Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Привести пример случайных величин ξ ⊂что распределение ξ + η не является нормальным.= N1,9 и η ⊂= N1,1 — независимые случайные величины.82. Пусть ξ ⊂Какое распределение имеет ξ − η ?83. Сформулировать теорему об устойчивости гамма-распределенияотносительно суммирования.84. Имеет ли сумма независимых и равномерно распределённых слагаемых равномерное распределение?85. Дать определение математического ожидания для дискретного распределения. Когда существует математическое ожидание случайной величины с дискретным распределением?86. Дать определение математического ожидания для абсолютнонепрерывного распределения.
Когда существует математическое ожидание случайной величины с абсолютно непрерывным распределением?87. Одинаковы ли математические ожидания у двух разных случайных величин с одним и тем же распределением?88. Какой физический смысл имеет математическое ожидание?89.
Всегда ли математическое ожидание существует?90. Привести пример распределения, математическое ожидание которого не существует.91. Привести пример распределения случайной величины с математическим ожиданием −3.92. Перечислить математические ожидания и дисперсии всех основныхраспределений.148КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ93. Пользуясь свойствами математического ожидания, вычислить= Na, σ2 .E (3ξ) и E (ξ + 1) для ξ ⊂94.
Всегда ли математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий?95. Всегда ли математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий?96. Как вычислять второй момент для показательного распределения,четвёртый?= Bn,p .97. Записать формулу для вычисления E(ξ2 eξ ), если ξ ⊂ξ= Πλ .98. Записать формулу для вычисления E(2 cos ξ), если ξ ⊂= Eα .99. Записать формулу для вычисления E ξe√−ξ для ξ ⊂= Eα .100. Записать формулу для вычисления E ξ для ξ ⊂101.
Известно, что P(ξ ∈ (−5, 5)) = 1. Что можно сказать про E ξ ?102. Когда возможно равенство E |ξ| = 0 ? Почему?103. Сформулировать неравенство Йенсена.104. Сравнить E (eξ ) и eE ξ , E ln ξ и ln(E ξ).105. Дать определение и привести основные свойства дисперсии.106. Как изменится дисперсия при изменении случайной величинывдвое?107. Можно ли привести пример распределения с дисперсией −1?108. Что можно сказать про случайную величину ξ, если D ξ = 0?109. Всегда ли дисперсия суммы равна сумме дисперсий?= Πλ . Чему равна дисперсия D(2 − 3ξ) ?110.
Пусть ξ ⊂111. Найти DSn , где Sn = ξ1 + . . . + ξn — сумма независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией σ2 .= Eα независимы. Вычислить D(ξ1 − ξ2 ).112. Пусть ξ1 , ξ2 ⊂113. Сравнить Eξ2 и (Eξ)2 . Когда эти величины сопадают?114. Чему равна D(4ξ − 3η) для произвольных случайных величин ξи η с конечными вторыми моментами?= N0,1 независимы. Сравнить D(ξ1 + ξ2 + ξ3 )115. Пусть ξ1 , ξ2 , ξ3 ⊂и D(3ξ1 ).116. Записать определение и свойства коэффициента корреляции.117. Если ξ = 2η, чему равен их коэффициент корреляции?118. Что можно сказать про случайные величины, если их коэффициент корреляции равен −1?119.
Если обе случайные величины увеличить вдвое, как изменится ихкоэффициент корреляции?120. Если обе случайные величины увеличить на два, как изменитсяКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ149их коэффициент корреляции?121. Чему равен коэффициент корреляции независимых случайных величин? Может ли коэффициент корреляции двух зависимых случайныхвеличин равняться нулю?122. Для того чтобы D(ξ + η) = Dξ + Dη, необходимо и достаточно,чтобы ξ и η были независимы или некоррелированы? Обосновать.Вопросы по главам X–XII1. Сформулировать определение сходимости «почти наверное».2. Сформулировать определение сходимости по вероятности.3. Дать определение предела числовой последовательности.4. Привести пример сходящейся по вероятности последовательности.5.
Сходится ли по вероятности сходящаяся числовая последовательность? Сходится ли она почти наверное?6. Известно, что P(|ξn − ξ| > 0, 001) → 0 при n → ∞. Верно ли, чтоpтогда ξn → ξ ?= B 1?7. Куда сходится по вероятности последовательность ξn ⊂1− n8. Какими свойствами обладает сходимость по вероятности?9. Какая из сходимостей сильнее: почти наверное или по вероятности?10. Пусть E |ξ| = 1. Оценить с помощью неравенства Маркова вероятность P(|ξ| > 3).11. Сформулировать неравенства Маркова и Чебышёва.12. Какие вероятности позволяет оценивать неравенство Чебышёва?13.
КакпонеравенствуЧебышёваоценитьвероятностьP(|ξ − E ξ| < x), если x > 0 и D ξ существует? Будет ли это оценкасверху или снизу?14. Чем можно оценить вероятность случайной величине отличатьсяот своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии, более чем на четыре, на пять?15. Что означают слова «последовательность удовлетворяет ЗБЧ»?16. Каков смысл закона больших чисел?17. Куда сходятся средние арифметические независимых и одинаковораспределённых случайных величин с конечной дисперсией?18. Как себя ведёт отношение числа успехов в схеме Бернулли к числуиспытаний с ростом последнего?19.
Можно ли при каком-нибудь большом числе бросаний правильноймонеты гарантировать, что частота выпадения орла отклонится от 0,5не более чем на 0,05?20. Сформулировать ЗБЧ в формах Чебышёва, Маркова, Хинчина.150КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ21. Пусть ξ1 , ξ2 , . . . — независимые и одинаково распределённые случайные величины. При каком условии существует и чему равен пределξ3 + . . . + ξ3nпоследовательности 1при n → ∞ ?n22. Сформулировать усиленный ЗБЧ Колмогорова.23. Может ли последовательность зависимых случайных величинудовлетворять ЗБЧ? Привести пример.24. Может ли последовательность разнораспределённых случайныхвеличин удовлетворять ЗБЧ? Привести пример.25.
Определение слабой сходимости.26. Расшифровать по определению запись ξn ⇒ 0.127. Доказать по определению, что последовательность ξn = − слабоnсходится к нулю.128. Доказать по определению, что последовательность ξn =слабоnсходится к нулю.29. Как связаны слабая сходимость и сходимость по вероятности?30. Сформулировать теорему о двойном пределе.31.
Перечислить свойства слабой сходимости.32. Сформулировать ЦПТ.33. К какому распределению в условиях ЦПТ приближается распреS − E Snделение случайной величины npпри n → ∞?D Sn34. Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайнойS − E Snвеличины np?D Sn35. В условиях ЦПТ как себя ведут при n → ∞Sn − nEξ1Sn − nEξ1ppP< 1/nи P<n ?nDξ1nDξ136. Выполнено ли утверждение ЦПТ для независимых случайных ве= Πλ ?личин ξi ⊂37. Привести пример задачи, для решения которой необходима ЦПТ.38. В условияхпредел при n → ∞ последовательности ЦПТ каковSnвероятностей P< E ξ1 ?nПРИЛОЖЕНИЕТаблица 1Основные дискретные распределенияНазвание,обозначение,параметрыВозможныезначения kP(ξ = k)EξDξВырожденноеIc , c ∈ RcP(ξ = c) = 1c0Бернулли Bpp ∈ (0, 1)k = 0, 1P(ξ = 0) = 1−p,P(ξ = 1) = ppp(1 − p)Cnk pk (1 − p)n−knpnp(1 − p)λk −λeλλp(1 − p)k−11p1−pp2БиномиальноеBn, pp ∈ (0, 1)n = 1, 2, .
. .k = 0, . . . , nПуассона Πλλ>0k = 0, 1, 2, . . .ГеометрическоеGpp ∈ (0, 1)k = 1, 2, . . .Гипергеометрическоеn, K, N ∈ N0 6 n, K 6 Nk!целые отmax(0, n+K−N )до min(n, K)k C n−kCKNKnCNKnNKnNK1−NN −nN −1152ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 2Основные абсолютно непрерывные распределенияНазвание,обозначение,параметрыПлотностьраспределенияРавномерноена отрезке[a, b]Ua, b , a < b 1 , x ∈ [a, b],b−a 0,x∈6 [a, b]0,x > 0,x60122√ e−(x−a) /2σ ,σ 2πσ1Гамма Γα, λ ,α > 0, λ > 0 λ α xλ−1 e−αx , x > 0,Γ(λ)0,x60(b − a)2120−1,211αα226aσ200————λλα2√6α2µ2−∞ < x < ∞(α > 1)6(α3 +α2 −6α−2),α>4α(α−3)(α−4)α−1,α>3α3α−3( α, x > 1,xα+10,x<1λ0α−∞ < x < ∞α2α−2 2(α+1)2,α>2α −α|x−µ|e,λrПарето, α > 0a+b2,π σ2 + (x − a)2Лапласа Lα, µ ,Эксцесс−∞ < x < ∞Коши Ca, σ ,a ∈ R, σ > 0α > 0, µ ∈ RАсимметрия(α−1)2 (α−2)Нормальное(гауссовское)Na, σ2 ,a ∈ R, σ > 0α e−αx ,(DξαПоказательное(экспоненциальное)E α = Γ α, 1 ,α>0Eξ153ПРИЛОЖЕНИЕТаблица 3Функция распределения стандартного нормального закона1Φ0, 1 (x) = √2πxΦ0, 1 (x)x−5−4, 5−4−3, 8−3, 6−3, 4−3, 2−3−2, 98−2, 96−2, 94−2, 92−2, 9−2, 88−2, 86−2, 84−2, 82−2, 8−2, 78−2, 76−2, 74−2, 72−2, 7−2, 68−2, 66−2, 64−2, 62−2, 6−2, 58−2, 56−2, 54−2, 52−2, 50, 00000030, 00000340, 00003170, 00007240, 00015910, 00033700, 00068720, 00130, 00140, 00150, 00160, 00180, 00190, 00200, 00210, 00230, 00240, 00260, 00270, 00290, 00310, 00330, 00350, 00370, 00390, 00410, 00440, 00470, 00490, 00520, 00550, 00590, 0062−2, 48−2, 46−2, 44−2, 42−2, 4−2, 38−2, 36−2, 34−2, 32−2, 3−2, 28−2, 26−2, 24−2, 22−2, 2−2, 18−2, 16−2, 14−2, 12−2, 1−2, 08−2, 06−2, 04−2, 02−2−1, 99−1, 98−1, 97−1, 96−1, 95−1, 94−1, 93−1, 92Φ0, 1 (x)0, 00660, 00690, 00730, 00780, 00820, 00870, 00910, 00960, 01020, 01070, 01130, 01190, 01250, 01320, 01390, 01460, 01540, 01620, 01700, 01790, 01880, 01970, 02070, 02170, 02280, 02330, 02390, 02440, 02500, 02560, 02620, 02680, 0274Zxe−t2/2dt−∞x−1, 91−1, 9−1, 89−1, 88−1, 87−1, 86−1, 85−1, 84−1, 83−1, 82−1, 81−1, 8−1, 79−1, 78−1, 77−1, 76−1, 75−1, 74−1, 73−1, 72−1, 71−1, 7−1, 69−1, 68−1, 67−1, 66−1, 65−1, 64−1, 63−1, 62−1, 61−1, 6−1, 59Φ0, 1 (x)0, 02810, 02870, 02940, 03010, 03070, 03140, 03220, 03290, 03360, 03440, 03510, 03590, 03670, 03750, 03840, 03920, 04010, 04090, 04180, 04270, 04360, 04460, 04550, 04650, 04750, 04850, 04950, 05050, 05160, 05260, 05370, 05480, 0559x−1, 58−1, 57−1, 56−1, 55−1, 54−1, 53−1, 52−1, 51−1, 5−1, 49−1, 48−1, 47−1, 46−1, 45−1, 44−1, 43−1, 42−1, 41−1, 4−1, 39−1, 38−1, 37−1, 36−1, 35−1, 34−1, 33−1, 32−1, 31−1, 3−1, 29−1, 28−1, 27−1, 26Φ0, 1 (x)0, 05710, 05820, 05940, 06060, 06180, 06300, 06430, 06550, 06680, 06810, 06940, 07080, 07210, 07350, 07490, 07640, 07780, 07930, 08080, 08230, 08380, 08530, 08690, 08850, 09010, 09180, 09340, 09510, 09680, 09850, 10030, 10200, 1038154ПРИЛОЖЕНИЕОкончание табл.
3x−1, 25−1, 24−1, 23−1, 22−1, 21−1, 2−1, 19−1, 18−1, 17−1, 16−1, 15−1, 14−1, 13−1, 12−1, 11−1, 1−1, 09−1, 08−1, 07−1, 06−1, 05−1, 04−1, 03−1, 02−1, 01−1−0, 99−0, 98−0, 97−0, 96−0, 95−0, 94Φ0, 1 (x)0, 10560, 10750, 10930, 11120, 11310, 11510, 11700, 11900, 12100, 12300, 12510, 12710, 12920, 13140, 13350, 13570, 13790, 14010, 14230, 14460, 14690, 14920, 15150, 15390, 15620, 15870, 16110, 16350, 16600, 16850, 17110, 1736xΦ0, 1 (x)−0, 93−0, 92−0, 91−0, 9−0, 89−0, 88−0, 87−0, 86−0, 85−0, 84−0, 83−0, 82−0, 81−0, 8−0, 79−0, 78−0, 77−0, 76−0, 75−0, 74−0, 73−0, 72−0, 71−0, 7−0, 69−0, 68−0, 67−0, 66−0, 65−0, 64−0, 63−0, 620, 17620, 17880, 18140, 18410, 18670, 18940, 19220, 19490, 19770, 20050, 20330, 20610, 20900, 21190, 21480, 21770, 22060, 22360, 22660, 22960, 23270, 23580, 23890, 24200, 24510, 24830, 25140, 25460, 25780, 26110, 26430, 2676x−0, 61−0, 6−0, 59−0, 58−0, 57−0, 56−0, 55−0, 54−0, 53−0, 52−0, 51−0, 5−0, 49−0, 48−0, 47−0, 46−0, 45−0, 44−0, 43−0, 42−0, 41−0, 4−0, 39−0, 38−0, 37−0, 36−0, 35−0, 34−0, 33−0, 32−0, 31−0, 3Φ0, 1 (x)0, 27090, 27430, 27760, 28100, 28430, 28770, 29120, 29460, 29810, 30150, 30500, 30850, 31210, 31560, 31920, 32280, 32640, 33000, 33360, 33720, 34090, 34460, 34830, 35200, 35570, 35940, 36320, 36690, 37070, 37450, 37830, 3821x−0, 29−0, 28−0, 27−0, 26−0, 25−0, 24−0, 23−0, 22−0, 21−0, 2−0, 19−0, 18−0, 17−0, 16−0, 15−0, 14−0, 13−0, 12−0, 11−0, 1−0, 09−0, 08−0, 07−0, 06−0, 05−0, 04−0, 03−0, 02−0, 010При x > 0 значения Φ0, 1 (x) находят по такому правилу:Φ0, 1 (x) = 1 − Φ0, 1 (−x).Φ0, 1 (x)0, 38590, 38970, 39360, 39740, 40130, 40520, 40900, 41290, 41680, 42070, 42470, 42860, 43250, 43640, 44040, 44430, 44830, 45220, 45620, 46020, 46410, 46810, 47210, 47610, 48010, 48400, 48800, 49200, 49600, 5000ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАбсолютно непрерывноераспределение, 54совместное распределение, 77Алгебра, 27тривиальная, 28Асимметрия, 101Атом, 53Бернуллизакон больших чисел, 119распределение, 57схема, 43формула, 44Берри — Эссеена неравенство, 128Биномиальное распределение, 44, 57дисперсия, 96математическое ожидание, 96характеристическая функция, 129Борелевскаяσ -алгебра, 31функция, 71Вероятностная мера, 34Вероятностное пространство, 34Вероятностьапостериорная, 42априорная, 42геометрическая, 24классическая, 21условная, 37Вложенные шары, 33Выборбез возвращения, 10, 11без учёта порядка, 10–12с возвращением, 10–12с учётом порядка, 10, 11Вырожденное распределение, 57дисперсия, 96математическое ожидание, 96Гамма-распределение, 62характеристическая функция, 130Гамма-функция Эйлера, 63Гаусса распределение, 61Геометрическое распределение, 44, 58дисперсия, 97математическое ожидание, 97Гипергеометрическое распределение, 22,58дисперсия, 108математическое ожидание, 108Дискретное пространство элементарныхисходов, 19Дискретное распределение, 53Дисперсия, 93разности, 96распределенияБернулли, 96биномиального, 96геометрического, 97гипергеометрического, 108Коши, 99нормального, 98Парето, 99Пуассона, 97показательного, 98равномерного, 98стандартного нормального, 98суммы, 95, 102суммы n слагаемых, 103Дополнение, 17Достоверное событие, 17Задача156ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬо встрече, 24о рассеянной секретарше, 36Закон больших чисел, 117Бернулли, 119Маркова, 118усиленный, 119Хинчина, 119, 134Чебышёва, 117Измеримая функция, 49Индикатор события, 116Интеграл Пуассона, 61Кантора лестница, 68Квантиль распределения, 100Квантильное преобразование, 74Классическая вероятность, 21Ковариация, 102Коши распределение, 63Коэффициентасимметрии, 101эксцесса, 101Коэффициент корреляции, 104свойства, 105Лебега, 33нормированная, 34Минимальная σ -алгебра, 30МножествоВитали, 25, 71всех подмножеств, 28неизмеримое, 25Мода распределения, 101Моментпервый, 89порядка k , 93абсолютный, 93центральный, 93факториальный, 97Монотонность вероятности, 35Муавра — Лапласа теорема, 127Невозможное событие, 17Независимостьиспытаний, 43случайных величинв совокупности, 81попарная, 81событий, 38Математическое ожиданиев совокупности, 39абсолютно непрерывного распределепопарная, 39ния, 89Неизмеримое множество, 25, 71дискретного распределения, 89Непрерывность меры, 33постоянной, 91Неравенствопроизведения, 92Берри — Эссеена, 128распределенияЙенсена, 94Бернулли, 96Маркова, 116биномиального, 96Чебышёва, 116геометрического, 97обобщённое, 116гипергеометрического, 108Несовместные события, 18Коши, 99Номер первого успеха, 44нормального, 98Нормальное распределение, 61Парето, 99дисперсия, 98Пуассона, 97математическое ожидание, 98показательного, 98свойства, 69равномерного, 98характеристическая функция, 131стандартного нормального, 98Объединение событий, 17суммы, 91Медиана распределения, 100Парето распределение, 63Мера, 32Пересечение событий, 17Плотностьвероятностная, 34ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬраспределения, 54распределения суммы, 84совместного распределения, 77Показательное распределение, 60дисперсия, 98математическое ожидание, 98Полиномиальное распределение, 46Полная группа событий, 40Попарно несовместные события, 18Правило трёх сигм, 70Пример Бернштейна, 40Пространство элементарных исходов, 14дискретное, 19Противоположное событие, 17Пуассонаинтеграл, 61приближение, 47распределение, 47, 58Равномерное распределение, 59дисперсия, 98математическое ожидание, 98Размещение, 10Распределение, 23Бернулли, 57моменты, 96характеристическая функция, 129биномиальное, 44, 57моменты, 96характеристическая функция, 129вектораабсолютно непрерывное, 77дискретное, 76вырожденное, 57моменты, 96Гаусса, 61гамма, 62характеристическая функция, 130геометрическое, 44, 58моменты, 97гипергеометрическое, 22, 58моменты, 108Коши, 63моменты, 99маргинальное, или частное, 76многомерное нормальное, 79157нормальное, 61моменты, 98свойства, 69характеристическая функция, 131Парето, 63моменты, 99Пуассона, 47, 58моменты, 97характеристическая функция, 130показательное (экспоненциальное), 60моменты, 98полиномиальное, 46равномерное, 59моменты, 98равномерное в области, 79Симпсона, 88совместное, 75стандартное нормальное, 62моменты, 98характеристическая функция, 130треугольное, 88унимодальное, 101числа успехов, 44Распределение случайной величины, 52абсолютно непрерывное, 54дискретное, 53сингулярное, 55смешанное, 56Свойствонепрерывности меры, 33отсутствия последействиягеометрического распределения, 45показательного распределения, 60σ -алгебра, 28борелевская, 31минимальная, 30Симпсона распределение, 88Сингулярное распределение, 55Случайная величина, 49Случайные величинынезависимыев совокупности, 81попарно, 81некоррелированные, 106отрицательно коррелированные, 106158ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬположительно коррелированные, 106Смешанное распределение, 56Событие, 14, 27, 31достоверное, 17невозможное, 17противоположное, 17Событиявложенные, 18независимые, 38в совокупности, 39попарно, 39несовместные, 18попарно несовместные, 18Сочетание, 11Среднее значение, 89Среднеквадратическое отклонение, 93Стандартное нормальное распределение,62дисперсия, 98математическое ожидание, 98характеристическая функция, 130Схема Бернулли, 43Сходимостьмоментов, 113по вероятности, 112свойства, 114по распределению, 122почти наверное, 111слабая, 122свойства, 122Счётная аддитивностьвероятности, 34меры, 32умножения вероятностей, 38центральная предельная, 126, 135Треугольное распределение, 88Тривиальная алгебра, 28Таблицараспределения, 54совместного распределения, 76ТеоремаЛебега, 56Леви, 133Муавра — Лапласа, 127о вложенных шарах, 33о двойном пределе, 125о непрерывном соответствии, 133о перемножении шансов, 9Пуассона, 47Числоперестановок, 11размещений, 10сочетаний, 11Унимодальное распределение, 101Урновая схема, 10Условная вероятность, 37Устойчивость по суммированиюбиномиального распределения, 86гамма-распределения, 86нормального распределения, 86распределения Пуассона, 86Факториальный момент, 97ФормулаБайеса, 41Бернулли, 44включения-исключения, 35обратного преобразования Фурье, 131полной вероятности, 41свёртки, 84Эйлера, 129Функцияборелевская, 71измеримая, 49по Борелю, 71распределения, 57вектора, 75свойства, 64совместного распределения, 75характеристическая, 129Характеристическая функция, 129Центральная предельная теорема, 126, 135Экспоненциальное распределение, 60дисперсия, 98математическое ожидание, 98Эксцесс, 101Элементарный исход, 14СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫГнеденко Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
