Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев - Математическая статистика (1115270), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(5.45) Подставив вместо Х его выражение (5.44) в (5.!6), получим 5ф)/а'=е" Ве*, (5.46) поскольку ХВ = ВТ' =О !матрица В определена в (5.15)). Наконец, иэ тождества (5.8) имеем следующее представление для ф Ю-5Ф) — 5ф) =(Р— ())'А(6 — ()) (5.4?) Независимость () и 5ф) следует из представлений (5.45) и (5.46), легко устанавливаемого факта А-'ХВ =О и леммы 1.2.
Далее, из представления (5.4?) имеем, что случайная вели- чина Я зависит от выборки Х лишь через (); следовательно, в силу независимости () и 5(р) случайные величины Я и 5 ф) также не зависимы. Первая часть теоремы доказана, Докажем теперь утверждения (5.43) о распределениях рас- сматриваемых случайных величин.
Так как)! — линейная функция КИ вЂ” '~= /-(0, 1) / Р— й/'1 ~, о)/ви) (5. 48) и ()/ не зависит от 5(()). Поэтому из определения распределения Стьюдента (см. п. 4 Ь 1.5) и из теоремы 5.4 следует, что п;и любом и Хе !х= ~г — (()/ — 5/)1=5(п — й). / и — д (5.49) С лед ст в и е 2. Из определения распределения Снедекора (см. п.
5 9 1.5) и теоремы 5.4 имеем, что при любом я Ж~ ~г =: — ) =5 (й, и — й). в — д я (5.50) 3(й) 4. Доверительное оценивание параметров нормальной регрессии. Найдем доверительный интервал для коэффициента регрессии ()/. Иэ соотношения (5.48) следует, что статистика 8~ имеет распределение /" (()/, о'ар), Следовательно, имеет место задача оценивания неизвестного среднего нормального закона с неизвестной дисперсией (так как и' неизвестно) по наблюдению над случайной величиной р/. На основании (5.49) стьюдентово отношение !т является центральной статистикой для оценивания ~~ (см. и 2 з 2.б), поэтому у-доверительный интервал для (1/ строится по схеме примера 2.30 и имеет вид (- / ал ()/ ~ !и+тих,л-д1/ „д 5 Ф)).
(5.51) Это симметричный интервал относительно точки ()/ длины аи 2!< тпм — 1/ в х 5(Р). Чтобы построить доверительный интервал для остаточной дисперсии о', воспользуемся вторым из соотношений (5.43), из которого следует, что 5 ()))/о' — нужная центральная статистика. Искомый у-доверительный интервал строится здесь по схеме при- !94 нормального вектора !см. представление (5.45)], то закон распределения р также нормален. Первые и вторые моменты вектора () вычислены в п. 2 3 5.2. Закон распределения Я/о" устанавливается на основании представления (5.47), факта нормальности вектора р и теоремы 1.9. Наконец, закон распределения 5 ((1)/ов устанавливается на основании представления (5.4б) и леммы 1.4, поскольку !г В = 1г Š— 1г (Х'А-'У) = и — 1г (ХХ'А-') =и — !гЕ„= п — й.
° Следствие !. Из первого соотношения в (5.43) имеем, что для любого !=1, ..., Д мера 2.30 и имеет вид 5 (Р)/у/1+.>~, »-. ( о"-'5 (Р)/7) —.нь, Итак, можно построить доверительный интервал для каждого из коэффициентов регрессии ~ь ..., ()ь Если построить Д таких интервалов с одним и тем же уровнеч у, то среднее значение ~ясла интервалов, накрывающих соответствующие значения 8, равно йу.
Оценим вероятность одновременного накрытия построен- ными интервалами соответствующих параметров. 5. Обозначим через А/ событие, состоящее в том, что интер то интервал Р А-=- ( .51), в котором у заменено на 7/, накрывает параметр 8/, т. е. ~( /) =-у/, /=1„..., я. Тогда вероятность совместного осущест. вления событий А„ ..., А» можно записать так: Р~ (А, ...
А„) = 1 — Р, (А, ()... () Ад). Но (5.52) Рв (4 () " () А ) ~ ~ Р, (А!) = ~ч '„(1,/) /=1 ПОЭтому (5.53) д д Р~(Аз...А,)~1 — ~ (1 7) 'у'. А+1 / ! !' = ! Если выбРать все У/ Равными 1 — (1 — у)/Д при некотором „то Р~ (А, ... А,) ~ у. (5.54) ФоРмУлы (5.53) и (5.54) позволяют оценить вероятность пра. вильного Реп|ения (одновременное накрытие доверительными инте- валами всех параметров), однако желательно иметь более точный результат, т. е. уметь строить (случайную) доверительную область бт в евклидовом пространстве /!д, накрывающую неизвестную параметрическую точку ~=(Ц, ..., (1„) с вероятностью у. Такую тате (5. 50).
область в данном случае можно построить, основываяс на Действительно, если г д „, есть у-квантиль распределения 5(й, и — я), то из (5.47) и (5.50) следует, что при любом я У=Рв(с -гт, ив-в) =Рю(й в=с)т(Х)), где (5.55) !/т(Х = (()):(р — !))'А((! — Р)( — „д 5(()) гт д ф (5-55) Тем самыч построена искомая у-доверительная область для р. Это внутренность эллипсоида с центром в точке (1, граница которого задается уравнением (Р !!)' А((1 ()) =от (Х) = в д 5(())Рт к«-» (5.57) Пример 5.4 (простая регрессия, доверительное оиепивание паривмтров). Найдем доверительный интервал уровня у для наклона (1, простой регрессии (см. пример 5.1).
Из (5.51) и (5.27) — (5.28) следует, что это интервал < л ),»)и, „,, )) я)»)~<) — 2) Х )),— !)!) ! ! Аналогично, из (5.55) — (5.57) и формул примера 5.1 имеем, что внутренность эллипса л («.-«.) +И(«,-«,)(«.-Ь+-„у, («,-«.)г= 1 л (л — 2) 2 в плоскости переменных («„«») с вероятностью у содержит неизвестную точку «. 5. Доверительная область для линейных комбинаций параметров «„..., «». Пусть требуется оценить одновременно т=й линейных комбинаций 1=(1„..., 1 ):1=Т«, где Т вЂ” заданная матрица размером тхй н гапку=т.
Тогда из теоремы 5.4 следует, что о. н. к. (=Т«имеет распределение -) (1, о'0), где матрица 0 определена в (5.10). Отсюда по теореме 1.9 имеем Ж»(1Ет/о») =7'(т), где (2т=Ят(Х, 1)=(1-1)' 0-'(1 — 1) (5. 58) При этом Дт как функция «ие зависит от 5(«). Следовательно, отношение Снедекора Р в данном случае имеет вид л-Ь цт Р= — —, л) 5 («) н прн этом 2!(г) =5 (т, и — й). Таким образом, как и в случае оценивания «, получаем следующий у-доверительный эллипсоид для 1: От (Х)=(1)(Т« — 1)'0 '(Т« — 1]< „5(«)Рт,,л-»~ (559) При Т=Е» полученное решеш)е сводится к (5.56).
Отметим некоторые частные случаи общего решения (5.59). При т=( речь идет об оценивании одной линейной комбинации Л'« = У, Л!«р В этом случае эллипсоид (5.59) вырождается в интер! ! вал ~ '«=~~ («)Р .— (Л'-')1п') (5. 60) Распределение Снедекора 5 (1, 'п — й) совпадает с распределением квадрата случайной величины, имеющей распределение Стьюдента 5(п — я), поэтому Рт м»=!))ьт)дь»и выражение(5.60) можно записать в виде Л«! 1)ыт)гк»)) „— 5(«)(Л'А-'Л)). (5.61) Пусть матрица Т имеет следующую структуру: в каждой строке только один элемент отличен от нуля, при этом в г-й строке на месте 1, стоит единица, г=1, ..., т, /»<!»«...! . Тогда Т«=(«),, ..., «! )=«(т) и, следовательно, речь идет об одновременном оценивании части координат параметрического вектора «.
В этом случае матрица 0 [см. (5.10)) представляет собой минор А-'(!м ..., 1 ) =А(т) матрицы А-', получающийся вычеркиванием всех строк и столбцов с номерами, отличными от !м ..., 1, и из (5.59) получаем, что у-доверительный эллипсоид для параметров «(т) имеет вид бтт(Х) («(т): («(т) — «(т))' А-'(т) (!) (л1) — «(л!)) «- ° .— „, 5(«) Р,,-..—.~.
(5.62) Пример 5.5 (доверительный интервал для ординаты линии регрессии). Построим доверительный интервал для ординаты )р (1) = = )р (1; «) = «д+ «,Г линии регрессии в произвольной точке в случае простой регрессии (см. пример 5.1). Используя обозна- » пение в'(1) = — ~), (1! — 7)», из формул примера 5.1 получаем, что ! ) при Л=(1, !) Л'А-'Л= — <1+< — 1 ~, Кроме того, )р(1; «)-Л'«=Х+(! — !) «,. Отсюда н из (5.61) окончательно имеем, что искомый у-доверительный интервал имеет вид <)(+(1 — 0«»~!! т)!К.— л(л 2) 5(«)<1+<,(!),) ~) 6. Совместные доверительные интервалы.
В каждом конкретном случае построение эллипсондов в (5.56) и (5.59) — трудная вычислительная задача. Поэтому предпочтительнее иметь (более точный, чем (5.54)! результат, позволяющий строить доверительные интервалы для отдельных компонент оцениваемого вектора, с заданной вероятностью одновременно накрывающие соответствующие координаты, или, другими словами, систему совместных доверительных интервалов, Решение этой задачи нетрудно полу- нить из уже известных результатов. Для этого понадобится следующее утверждение из теории квадратичных форм. Теорема 5.5.
Пусть  — положительно определенная матрица и 1, Л вЂ” вектор-столбцы'. Тогда 1'В! гпах „—, (Л'!)» (5.63) 197 С) Представим В в виде В =НН'. Это всегда можно сделать, выбрав Н = ОАп', где () — ортогональная матрица, приводящая В к диагоналыюму виду А. Положим теперь Х=Н'1, У=Н-%; тогда Х' т'=1'Л, Х'Х = !'В1, У' т'= Л'В-%. Но, по неравенству Коии — Буняковского, (Х'У)' ~ (Х'Х) (У' т'), причем знак равенства имеет место только когда векторы Х и У линейно зависимы. Отсюда и из предыдущих соотношений имеем (Л'1)'~(1'В1) (Л'В-%), или 1'В1 )(Л'1)'/(Л'В-'Л). Отсюда следует (5.63). ° Положим теперь в соотношении (5.63) 1=(! — р, В=А; тогда соотношения (5.55) — (5.57) можно записать в виде р,~ „"в-ь' «,,сь)=Р,~::а  — п~« „и; ч, п~, где ит(Х; Л) =ат(Х) ~'Л'А-'Л. (5.64) Таким образом, для любого 6 выполняется соотношение Р~(Л'(! — и„(Х; Л) ~ Л'() ~Л'()+и, (Х; Л), ч'Л)=7. (5.65) Соотношения (5.64) — (5.65) позволяют решить задачу о построении системы совместных доверительных интервалов для всех линейных функций Л'().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
