Главная » Просмотр файлов » Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика

Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 48

Файл №1115270 Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика) 48 страницаГ.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270) страница 482019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

(5.88) )=) !. ) При гипотезе Нс" статистика (5.88) имеет распределение Снедекора 5 (« — 1, (« — 1) (з — !)), поэтому критическая область уровня значимости а для Н,"' имеет вид ® )а = (х ° ) (х) ~ ~х-а, г-ь !«-з) )х-1) ) (5.89) Аналогично строится критерий проверки гипотезы Н .(),-...=8,=0 (5.90) о несущественности влияния на исходы испытаний второго фактора С. Здесь критическая область уровня значимости а для Нр" имеет вид (хо — х..)' Х)х= Х ° «(«1) ~ й1 — )! «-\ !) и )х-1) ~ (хп — х),— х.;+х.,)' ), ) (5.

91) Наконец, критическая область уровня значимости а для гипотезы Н' )а1=...=а,=й,=...=(),=0 о независимости результатов испытаний от влияния обоих факторов имеет вид 5 ~' (х,, — х..)~+ « ~' (х,! — х")~ . и:..ш:я к: «+х — 2 ~(хп — хь — хп-)-х..)с 'Вс-х, «+з-к )с-1) )и -1) Найдем, наконец, доверительные области для различных групп параметров схемы (5.80). Пусть требуется построить у-доверительную область Й'," дли эффектов а„..., а, первого фактора. В соответствии с общим принципом, чтобы построить )7ти', надо рассмотреть соответствующую гипотезу Н).аз=а;, ..., а„=а,' 208 классификации по месту, где производятся наблюдения.

В этом случае гипотеза Н," соответствует предположению о том, что эта вспомогательная классификация не влияет на результаты эксперимента и, следовательно, мажет не приниматься ва внимание. Следуя общей теории г'-критерия (см. 2 5.4), вычислим сначала 5т — минимальное значение квадратичной формы 5 в (5.82) при гипотезе Н,"'. Из (5.83) н (5.85) имеем Г 5«=51+и ~к~ (Хь — Х..)', )=) ( "- « ,У, сс;=О(.

Критическую область уровня значимости 1 у дая )=1 нее можно получить из (5.88) — (5,89), заменяя хп на хп — а!) оиа имеет вид Г Х(д -'- "- ! (х!. — х.. — а,")! = г'т 1 ),,) ), 1) 1 (ху — х . — хо+ х..)х. «=) Отсюда следует вывод, что г « Ф=() ." .,): Х;-С ° Х ),— )Хи — Х )) ( 1 ъ ~-~в -ь! -1)! 0,(, !) «т (Х!« — Х! — Хц+Х-)" . ! Здесь неравенства определяет внутренность шара в ппостранстве параметров (а„..., а«) с центром (Хь — Х, ..., Х,.

— Х ) в гиперплоскости ~ а;=О. Таким образом, в данном случае доверительная область )сии а состоит из внутренности гиперсферы, получающейся в пересечении «-мерной сферы с гиперплоскостью 2,а)-0. Так, если «=2, та доверительная область †отрез ит биссектрисы ах = — а„являющийся диа- ! метром некоторой окружности с центром иа этой биссектрисе (рис.

5.2). Аналогично строится доверительная область для эффектов ()„ ..., р, второго Рис. 5.2 фактора. В заключение дадим интерпретацию рассмотренной схемы, характерную для дисперсионного анализа. Положим в разложении (5.83) все а, и ()у равными нулю, а р=Х . В результате получаем соотношение У',(Х),— Х )'=з,У', (Х!.— Х )'+ ), г -(- «); (Х,,— Х „)' -1- У', (Хп — Х!. — Х ! + Х )', которое можно ннтер- ! претировать как разложение полной изменчивости 5 — ~~,'(Х,— — Х..)' на три компоненты: 5л= У,'(Х,.— Х..)и, 5ь=. У,'(Х., Х )*, 5 =5,=ч (Хп — Хь — Х-+Х ) (5.92) ) Компонента 5с описывает изменчивость, обусловленную первым факторам )с, компонента 5ь — вторым фактором С.

Компонента же 5.. есть сумма квадратов величин с нулевыми средними: В(Хц -Хь-Хи+ Х..) = р+;+(),-0 +а!) -0 +())+) =О, 2ОЭ поэтому ана не мажет быть связана с факторами )с и С. (Напомним, что величина 1,')=Я..г(г — 1) (з — 1) определяет несмещенную оценку дисперсии о'.) Поэтому Я.. часта называют иошибкай», подчеркивая, чта она связана со случайностью результатов наблюдений, а не с каким-либо расхождением в средних значениях наблюдений Вычислим ЕЯ,о и ЕЯо..

Из (5.84) и (5.86) имеем Е(Х5,— Х )'=1»й5+(Ейс)1 = — а'+а). Отсюда н из (5.92) следует, что 1 ЕЯо=(г — 1) а'+з 'Я и!. (5.93) ! ! Аналогична находим 1 ЕЯо = (з — 1) аи+г,У, Я. (5. 94) 1=! Из (5.93) имеем, что при гипотезе (5.87) величина О! = Я.о[(г — !) может служить несмещенной оценкой для а'. Аналогично, из (5.94) заключаем, что [ев= Яой(з — 1) — несмещенная оценка для а', когда справедлива гипотеза (5.90). Теперь Р-критерий (5.89) для гипотезы (5.87) можно интерпретировать как критерий совместности двух независимых оценок ()1 и [г для а' (статистика (5.88) в этих обозначениях равна отношению 91[О].

Аналогично можно интерпретировать и критерий (5.91) для гипотезы (5.90) (статистикой этого критерия является отношение ()нр []. Мычно составляющие этой двухфакторной модели объединяют в таблицу д сперсионнога анализа (табл.

5.1) Таблица бй Источник Стспснь Сумма Среднее суммы Отношение диспсрсни ~ свободы ~ кввдрвтов ~ квндрнтов ~ Снсдскора Р Строки г — 1 ос Г5=Я.О[(г — 1) Р,0=0110 Столбцы 5 — 1 50. сев=ос !(5 1) Ро =сг110 Ошибки (г — 1) (5 — 1! о., 0 о..![(г — 1) (5 — !)) Первое отношение Снедекара Р,о служит для проверки гипотезы о том, что все оц равны нулю, второе — для проверки гипотезы о равенстве нулю всех 6г. 9 5.6 Элементы теории статистической регрессии и корреляции 1. Задачи статистического прогноза.

Предположим, что слу. чайные величины У и Х =(Х1, ..., Х ) связаны некоторой статистической зависимостью, которую в общем случае можно выра- 210 вить их совместной функпией распределения р„(х, Пусть, далее, случайная величина Х доступна наблюдению, в то время как значение У непосредственно измерить невозможно. Тогда возникает задача предсказания (прогноза, оценки) величины 1' на основании информации, доставляемой измерением величин Х1, ..., Х„, которые в этом случае назь|ваются предсказывающими перегненныии, Функция от предсказывающих переменных 41(Х), которую используют в качестве оценки для У, называют предиктором величины 1' па Х Задачей разработки методов построения оптимальных в том или ином смысле предиктарав занимается теория статистической регрессии.

Прогноз необходим во многих практических ситуациях. Примерами могут быть прогнозирование погоды по результатам соответствующих атмосферных измерений, селекционнрование новых видов растений и животных, определение возможностей индивидуумов в определенных областях с помощью соответствующей системы контрольных тестов и т, д. Во всех этих случаях речь идет о величинах, относящихся к будущему, недоступных наблюдению в данный момент, которые надо оценивать (прогнозировать) с помощью доступных измерению сопутствующих величин. 2.

Оптимальный предиктор и его свойства. Научно обоснованный прогноз использует наличие статистической связи между пере менными У и Х. (Если Х и У независимы, то предсказать У по Х нельзя.) Предположим сначала, что совместное распределение .с (Х, У) известно. Тогда можно определить условное распределение Ж(У' ,Х =х). Так, если исходное распределение абсолютно непрерывно н 7д и (х„у) — его плотность, та соответствующая условная плотность равна =ь. *, 11/1 !-1*, о Для дискретных распределений интеграл в последней формуле заменяют соответствующей суммой.

Это условное распределение имеет среднее й4 (х) = Е (У [ Х = х)," (5.95) которое зависит от х и называется»ункцией регрессии 1' на Х„..., Хр, Например, для абсолютно непрерывного распределения М(х)=]у)у,д(р[х)ду (везде предполагается, что все соответствующие моменты существуют). Пусть тр(Х) — произвольный предиктор У по Х. Назовем среднеквадратической ошибкой этого предиктора величину Е(У вЂ” Ч!(Х)]д. Преднктар 9 и (Х) называют оптимальным (в среднеквадратическом смысле), если б 1ы! Е (У вЂ” Фо (Х)]' = !п1 Е (У вЂ” Ч! (Х)]».

(5.96) с Ответ на вопрос о существовании и виде оптимального предиктора дает следующее утверждение. 211 Теореь«а 5Я, Опп«««л«альный предиктор «р (Х) суи(есп«вуе™ д р*(х)=м(х). С) По определению условного математического ожидания, Е $(У вЂ” М (Х)) (М (Х) — «р (Х))1 = Е (Е ((У вЂ” М (Х)) (М (Х)— — ч«(Х))!Х1) =-Е((М(Х) — ~(Х))Е(У вЂ” М(Х)«Х)) =О, поэтому Е (У вЂ” «р (Х)1~ = Е ((У вЂ” М (Х)) + (М (Х) — «р (Х)))х =Е(У вЂ” М(Х)1 +Е(М(Х) — ч (Х)1 Е!У вЂ” М(Х)Р. Знак равенства здесь имеет место при ч« = М; следовательно, оптимальный предиктор есть определенная равенством (5.95) функция регрессии !' на Х. ° Заметим, чта минимальную ошибку предсказания Ь в (5.96) можно записать в виде Л = Е (Е ~(У вЂ” М (Х))х ) Х1) = Е0 (У! Х) — а3 х, (5.97) т.

е. она представляет собой среднее значение условной дисперсии У при данном Х. Например, для абсолютно непрерывного распределения условная дисперсия 0 (У ', Х =х) Е ((У вЂ” М (Х))з, Х = х~ = $ (у — М (х))'(у ! х (у ! х) ду. Оптимальный предиктор М(Х) обладает следующим важным свойством: он имеет максимальную корреляцию с У среди всех предиклюрое. Для доказательства этого прежде всего заметим, что для произвольного предиктора «р=«р(Х) сач (ср, У) Е((«(« — Е«р) (У вЂ” ЕУ)1= Е((«р — Е«р) Е(У вЂ” ЕУ )) = = Е((Ч« — ЕЧ«) (М вЂ” ЕМ))=соч («р, М).

В дальнейшем используются обозначения р(в«, $ь) («огг($«, $з) а'=05. При р=М из предыдущего равенства получаем сач (М, У)= а1= =ам ~0. Отсюда р(М, У)=ах«((омау) =ам(ау. Используя этот факт и свойства коэффициента корреляции, имеем О'0' а"Ом ву ««у ч причем знак равенства имеет место толька если Ч« — линейная функция М, Таким образам, р(М, У)~!р(ч«, У)! для любой «р. Квадрат максимального значения коэффициента корреляции Р (М, 1) =«гм(оу — т«ул обозначают ц х и называют корреляционным отношением.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6543
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее