Н.И. Чернова - Теория вероятностей (1115308), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Как вычислять P(ABC), если эта вероятность ненулевая?108. Что такое полная группа событий? Чему равна сумма вероятностей событий из полной группы?109. Дважды бросается монета. Образуют ли события «герб при первом броске» и «герб при втором броске» полную группу?110. Записать формулу полной вероятности.111. Записать формулу Байеса. При каких условиях она верна?112.
Сформулировать определение независимости двух событий.113. Из колоды карт выбирают наугад одну. Независимы ли события142КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ«выбрана пика» и «выбран туз»? Независимы ли события «выбрана пика» и «выбрана бубна»?114. Дважды бросают правильную монету. Независимы ли события«при первом броске выпал герб» и «при втором броске выпала решка»?Независимы ли события «при первом броске выпал герб» и «при первомброске выпала решка»?115. Могут ли несовместные события быть независимы?116.
Могут ли два независимых события образовать полную группу?117. Всегда ли событие зависит от самого себя?118. Зависит ли невозможное событие от самого себя? Достоверное?119. Привести пример события, не являющегося невозможным или достоверным, но не зависящего от самого себя.120. Независимы ли события, противоположные к независимым?121. События A и B независимы. Чему равна P(A ∩ B) ?122. Выразить вероятность объединения двух независимых событий через вероятности этих событий.123.
Дать определение независимости n событий в совокупности.124. Выписать все условия, при которых события A, B, C, D независимы в совокупности.125. Следует ли из равенства P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) независимость A, B, C в совокупности?126. Достаточно ли попарной независимости событий для независимости в совокупности?127. Проводится пять независимых испытаний с вероятностью успехаp в каждом из них. Какова вероятность, что сначала произойдут два успеха, потом три неудачи?128. Есть симметричная монета. Чему равна вероятность получить при20-м броске герб, если перед этим 19 раз выпадали решки?129.
Бросают три раза правильную монету. Какова вероятность, что впервый раз выпадет герб, а в остальные два — решки?130. Записать формулу Бернулли.131. Какова вероятность получить ровно один успех в n испытанияхсхемы Бернулли с вероятностью успеха p ?132.
Какова вероятность получить три герба после пяти подбрасываний правильной монеты?133. Какова вероятность не получить ни одного успеха в пяти испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха 1/4 ?134. Какова вероятность получить четыре успеха в 10 испытаниях схе-КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ143мы Бернулли?135. Какова вероятность получить не более четырёх успехов в 10 испытаниях схемы Бернулли?136. Какова вероятность выбросить шесть очков не менее 75 раз при200 подбрасываниях правильной игральной кости?137. Какова вероятность впервые выбросить шесть очков при восьмомподбрасывании игральной кости?138.
Какова вероятность первому успеху в схеме Бернулли случитьсяв пятом испытании, в 10-м испытании?Вопросы по главам V–IX1. Сформулировать определение случайной величины.2. Привести пример функции, не являющейся случайной величиной.3. Дать определение распределения случайной величины. Какие видыраспределений возможны? Чем они отличаются друг от друга?4. Сформулировать определения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.5.
Могут ли две разные случайные величины иметь одинаковые таблицы распределения?6. Совпадают ли количества очков при первом и при втором броске игральной кости? Одинаковы ли распределения этих случайных величин?7. Совпадают ли результаты первого и второго бросаний одной и тойже монеты? Одинаковы ли распределения соответствующих случайныхвеличин?8. Бросается один раз правильная монета. Построить две различныеслучайные величины с одним и тем же распределением B1/2 .9. Перечислить основные дискретные распределения. Записать таблицу распределения и функцию распределения каждого.
Построить графикивсех функций распределения.10. Перечислить основные абсолютно непрерывные распределения. Записать плотность распределения и функцию распределения каждого и построить их графики.11. Привести пять примеров распределений таких, что 0 6 ξ 6 3 п. н.12. Существует ли плотность у распределения Пуассона? Если «да»,какова она?13. Как вычислить P(ξ ∈ [2, 4]) для случайной величины с дискретным распределением?= Πλ ?14. Как вычислить P(ξ ∈ [−2, 5]) для ξ ⊂144КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ15. Как вычислить P(ξ ∈ [2, 4]), P(ξ < 3), P(ξ > 3) для случайнойвеличины с абсолютно непрерывным распределением?16.
На графике плотности распределения N0,1 указать вероятностиP(0 6 ξ 6 2), P(ξ < −2) и P(ξ > 3).17. Может ли плотность распределения равняться нулю при всех значениях аргумента, единице, двойке?18. Необходимое и достаточное условие того, что f является плотностью распределения.19. Пусть f и g — плотности распределений. Являются ли плотностя21f +g, 2f + 2g, f − g, f + g?ми распределения функции 2f, f + g,23320. Сформулировать определение и перечислить основные свойствафункции распределения.21.
Для каждого свойства функций распределения нарисовать графиклюбой функции, не обладающей этим свойством.22. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, чтофункция F является функцией распределения.23. Нарисовать график функции распределения случайной величиныξ, если P(ξ = 5) = 1.24. Может ли такая функция F являться функцией распределения:а) F — чётная функция;21e−x /2 для любого x;2πб) F (x) = √в) F (−99) = 0, F (0) = 1/4, F (101) = 1 ?25.
Верно ли, что Fξ (1 − 1/n) → Fξ (1) при n → ∞ ? Объяснить.26. Всегда ли P(ξ < 1/n) → P(ξ < 0) при n → ∞ ? Если нет, привестисоответствующий пример.27. Всегда ли P(ξ < −1/n) → P(ξ < 0) при n → ∞ ? Почему?28. Найти пределы lim Fξ (1 + 1/n), lim Fξ (−n) и lim Fξ (n).n→∞n→∞n→∞29. Как выглядит график функции распределения дискретного распределения? Как по таблице дискретного распределения нарисовать графикфункции распределения и наоборот?30. Как по функции распределения произвольного распределения вычислить вероятность P(2 6 ξ < 3), вероятность P(ξ > 3)?31. Может ли функция распределения абсолютно непрерывного распределения иметь разрывы?32.
Дана функция распределения: F (x) = 0 при x < 0; F (x) = x/2при x ∈ [0, 1] и F (x) = 1 при x > 1. Cуществует ли плотность этогораспределения?КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ14533. Чему для любого x равна P(ξ = x), если ξ имеет абсолютно непрерывное распределение?34. Нарисовать график любой функции распределения Fξ (x) такой,что P(ξ = 1) = 1/2.35. Как найти плотность распределения по функции распределения?36. Закончить высказывание: P(ξ < 2) = P(ξ 6 2) тогда и только тогда, когда . . .37.
Закончить высказывание: P(ξ > 0) = 1 − Fξ (0) тогда и только тогда, когда . . .= Na,σ2 ?38. Как вычислять вероятность P(x1 < ξ < x2 ), если ξ ⊂39. На графике функции распределения показательного распределения указать вероятность P(1 6 ξ 6 2). Ту же вероятность указать награфике плотности этого распределения.= N0, 1 ? Что можно сказать про x,40. Чему равна P(ξ < 0) для ξ ⊂= Na, σ2 ?если Φ0,1 (x) < 1/2 ? Чему равна P(ξ < a) для ξ ⊂41. Найти по таблице P(ξ < −3), P(ξ < −1,96), P(ξ < −1,6),= N0, 1 .P(ξ < 1,6), P(ξ < 1,96) и P(ξ < 3) для ξ ⊂42.
Как связаны плотности распределения величин ξ и aξ + b?43. Как по плотности распределения величины ξ найти плотности распределения величин −ξ, 2ξ, ξ + 2?44. Если величина ξ имеет нормальное распределение, каким будетраспределение случайной величины −ξ, величины 5ξ + 7?= U0, 5 пре45. Каким преобразованием можно случайную величину ξ ⊂= U0, 1 ?вратить в η ⊂= U0, 1 пре46. Каким преобразованием можно случайную величину ξ ⊂= U0, 5 ? А в η ⊂= E1 ?вратить в η ⊂= E5 пре47. Каким преобразованием можно случайную величину ξ ⊂= E1 ?вратить в η ⊂= E1 пре48.
Каким преобразованием можно случайную величину ξ ⊂= E5 ?вратить в η ⊂= N5, 9 пре49. Каким преобразованием можно случайную величину ξ ⊂= N0, 1 и наоборот?вратить в η ⊂50. Как из нормально распределённой случайной величины сделать величину со стандартным нормальным распределением?51. Что такое функция распределения случайного вектора?52. Как по функции распределения вектора находят функции распределения его координат?53.
Что такое таблица совместного распределения?146КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ54. Как по таблице совместного распределения двух случайных величин находят их частные распределения?55. Какими свойствами обладает плотность распределения случайноговектора?56. Как по плотности совместного распределения двух случайных величин находят их частные плотности?57. Можно ли найти совместное распределение по частным распределениям?58. Привести пример того, что при одних и тех же частных распределениях возможны разные совместные.59. Что такое многомерное нормальное распределение?60.
Сформулировать определение независимости в совокупности nслучайных величин.61. Как из независимости в совокупности n случайных величин вытекает их попарная независимость?62. Для каких-то множеств B1 и B2 оказалось верно равенствоP(ξ ∈ B1 , η ∈ B2 ) = P(ξ ∈ B1 ) · P(η ∈ B2 ). Следует ли отсюда независимость случайных величин ξ и η?63. Дать определение зависимости случайных величин ξ и η.64. Верно ли, что если P(ξ < 0, η < 0) = P(ξ < 0) · P(η < 0), то ξ иη независимы?65.
Верно ли равенство P(ξ ∈ R, η ∈ R) = P(ξ ∈ R) × P(η ∈ R)? Можно ли отсюда сделать вывод, что ξ и η независимы? Почему?66. Привести пример зависимых случайных величин ξ и η таких, чтодля любого x верно равенство P(ξ < x, η < x) = P(ξ < x) · P(η < x).67. Дать определение независимости двух случайных величин с дискретными распределениями.68. Дать определение независимости двух случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.69.
Случайные величины ξ1 , . . . , ξn независимы в совокупности и имеют стандартное нормальное распределение. Выписать плотность совместного распределения величин ξ1 , . . . , ξn .= B1/2 , η = ξ. Проверить, зависимы ли ξ и η.70. Пусть ξ ⊂= Π1 , η = ξ. Проверить, зависимы ли ξ и η.71. Пусть ξ ⊂72. В каком случае случайная величина ξ не зависит от себя самой?73. Как вычислить плотность распределения суммы двух независимыхслучайных величин, зная плотность распределения каждой?74. Сформулировать теорему об устойчивости распределения Пуассо-КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ147на по суммированию.= Πλ , η ⊂= Πµ таких, что75. Привести пример случайных величин ξ ⊂распределение ξ + η не является пуассоновским.76.
Сформулировать теорему об устойчивости биномиального распределения по суммированию.= Bn,p , η ⊂= Bm,p таких,77. Привести пример случайных величин ξ ⊂что распределение ξ + η не является биномиальным.78. Привести пример, когда сумма двух одинаково распределённыхслучайных величин с распределением Bp имеет распределение, отличноеот B2, p .79. Сформулировать теорему об устойчивости нормального распределения по суммированию.= N0,1 , η ⊂= N0,1 таких,80. Привести пример случайных величин ξ ⊂что ξ + η ⊂6 = N0,2 .= N0,1 , η ⊂= N0,1 таких,81.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
