Н.И. Чернова - Лекции по математической статистике (1115346)
Текст из файла
ОглавлениеJJIIJIЛекции по математической статистике2-й курс ЭФ, отделение«математические методы и исследование операций в экономике»Н. И. Черноваcher@nsu.ruНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 1Предлагаемый вашему вниманию курс теоретической статистики содержит материализ классических разделов математической статистики. Речь пойдет об оценке параметров,проверке гипотез, немного о регрессионном анализе.
Курс предназначен студентам экономического факультета НГУ, но его могут попробовать освоить студенты математическогофакультета. Курс не содержит экономических приложений и ни в коей мере не собирается обсуждать применение статистических методов.
И то, и другое студенты-экономистыв НГУ изучают в годовом курсе эконометрики (регрессионного анализа).Оглавление1ОглавлениеJJIIJIОсновные понятия1.1 Основные понятия выборочного метода . . . . . . .1.2 Выборочное распределение . . . . . . . . . . . . . .1.3 Эмпирическая функция распределения, гистограмма1.4 Выборочные моменты .
. . . . . . . . . . . . . . .1.5 Состоятельность выборочных характеристик . . . .1.5.1 Свойства ЭФР . . . . . . . . . . . . . . . .1.5.2 Свойства гистограммы . . . . . . . . . . . .1.5.3 Свойства выборочных моментов . . . . . .1.6 Группированные данные . . . . . . . . . . . . . . .1.7 Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................5781014151520212526На стр. ...
из 179НазадВо весь экран2 Точечное оценивание2.1 Параметрические семейства распределений2.2 Свойства оценок . . . . . . . . . . . . . .2.3 Метод моментов . . . . . . . . . . . . . .2.4 Состоятельность ОММ . . . . . . . . . .2.5 Метод максимального правдоподобия . . .2.6 Вопросы и упражнения . . .
. . . . . . . .........................................................................................................................28282932353845Сравнение оценок3.1 Среднеквадратический подход . . . . . . . . .3.2 Единственность эффективной оценки . . . . .3.3 Асимптотически нормальные оценки . .
. . .3.4 Скорость сходимости . . . . . . . . . . . . . .3.5 Асимптотическая нормальность ОММ . . . .3.6 Асимптотический подход к сравнению оценок..................................................................................................................46475053555760......Уйти3Стр. 23.7ОглавлениеJJIIJIНа стр. ...
из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 3Вопросы и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Эффективные оценки4.1 Условия регулярности . . . . . . .4.2 Примеры . . . . . . . . . . . . .4.3 Неравенство Рао — Крамера . .4.4 Проверка эффективности оценок4.5 BLUE . . . . . . . . . . . .
. . .4.6 Вопросы и упражнения . . . . . .5................................................................................................................................................Интервальное оцениваниеПроверка гипотез7.1 Две простые гипотезы . . . . . . . .7.2 Подходы к сравнению критериев .
.7.3 Критерий отношения правдоподобия7.3.1 Для математиков . . . . . . .7.3.2 Лемма Неймана — Пирсона......62626366717979806 Распределения, связанные с нормальным6.1 Гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 χ2 -распределение Пирсона . . . . .
. . . . . . . . . . .6.3 Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Лемма Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.6 Доверительные интервалы для параметров нормального6.7 Вопросы и упражнения . . . . .
. . . . . . . . . . . . .7......61................................................... . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .распределения .. . . . . . . . .............................91. 92. 94. 97. 100. 101. 109.
111.........................112. 116. 118. 121. 124. 126........................................ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 48 Критерии согласия8.1 Критерий Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 Критерий χ2 Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .8.3 Критерий χ2 для проверки параметрической гипотезы . . . . . . . . . . .8.4 Проверка гипотезы однородности: критерий Колмогорова — Смирнова .8.5 Проверка гипотезы независимости: критерий «хи-квадрат» Пирсона . . .8.6 Критерий Фишера . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .8.7 Критерий Стьюдента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.8 Гипотеза о среднем нормальной совокупности с известной дисперсией . .8.9 Гипотеза о среднем нормальной совокупности с неизвестной дисперсией8.10 Критерии и доверительные интервалы .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................1331351371421451461481511541551569 Линейная регрессия9.1 Математическая модель регрессии . . . . . . . . . . . .9.2 Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . .9.3 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . .9.4 Примеры . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.5 Общая модель линейной регрессии . . . . . . . . . . .9.6 Метод наименьших квадратов. Нормальное уравнение9.7 Свойства ОМНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................157157159160161164165167......................................................................Добавления171AМногомерное нормальное распределение . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 171BДоказательство теоремы Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731. Основные понятия математической статистикиОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятиятеории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи.В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых целиком известны. Предметтеории вероятностей — свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, выдающий лишь некиерезультаты, по которым требуется сделать вывод о свойствах самого эксперимента.Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов,полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.При этом возникают, например, следующие вопросы:НазадВо весь экранУйтиСтр.
5Если мы наблюдаем одну случайную величину — как по набору ее значенийв нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т. е.имеем набор значений нескольких случайных величин — что можно сказать об ихзависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?ОглавлениеJJIIJIНа стр.
... из 179Часто бывает возможно высказать некие предположения о распределении, спрятанном в «черном ящике», или о его свойствах. В этом случае по опытным даннымтребуется подтвердить или опровергнуть эти предположения («гипотезы»). При этомнадо помнить, что ответ «да» или «нет» может быть дан лишь с определенной степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнеемогут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация,когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента— например, о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределенияплотности или о его дискретном характере, и т.
д.Итак, о (математической) статистике имеет смысл вспоминать, еслиНазадВо весь экран• имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностьюнеизвестны,УйтиСтр. 6• мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условияхнекоторое (а лучше — какое угодно) число раз.Примером такой серии экспериментов может служить социологический опрос, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек притысячекратном подбрасывании монеты.1.1. Основные понятия выборочного методаОглавлениеJJIIJIНа стр.
... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 7Пусть ξ : Ω → IR — случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте.Предполагается, что вероятностное пространство задано (и не будет нас интересовать).Будем считать, что проведя n раз этот эксперимент в одинаковых условиях, мыполучили числа X1 , X2 , . . .
, Xn — значения этой случайной величины в первом,втором, и т. д. экспериментах. Случайная величина ξ имеет некоторое распределениеF, которое нам частично или полностью неизвестно.Рассмотрим подробнее набор X = (X1 , . . . , Xn ), называемый выборкой.В серии уже произведенных экспериментов выборка — это набор чисел. Но еслиэту серию экспериментов повторить еще раз, то вместо этого набора мы получим новыйнабор чисел. Вместо числа X1 появится другое число — одно из значений случайнойвеличины ξ. То есть X1 (и X2 , и X3 , и т. д.) — переменная величина, котораяможет принимать те же значения, что и случайная величина ξ, и так же часто (стеми же вероятностями). Поэтому до опыта X1 — случайная величина, одинаковораспределенная с ξ, а после опыта — число, которое мы наблюдаем в данном первомэксперименте, т. е. одно из возможных значений случайной величины X1 .Выборка X = (X1 , .
. . , Xn ) объема n — это набор из n независимых и одинаковораспределенных случайных величин («копий ξ»), имеющих, как и ξ, распределение F.Что значит «по выборке сделать вывод о распределении»? Распределение характеризуется функцией распределения, плотностью или таблицей, набором числовых характеристик — E ξ, D ξ, E ξk и т. д. По выборке нужно уметь строить приближения длявсех этих характеристик.1.2.ОглавлениеJJIIJIНа стр.
... из 179НазадВо весь экранВыборочное распределениеРассмотрим реализацию выборки на одном элементарном исходе ω0 — набор чиселX1 = X1 (ω0 ), . . . , Xn = Xn (ω0 ). На подходящем вероятностном пространстве введемслучайную величину ξ∗ , принимающую значения X1 , . . . , Xn с вероятностями по 1/n(если какие-то из значений совпали, сложим вероятности соответствующее число раз).Таблица распределения вероятностей и функция распределения случайной величины ξ∗выглядят так:ξ∗PX11/n......Xn1/nF∗n (y) =X 1количество Xi ∈ (−∞, y)=.nnXi <yРаспределение величины ξ∗ называют эмпирическим или выборочным распределением.Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины ξ∗ и введем обозначениядля этих величин:nnX11XXi = X,Eξ =Xi =nn∗i=1i=1nnX11X∗ 2(Xi −X)2 = S2 .Dξ =(Xi −E ξ ) =nn∗i=1i=1Точно так же вычислим и момент порядка kУйтиE (ξ∗ )k =nnX1X k1 kXi =Xi = Xk .nni=1i=1В общем случае обозначим через g(X) величинуСтр.
81Xg(Xi ) = g(X).nnE g(ξ∗ ) =i=1ОглавлениеJJIIJIНа стр. ... из 179НазадВо весь экранУйтиСтр. 9Если при построении всех введенных нами характеристик считать выборку X1 , . . . , Xnнабором случайных величин, то и сами эти характеристики — F∗n (y), X, S2 , Xk , g(X) —станут величинами случайными. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.Причина использования характеристик распределения ξ∗ для оценки характеристикистинного распределения ξ (или X1 ) — в близости этих распределений при больших n.Рассмотрим,дляпримера,nподбрасыванийправильногокубика.Пусть Xi ∈ {1, . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
