Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть при любом λ > 0 случайная величина ξλ имеет распределение Пуассона с параметром λ. Используя теорему о√непрерывном соответствии, доказать, что случайные величины (ξλ − λ) / λ слабо сходятся к стандартному нормальному распределению при λ → ∞.Характеристическая функция случайной величины ξλ вычисленав примере 74.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫВопросы по главам I–IV1. Что такое пространство элементарных исходов?2.
Игральную кость подбрасывают дважды. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.3. Монету подбрасывают трижды. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.4. Из четырёх разных книг на полке берут две. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.5. В урне лежат два шарика: белый и чёрный. Наудачу вытаскиваютодин, возвращают обратно и снова вытаскивают один. Описать пространство элементарных исходов.6. В урне два белых и три чёрных шара. Вытаскивают наудачу одиншар. Выписать все равновозможные элементарные исходы опыта.7.
В урне два белых шара и один чёрный. Наугад берут два шара. Выписать все равновозможные элементарные исходы опыта.8. Что такое событие? Достоверное событие? Невозможное событие?9. Что такое объединение двух событий? Пересечение?10. Записать событие, состоящее в том, что из событий A, B, C : а) произошло хотя бы одно; б) не произошло хотя бы одно; в) не произошлони одно; г) случились все три события A, B, C одновременно; д) событиеA произошло, а события B и C не произошли.11. В коробке девять деталей. Событие A = {в коробке все деталидефектные}. Описать событие A.12. Когда дополнение события B до события A является невозможным событием? Совпадает с A ?13.
Что дают в объединении событие и противоположное к нему? В пересечении? Чему равно дополнение к объединению событий? К пересечению событий?14. В каком случае два события несовместны?15. Будут ли несовместными события «на первой кости выпало чётное138КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫчисло очков» и «на второй кости выпало нечётное число очков» при бросании двух игральных костей?16.
Что такое попарная несовместность событий?17. Чему равно пересечение трёх попарно несовместных событий?18. Что больше: объединение или пересечение событий?19. Объединение двух событий влечёт их пересечение или наоборот?20. A = {1, 2}, B = {1}. Какое из отношений верно: A ⊆ B илиB ⊆ A?21. Нарисовать графически, что событие A влечёт событие B.22. Бросают три игральных кости. Как соотносятся события: «на 1-йи 2-й костях выпали единицы» и «на всех костях выпали единицы»?23.
Как соотносятся события A = A1 ∩ A2 ∩ A3 и B = A1 ∩ A2 ?24. Сформулировать определение вероятности на дискретном пространстве элементарных исходов.25. Задать какую-нибудь вероятность на Ω = N как на дискретномпространстве элементарных исходов.26. Задать какую-нибудь вероятность на Ω = Z как на дискретномпространстве элементарных исходов.27. Можно ли задать вероятность на Ω = N так, чтобы все pi былиодинаковы?28. Сформулировать классическое определение вероятности.29. В урне 22 белых и три чёрных шара.
Вытаскивают наудачу одиншар. С какой вероятностью он белый?30. В урне пять шаров. Из урны 100 000 раз вытаскивали наудачу одиншар, возвращая его обратно. Белый шар был вынут 40 035 раз. Как выдумаете, сколько белых шаров в урне?31. Какова вероятность ровно один раз выбросить герб при двух подбрасываниях правильной монеты?32. Какова вероятность хотя бы один раз выбросить герб при двух подбрасываниях правильной монеты?33. Бросают два раза игральную кость. Какова вероятность, что обараза выпадет шесть очков?34. Каково число элементарных исходов при выборе без возвращения,с учётом порядка?35. Есть пять различных шариков. Сколькими способами их можноразместить в ряд?36. Что вычисляет число Cnk при выборе шаров из урны?37. Что вычисляет число Akn при выборе шаров из урны?139КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ38.
В урне пять шаров. Выбирают два шара без возвращения и без учёта порядка. Найти |Ω|.39. Что такое гипергеометрическое распределение вероятностей?40. Как вычисляется P(A) согласно геометрическому определению вероятности?41. Две точки наудачу и независимо друг от друга бросаются на отрезок. Какова вероятность их координатам совпасть?42.
Привести пример A 6= ∅ такого, что P(A) = 0.43. Привести пример A 6= Ω такого, что P(A) = 1.44. Равносильны ли свойства: P(A ∩ B) = 0 и A ∩ B = ∅ ? Если «нет»,что из чего вытекает?45. Равносильны ли свойства: P(A ∪ B) = 1 и A ∪ B = Ω ? Если «нет»,что из чего вытекает?46. Определение алгебры подмножеств Ω.47. Задано пространство Ω = {1, 2, 3, 4}. Является ли алгеброй множество F = {∅, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {2}} ?48.
Задать какую-нибудь алгебру на множестве Ω = {0, 1, . . . , 10}.49. Записать 2Ω , если Ω = {герб, решка}. Является ли 2Ω алгеброй?50. Записать 2Ω , если Ω = { ♦ , ♣ }. Является ли 2Ω алгеброй?51. Записать 2Ω , если Ω = {a, b, c}. Является ли 2Ω алгеброй?ΩΩ52. Записать Ω2 , если Ω = {1, 2, 3}. Является ли 2 алгеброй?53. Найти 2 , если Ω = {1, 2, 3, 4, 5}.54.
Пусть F — алгебра подмножеств Ω. Докажите, что A \ B ∈ F, если A, B ∈ F.55. Пусть F — алгебра подмножеств Ω. Верно ли, что A ∪ B ∪ C ∈ F,если A, B, C ∈ F ?56. Сформулировать определение сигма-алгебры событий.57. Что такое событие? Какие подмножества Ω являются событиями,а какие не являются?58. Пространство элементарных исходов Ω состоит из четырёх точек:Ω = { ♦ , ♣ , ♥ , ♠ }.
Привести пример σ -алгебры F событий, состоящей более чем из двух событий.59. Является ли сигма-алгеброй множество всех подмножеств Ω ?60. Привести пример алгебры, не являющейся σ -алгеброй.61. Пусть F — алгебра подмножеств Ω и A1 , A2 , . . . ∈ F. Докажите,n∞SSчтоAi ∈ F для любого n ∈ N. Следует ли отсюда, чтоAi ∈ F ?i=1i=162. Всякая ли алгебра является σ -алгеброй? Всякая ли σ -алгебра яв-140КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫляется алгеброй?63.
Может ли σ -алгебра событий состоять из одного события? Из двух?Из трёх? Из четырёх?64. Сформулировать определение меры.65. Какова область определения и область значений меры? Может лимера принимать бесконечные значения?66. Чему равна площадь всей плоскости R2 ? Длина прямой R ?67. Является ли функция µ такая, что µ(A) = 0 для всех A, меройна (Ω, F), где Ω = {a, b, c}, F = 2Ω ?68. Пусть Ω = {0, 1, 2}, F = 2Ω , µ(B) = 5, если 1 ∈ B, и µ(B) = 0иначе. Выписать µ(B) для всех B ∈ F.69.
Сформулировать определение вероятностной меры.70. Какова область определения и область возможных значений вероятностной меры?71. Пусть задано вероятностное пространство hΩ, F, Pi. Для какихмножеств A ⊆ Ω определена вероятность P(A), а для каких нет?72. Каких значений не может принимать вероятность?73. Чему равна вероятность достоверного события? Невозможного?74. Что такое счётная аддитивность вероятностной меры?75. Зачем в свойстве счётной аддитивности требуется попарная несовместность событий?76.
Чему равна вероятность объединения счётного числа попарнонесовместных событий?77. Что такое вероятностное пространство?78. Пусть Ω = {a, b, c}. Построить какое-нибудь вероятностное пространство на Ω.79. Пусть Ω = {a, b, c}, F = 2Ω . Задана вероятность P такая, чтоP{a, c} = 5/8 и P{b, c} = 7/8. Найти вероятности элементарных исходовP{a}, P{b}, P{c}.80. Пусть Ω = N. Задать какое-нибудь вероятностное пространство.81. Пусть Ω = R.
Задать какое-нибудь вероятностное пространство.82. Доказать, исходя из определения вероятностной меры, чтоP(∅) = 0 и P(A) = 1 − P(A).83. Как связаны вероятности прямого и противоположного событий?84. Что такое монотонность вероятности?85. Пусть событие A влечёт событие B. Что можно сказать про ихвероятности?86. Что больше: P(A ∩ B) или P(A) ?КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ14187. Что больше: вероятность объединения или вероятность пересечения двух событий?88.
Чему равна вероятность объединения двух событий? Когда вероятность объединения равна сумме вероятностей?89. Может ли вероятность объединения двух совместных событий равняться сумме их вероятностей? Привести пример.90. Пусть событие B влечёт событие A. Всегда ли верно, чтоP(A\B) = P(A) − P(B) ? Всегда ли верно, что P(B\A) = P(B) − P(A)?91.
Записать формулу включения-исключения.92. Сформулировать свойство непрерывности меры.93. Зачем в свойстве непрерывности меры требуется конечность мерымножества B1 ?94. Что такое сигма-алгебра, порожденная набором множеств A?95. Определение борелевской σ -алгебры B(R).96. Является ли интервал (1, 5) борелевским множеством?97. Доказать по определению, что [0, 1), [1, 2], {4} являются борелевскими множествами.98. Является ли множество (0, 1) ∪ (2, 3) борелевским?99. На борелевской σ -алгебре в R задана функция: µ(A) = 1 для любого борелевского множества A.
Является ли µ вероятностной мерой?100. Сформулировать определение меры Лебега в R.101. Чему равна мера Лебега отрезка [0, 1]? Множества {0, 1}? Множества Z? Луча (0, +∞)?102. Сформулировать определение условной вероятности.103. Может ли условная вероятность равняться безусловной?104. Может ли условная вероятность равняться единице, нулю?105. Чему равна вероятность пересечения двух произвольных событий? Двух независимых событий?106. Привести теорему умножения для n событий. Когда она верна?107.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
