в результате чего он Р,, движется по криволинейной траекто0 рии с радиусом кривизны Л = тЫеВ. По мере движения электрона от катода к аноду в электрическом поле скорость его растет, что ведет к увеличению Н, т.е. траектория частицы не является окружностью.
Магнетрон Интересующее нас значение магнитной индукции В, при котором траектория электрона касается поверхности анода, определяет силу Лоренца, входящую в уравнение динамики движения частицы. Запишем это уравнение для вращения электрона вокруг оси 0 магнетрона (относительно этой оси момент силы 7эу равен нулю). Изменение момента импульса электрона 4т~,») = Ма~ т»сЬ, + тч,сЬ" = Г, соярпй, (1) где Р, = етВ = еВ~~ /яппи; ~ — составляющая скорости, перпендикулярная радиальной ~~,. В уравнении (1) содержатся 4 переменные (у„», р, г), причем для первых двух очевидны граничные условия (см рисунок): при изменении расстояния электрона от оси г от а до Ь составляющая его скорости г изменяется от нуля до г (модуля скорости).
Поэтому преобразуем уравнение (1), оставляя в нем пе- ременные г и г . После подстановки значения Р в правую часть уравнения по- лучим (3)  —,, /2Ут!е. 2Ь (б) хр -2 2 Электроны, вылетевшие из катода с нулевой начальной скоростью, будут достигать поверхности анода при «„,. В случае тонкой нити, принимая, что а<<В, из уравнения (б) получаем формулу  — — М2Ут!е, 2 (7) с которой совпадает расчетная формула, найденная в лабораторной работе М~ б в приближении постоянной скорости электрона з, приобретенной вблизи нити катода. 2.2. Основные физические постоянные с=3 10 м/с Ид — 6,02 10» моль- К =1,38 10 ~~ Дж/К е= 1,60 10 "'Кл лз, = 0,911 10 ~~ кг е/ ~п, = 1,76 10" Кл/кг Скорость света в вакууме Число Авогадро Постоянная Больцмана Элементарный заряд Масса электрона Удельный заряд электрона 118 тпЬ, + тг,й" = еВк,ий(~~~р, (1а) где 1д га найдем из рис.
1. Сместив радиус г на угол Ыга, получим два треугольника (заштрихованы), из которых следует соотношение п1 = сй"фр. (2) Чтобы исключить из уравнений переменные угол га и время ~, запишем формулу для угловой скорости, связывающей эти величины: др!й = г, !г. С учетом выражений (2) и (3) уравнение динамики приводится к виду тггЫ, + ргл~,Ыг = (е 1 т)Вгс6" . (4) Это уравнение в полных дифференциалах при начальных условиях го = а, з О = О имеет следующее решение: (е(т)Вгг!2 — з,г = (е(т)Ва' ~2.
(5) Для точки касания поверхности анода расстояние от оси г = Ь и скорость электрона з — з (см. рисунок), а значение скорости определяется разностью потенциалов в электрическом поле ггпр'!2=е Г Подстановка этих значений в уравнение (5) дает следующий ответ: й — 6,63 10 "Дж.с рв — — 0,927 10 ~~ Дж/Тл 1 а.ея. = 1, 66 10 ~7 кг ью = 0 885 10 ~ Ф!м ро = 4п10 7= 1,26 10 Гн/м 1 э — 1,6 10 '~ Дж Постоянная Планка Магнетон Бора Атомная единица массы Электрическая постоянная Магнитная постоянная Электрон вольт 2.3.
Ъ'дельные сопротивления и температурные коэффициенты сопротивления 2.4. Постоянная Холла и ширина запрещенной зоны БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1989. — 608 с. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1994. — 542 с. 3. Калашников С Г Электричество — М.: Наука, 1977.— 555 с. 4. Электричество и магнетизм: Рабочая тетрадь по физике для лабораторных работ — Челябинск: Изд. ЮУрГУ, 2002. — 78 с. 120 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
