Б.В. Гладков - Программа курса (1115391)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

доц. Б.В. Гладков

1/2 года, 2 курс, химический факультет

1. Правило умножения и правило сложения комбинаторики. Выборки из генеральной совокупности. Выборки упорядоченные и неупорядоченные, с возвращением и без возвращения. Размещения частиц (различимых и неразличимых) по различимым неупорядоченным ячейкам (с запретом и без запрета). Подсчет их количества.

2. Множество. Подмножество. Множество всех подмножеств. Операции над множест­вами и их свойства. Примеры.

3. Отображения множеств. Образ и прообраз. Полный прообраз. Эквивалентность множеств. Счетные и континуальные множества. Примеры. Алгебра и сигма-алгебра множеств. Примеры.

4. Разбиение множества. Число разбиений конечного множества на заданное число подмножеств с фиксированным числом элементов в каждом подмножестве.

5. Случайный эксперимент. Стохастическая устойчивость частот. Формализация веро­ятностной задачи. Вероятностное пространство. Дискретные и произвольные про­странства элементарных исходов (ПЭИ). Примеры. Случайные события. Операции над событиями. Связь вероятностной терминологии с теоретико-множественной терми­нологией. Алгебра и сигма-алгебра событий. Примеры.

6. Вероятность (вероятностная мера) в дискретном ПЭИ. Аксиомы. Примеры задания вероятности в дискретном ПЭИ. Классическое определение вероятности. Теорема сложения и ее обобщения. Примеры.

7. Произвольное ПЭИ. Вероятность (вероятностная мера) в произвольном ПЭИ. Аксиомы теории вероятностей. Аксиома непрерывности. Геометрические вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности, вытекающие из аксиом.

8. Условные вероятности. Теорема умножения. Независимость событий. Независимость событий в совокупности. Пример С.Н. Бернштейна. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

9. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами (схема Бернулли). Вероятностное пространство для схемы Бернулли. Последовательность независимых испытаний с ( ) исходами (полиномиальная схема).

10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная предельная теорема Муавра (без док-ва). Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (без док-ва). Примеры применения теорем.

11. Сигма-алгебры числовых множеств на (борелевские алгебры). Случайная величина (определения). Функция распределения. Распределение вероятностей. Свойства функции распределения (поведение в бесконечности и непрерывность слева – без док-ва). Индуцированное вероятностное пространство.

12. Дискретные случайные величины (распределения). Функция распределения. Примеры: вырожденное, дискретное равномерное, бернуллиевское, биномиальное, пуассоновское, геометрическое, гипергеометрическое распределения; распределение Паскаля. Содержательный смысл указанных распределений. Предельные значения для гипергеометрических вероятностей.

13. Абсолютно непрерывные случайные величины (распределения). Функция распределения. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение на отрезке, нормальное распределение с параметрами , стандартное нормальное распределение, показательное распределение (свойство отсутствия последействия), распределение Коши. Содержательный смысл указанных распределений.

14. Многомерные распределения. Функция распределения случайного вектора и ее свойства (без док-ва). Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные распре­деления. Плотность распределения. Примеры: равномерное распределение в области на плоскости, двумерное нормальное распределение, дискретное распределение на конечном множестве точек плоскости. Связь маргинальных (одномерных) распределений с совместным распределением. Примеры. Условные распределения.

15. Независимость случайных величин (определения). Необходимые и достаточные условия независимости дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин (без док-ва).

16. Функции (борелевские) от случайных величин. Преобразование n-мерного случайного вектора в мерный. Пример: нахождение плотности распределения квадрата нормальной стандартной случайной величины (распределение хи-квадрат с одной степенью свободы). Формула композиции (свертка). Распределение суммы двух независимых нормально распределенных случайных величин. Пример: нахождение плотности суммы двух независимых случайных величин, одна из которых имеет равномерное распределение на отрезке , , а другая – нормальное распределение с параметрами .

17. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Формулы для вычисления математического ожидания функций от случайных величин. Свойства математического ожидания. Вычисление математического ожидания биномиальной и гипергеометрической случайных величин с помощью их представления в виде сумм бернуллиевских случайных величин. Дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства. Дисперсия линейной комбинации произвольных случайных величин. Примеры. Связь между независимостью и некоррелированностью. Примеры. Условное математическое ожидание. Формула для вычисления полного математического ожидания.

18. Неравенства Маркова и Чебышева. Примеры применения неравенства Чебышева: оценка вероятности успеха в схеме Бернулли по частоте, оценка доли брака в партии изделий по доле брака в контрольной выборке. Сходимость по вероятности. Закон больших чисел. Теорема Маркова (достаточное условие применимости закона больших чисел). Теоремы Чебышева и Бернулли. Примеры.

19. Сходимость по распределению (слабая сходимость). Центральная предельная теорема (различные достаточные условия выполнения теоремы – без док-ва). Примеры применения. Понятие асимптотической нормальности. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы.

20. Теорема Слуцкого и теорема о сходимости (без док-ва).

21. Элементы математической статистики: выборка из распределения ; эмпирическая функция распределения; характеристики выборочных распределений; оценка (статистика); несмещенность и состоятельность оценок; методы получения оценок; приближенные доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли; распределения хи-квадрат и Стьюдента; критерии согласия (хи-квадрат и Колмогорова); точные выборочные распределения, точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения; различение гипотез, критерий Неймана-Пирсона; задачи регрессии, метод наименьших квадратов.

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М., Наука, 1969.

2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Агар, 1996.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов учебной работы